Theorem cdlemkfid1N 40900

Description: Lemma for cdlemkfid3N 40904. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemkfid1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (𝐺‘𝑃))

Proof of Theorem cdlemkfid1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp23 1209	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
3		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
4		cdlemk5.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		cdlemk5.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		cdlemk5.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		cdlemk5.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemk5.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk5.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	trljat3 40147	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)))
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)))
12		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
13		simp21 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
14		simp3rl 1247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
15	4, 6, 7, 8	ltrnat 40119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
16	1, 13, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
17	4, 6, 7, 8	ltrnat 40119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
18	1, 2, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
19	5, 6	hlatjcom 39346	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
20	12, 16, 18, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
21	4, 5, 6, 7, 8, 9	trlcoabs2N 40701	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐺‘𝑃)))
22	1, 13, 2, 3, 21	syl121anc 1377	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐺‘𝑃)))
23	7, 8, 9	trlcocnv 40699	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))
24	1, 13, 2, 23	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) = (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))
25	24	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
26	4, 5, 6, 7, 8, 9	trlcoabs2N 40701	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
27	1, 2, 13, 3, 26	syl121anc 1377	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
28	25, 27	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑃)))
29	20, 22, 28	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
30	11, 29	oveq12d 7371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))
31		cdlemk5.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
32	31, 7, 8, 9	trlcl 40143	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵)
33	1, 2, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵)
34		simp1r 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
35		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))
36	6, 7, 8, 9	trlcocnvat 40703	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹)) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴)
37	12, 34, 2, 13, 35, 36	syl221anc 1383	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴)
38	4, 6, 7, 8	ltrnel 40118	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
39	1, 2, 3, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
40	7, 8	ltrncnv 40125	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
41	1, 13, 40	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
42	7, 8, 9	trlcnv 40144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
43	1, 13, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
44	35, 43	neeqtrrd 2999	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘◡𝐹))
45		simp22 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
46	31, 7, 8	ltrncnvnid 40106	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
47	1, 13, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
48	31, 7, 8, 9	trlcone 40707	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘◡𝐹) ∧ ◡𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))
49	1, 2, 41, 44, 47, 48	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))
50		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
51	50, 6, 7, 8, 9	trlator0 40150	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
52	1, 2, 51	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
53	4, 7, 8, 9	trlle 40163	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊)
54	12, 34, 2, 53	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊)
55	7, 8	ltrnco 40698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
56	1, 2, 41, 55	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
57	4, 7, 8, 9	trlle 40163	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ 𝑊)
58	1, 56, 57	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ 𝑊)
59	4, 5, 50, 6, 7	lhp2at0nle 40014	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) ∧ (((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ 𝑊)) → ¬ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)))
60	1, 39, 49, 52, 54, 37, 58, 59	syl322anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ¬ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)))
61		cdlemk5.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
62	31, 4, 5, 61, 6	2llnma1b 39765	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ≤ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺))) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (𝐺‘𝑃))
63	12, 33, 18, 37, 60, 62	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (𝐺‘𝑃))
64	30, 63	eqtrd 2764	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = (𝐺‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095   I cid 5517  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  lecple 17186  joincjn 18235  meetcmee 18236  0.cp0 18345  Atomscatm 39241  HLchlt 39328  LHypclh 39963  LTrncltrn 40080  trLctrl 40137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-riotaBAD 38931

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-undef 8213  df-map 8762  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39154  df-ol 39156  df-oml 39157  df-covers 39244  df-ats 39245  df-atl 39276  df-cvlat 39300  df-hlat 39329  df-llines 39477  df-lplanes 39478  df-lvols 39479  df-lines 39480  df-psubsp 39482  df-pmap 39483  df-padd 39775  df-lhyp 39967  df-laut 39968  df-ldil 40083  df-ltrn 40084  df-trl 40138

This theorem is referenced by:  cdlemkfid2N  40902  cdlemkfid3N  40904