Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π)) |
2 | | simp21l 1291 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΄) |
3 | | simp22l 1293 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΄) |
4 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
5 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
6 | | cdlemh.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | cdlemh.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemh.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemh.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemh.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemh.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdlemh.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
13 | | cdlemh.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
14 | | cdlemh.s |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
15 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdlemh1 39281 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ (π
βπΉ)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 15 | syl122anc 1380 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
17 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . 8
β’ (π = (0.βπΎ) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = ((0.βπΎ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
18 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΎ β HL) |
19 | | hlol 37826 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΎ β OL) |
21 | | simp11r 1286 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π») |
22 | 18, 21 | jca 513 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
23 | | simp13 1206 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΊ β π) |
24 | | simp12 1205 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΉ β π) |
25 | 11, 12 | ltrncnv 38612 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β β‘πΉ β π) |
26 | 22, 24, 25 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β β‘πΉ β π) |
27 | 23, 26 | jca 513 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΊ β π β§ β‘πΉ β π)) |
28 | 5 | necomd 3000 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β (π
βπΉ)) |
29 | 11, 12, 13 | trlcnv 38631 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
ββ‘πΉ) = (π
βπΉ)) |
30 | 22, 24, 29 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
ββ‘πΉ) = (π
βπΉ)) |
31 | 28, 30 | neeqtrrd 3019 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β (π
ββ‘πΉ)) |
32 | 10, 11, 12, 13 | trlcoat 39189 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β§ (π
βπΊ) β (π
ββ‘πΉ)) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄) |
33 | 22, 27, 31, 32 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄) |
34 | 6, 10 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄ β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) |
35 | 33, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) |
36 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
37 | 6, 8, 36 | olj02 37691 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β OL β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΅) β ((0.βπΎ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
38 | 20, 35, 37 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((0.βπΎ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
39 | 17, 38 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π = (0.βπΎ)) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
40 | 11, 12 | ltrnco 39185 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
41 | 22, 23, 26, 40 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
42 | 7, 11, 12, 13 | trlle 38650 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β β‘πΉ) β π) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) |
43 | 22, 41, 42 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) |
44 | | simp22r 1294 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β Β¬ π β€ π) |
45 | | nbrne2 5126 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π β§ Β¬ π β€ π) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π) |
46 | 45 | necomd 3000 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π β (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
47 | 43, 44, 46 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
48 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(LLinesβπΎ) =
(LLinesβπΎ) |
49 | 8, 10, 48 | llni2 37978 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄) β§ π β (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β (LLinesβπΎ)) |
50 | 18, 3, 33, 47, 49 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β (LLinesβπΎ)) |
51 | 10, 48 | llnneat 37980 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β (LLinesβπΎ)) β Β¬ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π΄) |
52 | 18, 50, 51 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β Β¬ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π΄) |
53 | | nelne2 3043 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄ β§ Β¬ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π΄) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
54 | 33, 52, 53 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
55 | 54 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π = (0.βπΎ)) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
56 | 39, 55 | eqnetrd 3012 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π = (0.βπΎ)) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
57 | 56 | ex 414 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π = (0.βπΎ) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) |
58 | 57 | necon2d 2967 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) β π β (0.βπΎ))) |
59 | 16, 58 | mpd 15 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β (0.βπΎ)) |
60 | | simp32 1211 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
61 | 6, 10, 11, 12, 13 | trlnidat 38639 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β (π
βπΊ) β π΄) |
62 | 22, 23, 60, 61 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β π΄) |
63 | 7, 8, 10 | hlatlej2 37841 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
βπΊ) β π΄) β (π
βπΊ) β€ (π β¨ (π
βπΊ))) |
64 | 18, 2, 62, 63 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β€ (π β¨ (π
βπΊ))) |
65 | | simp22 1208 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
66 | | simp31 1210 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
67 | 6, 11, 12 | ltrncnvnid 38593 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅)) β β‘πΉ β ( I βΎ π΅)) |
68 | 22, 24, 66, 67 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β β‘πΉ β ( I βΎ π΅)) |
69 | 6, 11, 12, 13 | trlcone 39194 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
ββ‘πΉ) β§ β‘πΉ β ( I βΎ π΅))) β (π
βπΊ) β (π
β(πΊ β β‘πΉ))) |
70 | 69 | necomd 3000 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
ββ‘πΉ) β§ β‘πΉ β ( I βΎ π΅))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β (π
βπΊ)) |
71 | 22, 23, 26, 31, 68, 70 | syl122anc 1380 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β (π
βπΊ)) |
72 | 7, 11, 12, 13 | trlle 38650 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (π
βπΊ) β€ π) |
73 | 22, 23, 72 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β€ π) |
74 | 7, 8, 10, 11 | lhp2atnle 38499 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β (π
βπΊ)) β§ ((π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄ β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β€ π) β§ ((π
βπΊ) β π΄ β§ (π
βπΊ) β€ π)) β Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
75 | 22, 65, 71, 33, 43, 62, 73, 74 | syl322anc 1399 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
76 | | nbrne1 5125 |
. . . . . . . 8
β’ (((π
βπΊ) β€ (π β¨ (π
βπΊ)) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β (π β¨ (π
βπΊ)) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
77 | 64, 75, 76 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β¨ (π
βπΊ)) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
78 | 8, 9, 36, 10 | 2atmat0 37992 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
βπΊ) β π΄) β§ (π β π΄ β§ (π
β(πΊ β β‘πΉ)) β π΄ β§ (π β¨ (π
βπΊ)) β (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄ β¨ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) = (0.βπΎ))) |
79 | 18, 2, 62, 3, 33, 77, 78 | syl33anc 1386 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄ β¨ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) = (0.βπΎ))) |
80 | 14 | eleq1i 2829 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄) |
81 | 14 | eqeq1i 2742 |
. . . . . . 7
β’ (π = (0.βπΎ) β ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) = (0.βπΎ)) |
82 | 80, 81 | orbi12i 914 |
. . . . . 6
β’ ((π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ)) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄ β¨ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (π β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) = (0.βπΎ))) |
83 | 79, 82 | sylibr 233 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) |
84 | 83 | ord 863 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (Β¬ π β π΄ β π = (0.βπΎ))) |
85 | 84 | necon1ad 2961 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β (0.βπΎ) β π β π΄)) |
86 | 59, 85 | mpd 15 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β π β π΄) |
87 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
88 | 87, 65 | jca 513 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
89 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36 | cdlemh2 39282 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β§ π) = (0.βπΎ)) |
90 | 88, 89 | syld3an2 1412 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β§ π) = (0.βπΎ)) |
91 | 7, 9, 36, 10, 11 | lhpmatb 38497 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΄) β (Β¬ π β€ π β (π β§ π) = (0.βπΎ))) |
92 | 18, 21, 86, 91 | syl21anc 837 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (Β¬ π β€ π β (π β§ π) = (0.βπΎ))) |
93 | 90, 92 | mpbird 257 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β Β¬ π β€ π) |
94 | 86, 93 | jca 513 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |