Proof of Theorem scvxcvx
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | scvxcvx.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ) |
2 | 1 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐷 ⊆ ℝ) |
3 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ 𝐷) |
4 | 2, 3 | sseldd 3878 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℝ) |
5 | 4 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ) |
6 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ 𝐷) |
7 | 2, 6 | sseldd 3878 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℝ) |
8 | 7 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑌 ∈ ℝ) |
9 | 5, 8 | lttri4d 10859 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋)) |
10 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · 𝑋) = (𝑇 · 𝑋)) |
11 | | oveq2 7178 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑇 → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑇)) |
12 | 11 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · 𝑌) = ((1 − 𝑇) · 𝑌)) |
13 | 10, 12 | oveq12d 7188 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) |
14 | 13 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) = (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))) |
15 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝐹‘𝑋)) = (𝑇 · (𝐹‘𝑋))) |
16 | 11 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)) = ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) |
17 | 15, 16 | oveq12d 7188 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |
18 | 14, 17 | breq12d 5043 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
19 | 3 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐷) |
20 | 6 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐷) |
21 | 19, 20 | jca 515 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) |
22 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌) |
23 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝜑) |
24 | | breq1 5033 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑋 < 𝑦)) |
25 | | oveq2 7178 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · 𝑋)) |
26 | 25 | fvoveq1d 7192 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))) |
27 | | fveq2 6674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋)) |
28 | 27 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 · (𝐹‘𝑥)) = (𝑡 · (𝐹‘𝑋))) |
29 | 28 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) |
30 | 26, 29 | breq12d 5043 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) |
31 | 30 | ralbidv 3109 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) |
32 | 31 | imbi2d 344 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))) |
33 | 24, 32 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) ↔ (𝑋 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))))) |
34 | | breq2 5034 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑦 ↔ 𝑋 < 𝑌)) |
35 | | oveq2 7178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · 𝑌)) |
36 | 35 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) |
37 | 36 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌)))) |
38 | | fveq2 6674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑌)) |
39 | 38 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))) |
40 | 39 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)))) |
41 | 37, 40 | breq12d 5043 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))))) |
42 | 41 | ralbidv 3109 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))))) |
43 | 42 | imbi2d 344 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)))))) |
44 | 34, 43 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) ↔ (𝑋 < 𝑌 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))))))) |
45 | | scvxcvx.4 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) |
46 | 45 | 3expia 1122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) |
47 | 46 | ralrimiv 3095 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) |
48 | 47 | expcom 417 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) |
49 | 48 | 3expia 1122 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))) |
50 | 33, 44, 49 | vtocl2ga 3479 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 < 𝑌 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)))))) |
51 | 21, 22, 23, 50 | syl3c 66 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)))) |
52 | | simprl 771 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑇 ∈ (0(,)1)) |
53 | 18, 51, 52 | rspcdva 3528 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |
54 | 53 | orcd 872 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
55 | 54 | expr 460 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 < 𝑌 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))) |
56 | | unitssre 12973 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0[,]1)
⊆ ℝ |
57 | | simpr3 1197 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1)) |
58 | 56, 57 | sseldi 3875 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ) |
59 | 58 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ) |
60 | | ax-1cn 10673 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℂ |
61 | | pncan3 10972 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝑇 + (1
− 𝑇)) =
1) |
62 | 59, 60, 61 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1) |
63 | 62 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = (1 · 𝑌)) |
64 | | subcl 10963 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝑇
∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ) |
65 | 60, 59, 64 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈
ℂ) |
66 | 7 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℂ) |
67 | 59, 65, 66 | adddird 10744 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) |
68 | 66 | mulid2d 10737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑌) = 𝑌) |
69 | 63, 67, 68 | 3eqtr3d 2781 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = 𝑌) |
70 | 69 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘𝑌)) |
71 | 62 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑌)) = (1 · (𝐹‘𝑌))) |
72 | | scvxcvx.2 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ) |
73 | 72 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐹:𝐷⟶ℝ) |
74 | 73, 6 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ) |
75 | 74 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℂ) |
76 | 59, 65, 75 | adddird 10744 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑌)) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |
77 | 75 | mulid2d 10737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌)) |
78 | 71, 76, 77 | 3eqtr3d 2781 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) = (𝐹‘𝑌)) |
79 | 70, 78 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |
80 | 79 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |
81 | | oveq2 7178 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑇 · 𝑋) = (𝑇 · 𝑌)) |
82 | 81 | fvoveq1d 7192 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))) |
83 | | fveq2 6674 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌)) |
84 | 83 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) = (𝑇 · (𝐹‘𝑌))) |
85 | 84 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |
86 | 82, 85 | eqeq12d 2754 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
87 | 80, 86 | syl5ibrcom 250 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
88 | | olc 867 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
89 | 87, 88 | syl6 35 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))) |
90 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → (𝑡 · 𝑌) = ((1 − 𝑇) · 𝑌)) |
91 | | oveq2 7178 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑇))) |
92 | 91 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((1 − 𝑡) · 𝑋) = ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) |
93 | 90, 92 | oveq12d 7188 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) |
94 | 93 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) = (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)))) |
95 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → (𝑡 · (𝐹‘𝑌)) = ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) |
96 | 91 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)) = ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))) |
