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Theorem cdlemkfid1N 40449
Description: Lemma for cdlemkfid3N 40453. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemkfid1N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
Proof of Theorem cdlemkfid1N
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp23 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
3 simp3r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 cdlemk5.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 cdlemk5.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 cdlemk5.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemk5.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemk5.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemk5.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
104, 5, 6, 7, 8, 9trljat3 39696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
111, 2, 3, 10syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
12 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 simp21 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
14 simp3rl 1243 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
154, 6, 7, 8ltrnat 39668 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
161, 13, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
174, 6, 7, 8ltrnat 39668 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
181, 2, 14, 17syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
195, 6hlatjcom 38895 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
2012, 16, 18, 19syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
214, 5, 6, 7, 8, 9trlcoabs2N 40250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
221, 13, 2, 3, 21syl121anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
237, 8, 9trlcocnv 40248 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
241, 13, 2, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺)) = (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
2524oveq2d 7431 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
264, 5, 6, 7, 8, 9trlcoabs2N 40250 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
271, 2, 13, 3, 26syl121anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐺))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
2825, 27eqtr3d 2767 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
2920, 22, 283eqtr4d 2775 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
3011, 29oveq12d 7433 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))))
31 cdlemk5.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3231, 7, 8, 9trlcl 39692 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
331, 2, 32syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡)
34 simp1r 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
35 simp3l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
366, 7, 8, 9trlcocnvat 40252 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴)
3712, 34, 2, 13, 35, 36syl221anc 1378 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴)
384, 6, 7, 8ltrnel 39667 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
391, 2, 3, 38syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
407, 8ltrncnv 39674 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
411, 13, 40syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
427, 8, 9trlcnv 39693 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
431, 13, 42syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
4435, 43neeqtrrd 3005 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΉ))
45 simp22 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
4631, 7, 8ltrncnvnid 39655 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
471, 13, 45, 46syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
4831, 7, 8, 9trlcone 40256 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜β—‘πΉ) ∧ ◑𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
491, 2, 41, 44, 47, 48syl122anc 1376 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))
50 eqid 2725 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
5150, 6, 7, 8, 9trlator0 39699 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
521, 2, 51syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
534, 7, 8, 9trlle 39712 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
5412, 34, 2, 53syl21anc 836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
557, 8ltrnco 40247 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
561, 2, 41, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
574, 7, 8, 9trlle 39712 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
581, 56, 57syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
594, 5, 50, 6, 7lhp2at0nle 39563 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) ∧ (((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
601, 39, 49, 52, 54, 37, 58, 59syl322anc 1395 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
61 cdlemk5.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
6231, 4, 5, 61, 62llnma1b 39314 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐴) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
6312, 33, 18, 37, 60, 62syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
6430, 63eqtrd 2765 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  lecple 17237  joincjn 18300  meetcmee 18301  0.cp0 18412  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629  trLctrl 39686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-undef 8275  df-map 8843  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687
This theorem is referenced by:  cdlemkfid2N  40451  cdlemkfid3N  40453
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