MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvxcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvxcl 27016
Description: Closure of a 0-1 linear combination in a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxcl.1 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
cvxcl.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cvxcl ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvxcl
StepHypRef Expression
1 cvxcl.2 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
21ralrimivva 3191 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
32ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
4 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋𝐷)
5 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌𝐷)
6 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥[,]𝑦) = (𝑋[,]𝑦))
76sseq1d 4011 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 ↔ (𝑋[,]𝑦) ⊆ 𝐷))
8 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋[,]𝑦) = (𝑋[,]𝑌))
98sseq1d 4011 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋[,]𝑦) ⊆ 𝐷 ↔ (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷))
107, 9rspc2v 3619 . . . . . 6 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷))
114, 5, 10syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷))
1211adantr 479 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷))
133, 12mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐷)
14 ax-1cn 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
15 unitssre 13532 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
16 simpr3 1193 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
1715, 16sselid 3977 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1817recnd 11294 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
19 nncan 11541 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
2014, 18, 19sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
2120oveq1d 7441 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) = (𝑇 · 𝑋))
2221oveq1d 7441 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
2322adantr 479 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
24 cvxcl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
2524adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐷 ⊆ ℝ)
2625, 4sseldd 3980 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
2825, 5sseldd 3980 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
30 simpr 483 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
31 simplr3 1214 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
32 iirev 24944 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
3331, 32syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
34 lincmb01cmp 13528 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ (𝑋[,]𝑌))
3527, 29, 30, 33, 34syl31anc 1370 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ (𝑋[,]𝑌))
3623, 35eqeltrrd 2827 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ (𝑋[,]𝑌))
3713, 36sseldd 3980 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
38 oveq2 7434 . . . . 5 (𝑋 = 𝑌 → (𝑇 · 𝑋) = (𝑇 · 𝑌))
3938oveq1d 7441 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
40 pncan3 11520 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
4118, 14, 40sylancl 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
4241oveq1d 7441 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
43 1re 11266 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
44 resubcl 11576 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
4543, 17, 44sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
4645recnd 11294 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
4728recnd 11294 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℂ)
4818, 46, 47adddird 11291 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
4947mullidd 11284 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑌) = 𝑌)
5042, 48, 493eqtr3d 2774 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = 𝑌)
5139, 50sylan9eqr 2788 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = 𝑌)
525adantr 479 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑌𝐷)
5351, 52eqeltrd 2826 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
542ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷)
55 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥[,]𝑦) = (𝑌[,]𝑦))
5655sseq1d 4011 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 ↔ (𝑌[,]𝑦) ⊆ 𝐷))
57 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑌[,]𝑦) = (𝑌[,]𝑋))
5857sseq1d 4011 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑌[,]𝑦) ⊆ 𝐷 ↔ (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷))
5956, 58rspc2v 3619 . . . . . 6 ((𝑌𝐷𝑋𝐷) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷))
605, 4, 59syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷))
6160adantr 479 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → (∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐷 → (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷))
6254, 61mpd 15 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → (𝑌[,]𝑋) ⊆ 𝐷)
6326recnd 11294 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
6418, 63mulcld 11286 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
6546, 47mulcld 11286 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑌) ∈ ℂ)
6664, 65addcomd 11468 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)))
6766adantr 479 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)))
6828adantr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → 𝑌 ∈ ℝ)
6926adantr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
70 simpr 483 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → 𝑌 < 𝑋)
71 simplr3 1214 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
72 lincmb01cmp 13528 . . . . 5 (((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 < 𝑋) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)) ∈ (𝑌[,]𝑋))
7368, 69, 70, 71, 72syl31anc 1370 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)) ∈ (𝑌[,]𝑋))
7467, 73eqeltrd 2826 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ (𝑌[,]𝑋))
7562, 74sseldd 3980 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑌 < 𝑋) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
7626, 28lttri4d 11407 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌𝑌 < 𝑋))
7737, 53, 75, 76mpjao3dan 1429 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wss 3947   class class class wbr 5155  (class class class)co 7426  cc 11158  cr 11159  0cc0 11160  1c1 11161   + caddc 11163   · cmul 11165   < clt 11300  cmin 11496  [,]cicc 13383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-rp 13031  df-icc 13387
This theorem is referenced by:  scvxcvx  27017  jensenlem2  27019  amgmlem  27021
  Copyright terms: Public domain W3C validator