MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvxcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxcl 26930
Description: Closure of a 0-1 linear combination in a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxcl.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โІ โ„)
cvxcl.2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท)
Assertion
Ref Expression
cvxcl ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ท)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ท   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘Œ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem cvxcl
StepHypRef Expression
1 cvxcl.2 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท)
21ralrimivva 3197 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ท (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท)
32ad2antrr 725 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ท (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท)
4 simpr1 1192 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ท)
5 simpr2 1193 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ท)
6 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) = (๐‘‹[,]๐‘ฆ))
76sseq1d 4011 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†” (๐‘‹[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท))
8 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹[,]๐‘ฆ) = (๐‘‹[,]๐‘Œ))
98sseq1d 4011 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†” (๐‘‹[,]๐‘Œ) โІ ๐ท))
107, 9rspc2v 3620 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ท (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†’ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โІ ๐ท))
114, 5, 10syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ท (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†’ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โІ ๐ท))
1211adantr 480 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ท (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†’ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โІ ๐ท))
133, 12mpd 15 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โІ ๐ท)
14 ax-1cn 11197 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
15 unitssre 13509 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) โІ โ„
16 simpr3 1194 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))
1715, 16sselid 3978 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
1817recnd 11273 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
19 nncan 11520 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
2014, 18, 19sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) = ๐‘‡)
2120oveq1d 7435 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐‘‹) = (๐‘‡ ยท ๐‘‹))
2221oveq1d 7435 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)))
2322adantr 480 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)))
24 cvxcl.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โІ โ„)
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐ท โІ โ„)
2625, 4sseldd 3981 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2726adantr 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2825, 5sseldd 3981 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2928adantr 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
30 simpr 484 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ ๐‘‹ < ๐‘Œ)
31 simplr3 1215 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))
32 iirev 24863 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ (0[,]1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ (0[,]1))
3331, 32syl 17 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ (0[,]1))
34 lincmb01cmp 13505 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โˆง (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
3527, 29, 30, 33, 34syl31anc 1371 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ (((1 โˆ’ (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
3623, 35eqeltrrd 2830 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
3713, 36sseldd 3981 . 2 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ < ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ท)
38 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘‹ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‡ ยท ๐‘‹) = (๐‘‡ ยท ๐‘Œ))
3938oveq1d 7435 . . . 4 (๐‘‹ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) = ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)))
40 pncan3 11499 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡ + (1 โˆ’ ๐‘‡)) = 1)
4118, 14, 40sylancl 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (๐‘‡ + (1 โˆ’ ๐‘‡)) = 1)
4241oveq1d 7435 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((๐‘‡ + (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐‘Œ) = (1 ยท ๐‘Œ))
43 1re 11245 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
44 resubcl 11555 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„)
4543, 17, 44sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„)
4645recnd 11273 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
4728recnd 11273 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
4818, 46, 47adddird 11270 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((๐‘‡ + (1 โˆ’ ๐‘‡)) ยท ๐‘Œ) = ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)))
4947mullidd 11263 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (1 ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
5042, 48, 493eqtr3d 2776 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) = ๐‘Œ)
5139, 50sylan9eqr 2790 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) = ๐‘Œ)
525adantr 480 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ท)
5351, 52eqeltrd 2829 . 2 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘‹ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ท)
542ad2antrr 725 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ท (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท)
55 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) = (๐‘Œ[,]๐‘ฆ))
5655sseq1d 4011 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†” (๐‘Œ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท))
57 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘Œ[,]๐‘ฆ) = (๐‘Œ[,]๐‘‹))
5857sseq1d 4011 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘Œ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†” (๐‘Œ[,]๐‘‹) โІ ๐ท))
5956, 58rspc2v 3620 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ท) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ท (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†’ (๐‘Œ[,]๐‘‹) โІ ๐ท))
605, 4, 59syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ท (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†’ (๐‘Œ[,]๐‘‹) โІ ๐ท))
6160adantr 480 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ท (๐‘ฅ[,]๐‘ฆ) โІ ๐ท โ†’ (๐‘Œ[,]๐‘‹) โІ ๐ท))
6254, 61mpd 15 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ (๐‘Œ[,]๐‘‹) โІ ๐ท)
6326recnd 11273 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
6418, 63mulcld 11265 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
6546, 47mulcld 11265 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
6664, 65addcomd 11447 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ) + (๐‘‡ ยท ๐‘‹)))
6766adantr 480 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ) + (๐‘‡ ยท ๐‘‹)))
6828adantr 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
6926adantr 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
70 simpr 484 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ ๐‘Œ < ๐‘‹)
71 simplr3 1215 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))
72 lincmb01cmp 13505 . . . . 5 (((๐‘Œ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ) + (๐‘‡ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘Œ[,]๐‘‹))
7368, 69, 70, 71, 72syl31anc 1371 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ) + (๐‘‡ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘Œ[,]๐‘‹))
7467, 73eqeltrd 2829 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) โˆˆ (๐‘Œ[,]๐‘‹))
7562, 74sseldd 3981 . 2 (((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ท)
7626, 28lttri4d 11386 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ (๐‘‹ < ๐‘Œ โˆจ ๐‘‹ = ๐‘Œ โˆจ ๐‘Œ < ๐‘‹))
7737, 53, 75, 76mpjao3dan 1429 1 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,]1))) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐‘‹) + ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท ๐‘Œ)) โˆˆ ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058   โІ wss 3947   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144   < clt 11279   โˆ’ cmin 11475  [,]cicc 13360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-rp 13008  df-icc 13364
This theorem is referenced by:  scvxcvx  26931  jensenlem2  26933  amgmlem  26935
  Copyright terms: Public domain W3C validator