Theorem cdlemkfid1N 38977

Description: Lemma for cdlemkfid3N 38981. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemkfid1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (𝐺‘𝑃))

Proof of Theorem cdlemkfid1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp23 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
3		simp3r 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
4		cdlemk5.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		cdlemk5.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		cdlemk5.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		cdlemk5.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemk5.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk5.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	trljat3 38224	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)))
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)))
12		simp1l 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
13		simp21 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
14		simp3rl 1246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15	4, 6, 7, 8	ltrnat 38196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
16	1, 13, 14, 15	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
17	4, 6, 7, 8	ltrnat 38196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
18	1, 2, 14, 17	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
19	5, 6	hlatjcom 37424	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
20	12, 16, 18, 19	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
21	4, 5, 6, 7, 8, 9	trlcoabs2N 38778	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐺‘𝑃)))
22	1, 13, 2, 3, 21	syl121anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐺‘𝑃)))
23	7, 8, 9	trlcocnv 38776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))
24	1, 13, 2, 23	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))
25	24	oveq2d 7323	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
26	4, 5, 6, 7, 8, 9	trlcoabs2N 38778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
27	1, 2, 13, 3, 26	syl121anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
28	25, 27	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
29	20, 22, 28	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
30	11, 29	oveq12d 7325	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))
31		cdlemk5.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
32	31, 7, 8, 9	trlcl 38220	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵)
33	1, 2, 32	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵)
34		simp1r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
35		simp3l 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))
36	6, 7, 8, 9	trlcocnvat 38780	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹)) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴)
37	12, 34, 2, 13, 35, 36	syl221anc 1381	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴)
38	4, 6, 7, 8	ltrnel 38195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
39	1, 2, 3, 38	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
40	7, 8	ltrncnv 38202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
41	1, 13, 40	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
42	7, 8, 9	trlcnv 38221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
43	1, 13, 42	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
44	35, 43	neeqtrrd 3016	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘◡𝐹))
45		simp22 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
46	31, 7, 8	ltrncnvnid 38183	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
47	1, 13, 45, 46	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
48	31, 7, 8, 9	trlcone 38784	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘◡𝐹) ∧ ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))
49	1, 2, 41, 44, 47, 48	syl122anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))
50		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
51	50, 6, 7, 8, 9	trlator0 38227	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
52	1, 2, 51	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
53	4, 7, 8, 9	trlle 38240	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊)
54	12, 34, 2, 53	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊)
55	7, 8	ltrnco 38775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
56	1, 2, 41, 55	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
57	4, 7, 8, 9	trlle 38240	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ 𝑊)
58	1, 56, 57	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ 𝑊)
59	4, 5, 50, 6, 7	lhp2at0nle 38091	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ 𝑊)) → ¬ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)))
60	1, 39, 49, 52, 54, 37, 58, 59	syl322anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ¬ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)))
61		cdlemk5.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
62	31, 4, 5, 61, 6	2llnma1b 37842	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺))) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (𝐺‘𝑃))
63	12, 33, 18, 37, 60, 62	syl131anc 1383	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (𝐺‘𝑃))
64	30, 63	eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (𝐺‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941   class class class wbr 5081   I cid 5499  ^◡ccnv 5599   ↾ cres 5602   ∘ ccom 5604  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  lecple 17014  joincjn 18074  meetcmee 18075  0.cp0 18186  Atomscatm 37319  HLchlt 37406  LHypclh 38040  LTrncltrn 38157  trLctrl 38214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-riotaBAD 37009

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-undef 8120  df-map 8648  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-p0 18188  df-p1 18189  df-lat 18195  df-clat 18262  df-oposet 37232  df-ol 37234  df-oml 37235  df-covers 37322  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407  df-llines 37554  df-lplanes 37555  df-lvols 37556  df-lines 37557  df-psubsp 37559  df-pmap 37560  df-padd 37852  df-lhyp 38044  df-laut 38045  df-ldil 38160  df-ltrn 38161  df-trl 38215

This theorem is referenced by:  cdlemkfid2N  38979  cdlemkfid3N  38981