Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkfid1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkfid1N 40923
Description: Lemma for cdlemkfid3N 40927. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemkfid1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝐺𝑃))

Proof of Theorem cdlemkfid1N
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp23 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐺𝑇)
3 simp3r 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4 cdlemk5.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
5 cdlemk5.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
6 cdlemk5.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk5.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk5.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemk5.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
104, 5, 6, 7, 8, 9trljat3 40170 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = ((𝐺𝑃) (𝑅𝐺)))
111, 2, 3, 10syl3anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = ((𝐺𝑃) (𝑅𝐺)))
12 simp1l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp21 1207 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹𝑇)
14 simp3rl 1247 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑃𝐴)
154, 6, 7, 8ltrnat 40142 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
161, 13, 14, 15syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
174, 6, 7, 8ltrnat 40142 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
181, 2, 14, 17syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
195, 6hlatjcom 39369 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) = ((𝐺𝑃) (𝐹𝑃)))
2012, 16, 18, 19syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) = ((𝐺𝑃) (𝐹𝑃)))
214, 5, 6, 7, 8, 9trlcoabs2N 40724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
221, 13, 2, 3, 21syl121anc 1377 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
237, 8, 9trlcocnv 40722 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))
241, 13, 2, 23syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))
2524oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
264, 5, 6, 7, 8, 9trlcoabs2N 40724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝐺𝑃) (𝐹𝑃)))
271, 2, 13, 3, 26syl121anc 1377 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝐺𝑃) (𝐹𝑃)))
2825, 27eqtr3d 2779 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐺𝑃) (𝐹𝑃)))
2920, 22, 283eqtr4d 2787 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
3011, 29oveq12d 7449 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (((𝐺𝑃) (𝑅𝐺)) ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
31 cdlemk5.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3231, 7, 8, 9trlcl 40166 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
331, 2, 32syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
34 simp1r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑊𝐻)
35 simp3l 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
366, 7, 8, 9trlcocnvat 40726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
3712, 34, 2, 13, 35, 36syl221anc 1383 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
384, 6, 7, 8ltrnel 40141 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
391, 2, 3, 38syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
407, 8ltrncnv 40148 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
411, 13, 40syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹𝑇)
427, 8, 9trlcnv 40167 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
431, 13, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
4435, 43neeqtrrd 3015 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
45 simp22 1208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4631, 7, 8ltrncnvnid 40129 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
471, 13, 45, 46syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4831, 7, 8, 9trlcone 40730 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐹)))
491, 2, 41, 44, 47, 48syl122anc 1381 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐹)))
50 eqid 2737 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
5150, 6, 7, 8, 9trlator0 40173 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
521, 2, 51syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
534, 7, 8, 9trlle 40186 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
5412, 34, 2, 53syl21anc 838 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅𝐺) 𝑊)
557, 8ltrnco 40721 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
561, 2, 41, 55syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
574, 7, 8, 9trlle 40186 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊)
581, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊)
594, 5, 50, 6, 7lhp2at0nle 40037 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∧ (((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ∧ ((𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) 𝑊)) → ¬ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ((𝐺𝑃) (𝑅𝐺)))
601, 39, 49, 52, 54, 37, 58, 59syl322anc 1400 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ¬ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ((𝐺𝑃) (𝑅𝐺)))
61 cdlemk5.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
6231, 4, 5, 61, 62llnma1b 39788 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ((𝐺𝑃) (𝑅𝐺))) → (((𝐺𝑃) (𝑅𝐺)) ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝐺𝑃))
6312, 33, 18, 37, 60, 62syl131anc 1385 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (((𝐺𝑃) (𝑅𝐺)) ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝐺𝑃))
6430, 63eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝐺𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143   I cid 5577  ccnv 5684  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  0.cp0 18468  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161
This theorem is referenced by:  cdlemkfid2N  40925  cdlemkfid3N  40927
  Copyright terms: Public domain W3C validator