Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemh2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemh2 39682
Description: Part of proof of Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 16-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemh.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemh.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemh.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemh.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemh.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemh.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemh.s 𝑆 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
cdlemh.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemh2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∧ π‘Š) = 0 )

Proof of Theorem cdlemh2
StepHypRef Expression
1 cdlemh.s . . 3 𝑆 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
21oveq1i 7418 . 2 (𝑆 ∧ π‘Š) = (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∧ π‘Š)
3 simp11l 1284 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 hlol 38226 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
53, 4syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
63hllatd 38229 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2ll 1240 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
8 cdlemh.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
9 cdlemh.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
108, 9atbase 38154 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
117, 10syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
12 simp11r 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
133, 12jca 512 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
14 simp13 1205 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
15 cdlemh.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
16 cdlemh.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 cdlemh.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
188, 15, 16, 17trlcl 39030 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
1913, 14, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
20 cdlemh.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
218, 20latjcl 18391 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
226, 11, 19, 21syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
23 simp2rl 1242 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
248, 9atbase 38154 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
26 simp12 1204 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2715, 16ltrncnv 39012 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
2813, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
2915, 16ltrnco 39585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
3013, 14, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
318, 15, 16, 17trlcl 39030 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
3213, 30, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
338, 20latjcl 18391 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
346, 25, 32, 33syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
358, 15lhpbase 38864 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
3612, 35syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
37 cdlemh.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
388, 37latmassOLD 38094 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∧ π‘Š)))
395, 22, 34, 36, 38syl13anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∧ π‘Š)))
40 simp2r 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
41 cdlemh.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
42 cdlemh.z . . . . . . . 8 0 = (0.β€˜πΎ)
4341, 37, 42, 9, 15lhpmat 38896 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑄 ∧ π‘Š) = 0 )
4413, 40, 43syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑄 ∧ π‘Š) = 0 )
4544oveq1d 7423 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((𝑄 ∧ π‘Š) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ( 0 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
4641, 15, 16, 17trlle 39050 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
4713, 30, 46syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
488, 41, 20, 37, 9atmod4i2 38733 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š) β†’ ((𝑄 ∧ π‘Š) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∧ π‘Š))
493, 23, 32, 36, 47, 48syl131anc 1383 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((𝑄 ∧ π‘Š) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∧ π‘Š))
508, 20, 42olj02 38091 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
515, 32, 50syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ( 0 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
5245, 49, 513eqtr3rd 2781 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) = ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∧ π‘Š))
5352oveq2d 7424 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∧ π‘Š)))
54 simp2l 1199 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5514, 28jca 512 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇))
56 simp33 1211 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
5756necomd 2996 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
5815, 16, 17trlcnv 39031 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
5913, 26, 58syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
6057, 59neeqtrrd 3015 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΉ))
61 simp31 1209 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
628, 15, 16ltrncnvnid 38993 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
6313, 26, 61, 62syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
648, 15, 16, 17trlcone 39594 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΉ) ∧ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
6513, 55, 60, 63, 64syl112anc 1374 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
66 simp32 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
678, 9, 15, 16, 17trlnidat 39039 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
6813, 14, 66, 67syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
6941, 15, 16, 17trlle 39050 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
7013, 14, 69syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
719, 15, 16, 17trlcoat 39589 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΉ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴)
7213, 55, 60, 71syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴)
7341, 20, 37, 42, 9, 15lhp2at0 38898 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = 0 )
7413, 54, 65, 68, 70, 72, 47, 73syl322anc 1398 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = 0 )
7539, 53, 743eqtr2rd 2779 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 0 = (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∧ π‘Š))
762, 75eqtr4id 2791 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∧ π‘Š) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  0.cp0 18375  Latclat 18383  OLcol 38039  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025
This theorem is referenced by:  cdlemh  39683
  Copyright terms: Public domain W3C validator