MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttri4d 10519
Description: Trichotomy law for 'less than'. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lttri4d (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lttri4d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 lttri4 10463 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2anc 579 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1070   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888  cr 10273   < clt 10413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418
This theorem is referenced by:  icccvx  23161  ivthicc  23666  dvivth  24214  coseq00topi  24696  cvxcl  25167  scvxcvx  25168  iscgrglt  25869
  Copyright terms: Public domain W3C validator