Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemh.s |
. . 3
β’ π = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
2 | 1 | oveq1i 7368 |
. 2
β’ (π β§ π) = (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β§ π) |
3 | | simp11l 1285 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΎ β HL) |
4 | | hlol 37826 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΎ β OL) |
6 | 3 | hllatd 37829 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΎ β Lat) |
7 | | simp2ll 1241 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΄) |
8 | | cdlemh.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
9 | | cdlemh.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | 8, 9 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
11 | 7, 10 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΅) |
12 | | simp11r 1286 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π») |
13 | 3, 12 | jca 513 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
14 | | simp13 1206 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΊ β π) |
15 | | cdlemh.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdlemh.t |
. . . . . . 7
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
17 | | cdlemh.r |
. . . . . . 7
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
18 | 8, 15, 16, 17 | trlcl 38630 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (π
βπΊ) β π΅) |
19 | 13, 14, 18 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β π΅) |
20 | | cdlemh.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
21 | 8, 20 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π
βπΊ) β π΅) β (π β¨ (π
βπΊ)) β π΅) |
22 | 6, 11, 19, 21 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β¨ (π
βπΊ)) β π΅) |
23 | | simp2rl 1243 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΄) |
24 | 8, 9 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΅) |
26 | | simp12 1205 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΉ β π) |
27 | 15, 16 | ltrncnv 38612 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β β‘πΉ β π) |
28 | 13, 26, 27 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β β‘πΉ β π) |
29 | 15, 16 | ltrnco 39185 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
30 | 13, 14, 28, 29 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
31 | 8, 15, 16, 17 | trlcl 38630 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β β‘πΉ) β π) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) |
32 | 13, 30, 31 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) |
33 | 8, 20 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π΅) |
34 | 6, 25, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π΅) |
35 | 8, 15 | lhpbase 38464 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β π΅) |
36 | 12, 35 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΅) |
37 | | cdlemh.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
38 | 8, 37 | latmassOLD 37694 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ ((π β¨ (π
βπΊ)) β π΅ β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π΅ β§ π β π΅)) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β§ π) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β§ π))) |
39 | 5, 22, 34, 36, 38 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β§ π) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β§ π))) |
40 | | simp2r 1201 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
41 | | cdlemh.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
42 | | cdlemh.z |
. . . . . . . 8
β’ 0 =
(0.βπΎ) |
43 | 41, 37, 42, 9, 15 | lhpmat 38496 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) = 0 ) |
44 | 13, 40, 43 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β§ π) = 0 ) |
45 | 44 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((π β§ π) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = ( 0 β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
46 | 41, 15, 16, 17 | trlle 38650 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β β‘πΉ) β π) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) |
47 | 13, 30, 46 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) |
48 | 8, 41, 20, 37, 9 | atmod4i2 38333 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅ β§ π β π΅) β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) β ((π β§ π) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = ((π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β§ π)) |
49 | 3, 23, 32, 36, 47, 48 | syl131anc 1384 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((π β§ π) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = ((π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β§ π)) |
50 | 8, 20, 42 | olj02 37691 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β OL β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) β ( 0 β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
51 | 5, 32, 50 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ( 0 β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
52 | 45, 49, 51 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) = ((π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β§ π)) |
53 | 52 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β§ π))) |
54 | | simp2l 1200 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
55 | 14, 28 | jca 513 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΊ β π β§ β‘πΉ β π)) |
56 | | simp33 1212 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
57 | 56 | necomd 3000 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β (π
βπΉ)) |
58 | 15, 16, 17 | trlcnv 38631 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
ββ‘πΉ) = (π
βπΉ)) |
59 | 13, 26, 58 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
ββ‘πΉ) = (π
βπΉ)) |
60 | 57, 59 | neeqtrrd 3019 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β (π
ββ‘πΉ)) |
61 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
62 | 8, 15, 16 | ltrncnvnid 38593 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β β‘πΉ β ( I βΎ π΅)) |
63 | 13, 26, 61, 62 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β β‘πΉ β ( I βΎ π΅)) |
64 | 8, 15, 16, 17 | trlcone 39194 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
ββ‘πΉ) β§ β‘πΉ β ( I βΎ π΅))) β (π
βπΊ) β (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
65 | 13, 55, 60, 63, 64 | syl112anc 1375 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
66 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
67 | 8, 9, 15, 16, 17 | trlnidat 38639 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β (π
βπΊ) β π΄) |
68 | 13, 14, 66, 67 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β π΄) |
69 | 41, 15, 16, 17 | trlle 38650 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (π
βπΊ) β€ π) |
70 | 13, 14, 69 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β€ π) |
71 | 9, 15, 16, 17 | trlcoat 39189 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β§ (π
βπΊ) β (π
ββ‘πΉ)) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄) |
72 | 13, 55, 60, 71 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄) |
73 | 41, 20, 37, 42, 9, 15 | lhp2at0 38498 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΊ) β (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β§ ((π
βπΊ) β π΄ β§ (π
βπΊ) β€ π) β§ ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄ β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π)) β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = 0 ) |
74 | 13, 54, 65, 68, 70, 72, 47, 73 | syl322anc 1399 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = 0 ) |
75 | 39, 53, 74 | 3eqtr2rd 2784 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β 0 = (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β§ π)) |
76 | 2, 75 | eqtr4id 2796 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β§ π) = 0 ) |