Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemh 40294
Description: Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemh.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemh.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemh.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemh.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemh.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemh.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemh.s 𝑆 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemh ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))

Proof of Theorem cdlemh
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
2 simp21l 1287 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp22l 1289 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4 simp23 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
5 simp33 1208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
6 cdlemh.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 cdlemh.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemh.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlemh.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdlemh.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdlemh.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 cdlemh.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 cdlemh.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 cdlemh.s . . . . . 6 𝑆 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemh1 40292 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
161, 2, 3, 4, 5, 15syl122anc 1376 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
17 oveq1 7431 . . . . . . . 8 (𝑆 = (0.β€˜πΎ) β†’ (𝑆 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
18 simp11l 1281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 hlol 38837 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
21 simp11r 1282 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
2218, 21jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
23 simp13 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
24 simp12 1201 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2511, 12ltrncnv 39623 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
2622, 24, 25syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
2723, 26jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇))
285necomd 2992 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
2911, 12, 13trlcnv 39642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3022, 24, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3128, 30neeqtrrd 3011 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΉ))
3210, 11, 12, 13trlcoat 40200 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΉ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴)
3322, 27, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴)
346, 10atbase 38765 . . . . . . . . . 10 ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
36 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
376, 8, 36olj02 38702 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
3820, 35, 37syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
3917, 38sylan9eqr 2789 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑆 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝑆 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
4011, 12ltrnco 40196 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
4122, 23, 26, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
427, 11, 12, 13trlle 39661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
4322, 41, 42syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
44 simp22r 1290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
45 nbrne2 5170 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) β‰  𝑄)
4645necomd 2992 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) β†’ 𝑄 β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
4743, 44, 46syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑄 β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
48 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
498, 10, 48llni2 38989 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
5018, 3, 33, 47, 49syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
5110, 48llnneat 38991 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐴)
5218, 50, 51syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐴)
53 nelne2 3036 . . . . . . . . 9 (((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
5433, 52, 53syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
5554adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑆 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
5639, 55eqnetrd 3004 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑆 = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝑆 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
5756ex 411 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 = (0.β€˜πΎ) β†’ (𝑆 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))))
5857necon2d 2959 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((𝑆 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) β†’ 𝑆 β‰  (0.β€˜πΎ)))
5916, 58mpd 15 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑆 β‰  (0.β€˜πΎ))
60 simp32 1207 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
616, 10, 11, 12, 13trlnidat 39650 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
6222, 23, 60, 61syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
637, 8, 10hlatlej2 38852 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
6418, 2, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
65 simp22 1204 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
66 simp31 1206 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
676, 11, 12ltrncnvnid 39604 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
6822, 24, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
696, 11, 12, 13trlcone 40205 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΉ) ∧ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
7069necomd 2992 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΉ) ∧ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
7122, 23, 26, 31, 68, 70syl122anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
727, 11, 12, 13trlle 39661 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
7322, 23, 72syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
747, 8, 10, 11lhp2atnle 39510 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
7522, 65, 71, 33, 43, 62, 73, 74syl322anc 1395 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
76 nbrne1 5169 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
7764, 75, 76syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
788, 9, 36, 102atmat0 39003 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (0.β€˜πΎ)))
7918, 2, 62, 3, 33, 77, 78syl33anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (0.β€˜πΎ)))
8014eleq1i 2819 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∈ 𝐴)
8114eqeq1i 2732 . . . . . . 7 (𝑆 = (0.β€˜πΎ) ↔ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (0.β€˜πΎ))
8280, 81orbi12i 912 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = (0.β€˜πΎ)) ↔ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (0.β€˜πΎ)))
8379, 82sylibr 233 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∨ 𝑆 = (0.β€˜πΎ)))
8483ord 862 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 = (0.β€˜πΎ)))
8584necon1ad 2953 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 β‰  (0.β€˜πΎ) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴))
8659, 85mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
87 simp21 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
8887, 65jca 510 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
896, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36cdlemh2 40293 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
9088, 89syld3an2 1408 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
917, 9, 36, 10, 11lhpmatb 39508 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ↔ (𝑆 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ)))
9218, 21, 86, 91syl21anc 836 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ↔ (𝑆 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ)))
9390, 92mpbird 256 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)
9486, 93jca 510 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936   class class class wbr 5150   I cid 5577  β—‘ccnv 5679   β†Ύ cres 5682   ∘ ccom 5684  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  lecple 17245  joincjn 18308  meetcmee 18309  0.cp0 18420  OLcol 38650  Atomscatm 38739  HLchlt 38826  LLinesclln 38968  LHypclh 39461  LTrncltrn 39578  trLctrl 39635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-riotaBAD 38429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-undef 8283  df-map 8851  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-llines 38975  df-lplanes 38976  df-lvols 38977  df-lines 38978  df-psubsp 38980  df-pmap 38981  df-padd 39273  df-lhyp 39465  df-laut 39466  df-ldil 39581  df-ltrn 39582  df-trl 39636
This theorem is referenced by:  cdlemi  40297  cdlemki  40318  cdlemksv2  40324  cdlemk16a  40333
  Copyright terms: Public domain W3C validator