97 | 95, 96 | oveq12d 7188 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋)))) |
98 | 94, 97 | breq12d 5043 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))) ↔ (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))))) |
99 | 6 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐷) |
100 | 3 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐷) |
101 | 99, 100 | jca 515 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷)) |
102 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝑌 < 𝑋) |
103 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝜑) |
104 | | breq1 5033 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑌 < 𝑦)) |
105 | | oveq2 7178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · 𝑌)) |
106 | 105 | fvoveq1d 7192 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))) |
107 | | fveq2 6674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑌)) |
108 | 107 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑡 · (𝐹‘𝑥)) = (𝑡 · (𝐹‘𝑌))) |
109 | 108 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) |
110 | 106, 109 | breq12d 5043 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) |
111 | 110 | ralbidv 3109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) |
112 | 111 | imbi2d 344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))) |
113 | 104, 112 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) ↔ (𝑌 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))))) |
114 | | breq2 5034 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑌 < 𝑦 ↔ 𝑌 < 𝑋)) |
115 | | oveq2 7178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · 𝑋)) |
116 | 115 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) |
117 | 116 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋)))) |
118 | | fveq2 6674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑋)) |
119 | 118 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))) |
120 | 119 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)))) |
121 | 117, 120 | breq12d 5043 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))))) |
122 | 121 | ralbidv 3109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))))) |
123 | 122 | imbi2d 344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)))))) |
124 | 114, 123 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑌 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) ↔ (𝑌 < 𝑋 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))))))) |
125 | 113, 124,
49 | vtocl2ga 3479 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → (𝑌 < 𝑋 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)))))) |
126 | 101, 102,
103, 125 | syl3c 66 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)))) |
127 | | 1re 10719 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℝ |
128 | | elioore 12851 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈
ℝ) |
129 | | resubcl 11028 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑇
∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ) |
130 | 127, 128,
129 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (1
− 𝑇) ∈
ℝ) |
131 | | eliooord 12880 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 <
𝑇 ∧ 𝑇 < 1)) |
132 | 131 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 < 1) |
133 | | posdif 11211 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → (𝑇 < 1
↔ 0 < (1 − 𝑇))) |
134 | 128, 127,
133 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 −
𝑇))) |
135 | 132, 134 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 0 < (1
− 𝑇)) |
136 | 131 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 0 <
𝑇) |
137 | | ltsubpos 11210 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → (0 < 𝑇
↔ (1 − 𝑇) <
1)) |
138 | 128, 127,
137 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 <
𝑇 ↔ (1 − 𝑇) < 1)) |
139 | 136, 138 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (1
− 𝑇) <
1) |
140 | | 0xr 10766 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
ℝ* |
141 | | 1xr 10778 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℝ* |
142 | | elioo2 12862 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1
− 𝑇) ∈ (0(,)1)
↔ ((1 − 𝑇)
∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇) ∧ (1 − 𝑇) < 1))) |
143 | 140, 141,
142 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((1
− 𝑇) ∈ (0(,)1)
↔ ((1 − 𝑇)
∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇) ∧ (1 − 𝑇) < 1)) |
144 | 130, 135,
139, 143 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (1
− 𝑇) ∈
(0(,)1)) |
145 | 144 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (1 − 𝑇) ∈ (0(,)1)) |
146 | 98, 126, 145 | rspcdva 3528 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋)))) |
147 | 127, 58, 129 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈
ℝ) |
148 | 147, 7 | remulcld 10749 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑌) ∈ ℝ) |
149 | 148 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑌) ∈ ℂ) |
150 | 58, 4 | remulcld 10749 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℝ) |
151 | 150 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ) |
152 | | nncan 10993 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝑇
∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇) |
153 | 60, 59, 152 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − (1
− 𝑇)) = 𝑇) |
154 | 153 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − (1
− 𝑇)) · 𝑋) = (𝑇 · 𝑋)) |
155 | 154 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋))) |
156 | 149, 151,
155 | comraddd 10932 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) |
157 | 156 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) |
158 | 157 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) = (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))) |
159 | 147, 74 | remulcld 10749 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) ∈ ℝ) |
160 | 159 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) ∈ ℂ) |
161 | 73, 3 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ) |
162 | 58, 161 | remulcld 10749 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ) |
163 | 162 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) ∈ ℂ) |
164 | 153 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − (1
− 𝑇)) · (𝐹‘𝑋)) = (𝑇 · (𝐹‘𝑋))) |
165 | 164 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + (𝑇 · (𝐹‘𝑋)))) |
166 | 160, 163,
165 | comraddd 10932 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |
167 | 166 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |
168 | 146, 158,
167 | 3brtr3d 5061 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |
169 | 168 | orcd 872 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
170 | 169 | expr 460 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑌 < 𝑋 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))) |
171 | 55, 89, 170 | 3jaod 1429 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))) |
172 | 9, 171 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
173 | 172 | ex 416 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ (0(,)1) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))) |
174 | | elpri 4538 |
. . . 4
⊢ (𝑇 ∈ {0, 1} → (𝑇 = 0 ∨ 𝑇 = 1)) |
175 | 75 | addid2d 10919 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌)) |
176 | 161 | recnd 10747 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ) |
177 | 176 | mul02d 10916 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝐹‘𝑋)) = 0) |
178 | 177, 77 | oveq12d 7188 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((0 · (𝐹‘𝑋)) + (1 · (𝐹‘𝑌))) = (0 + (𝐹‘𝑌))) |
179 | 4 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℂ) |
180 | 179 | mul02d 10916 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · 𝑋) = 0) |
181 | 180, 68 | oveq12d 7188 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌)) = (0 + 𝑌)) |
182 | 66 | addid2d 10919 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + 𝑌) = 𝑌) |
183 | 181, 182 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌)) = 𝑌) |
184 | 183 | fveq2d 6678 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) = (𝐹‘𝑌)) |
185 | 175, 178,
184 | 3eqtr4rd 2784 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) = ((0 · (𝐹‘𝑋)) + (1 · (𝐹‘𝑌)))) |
186 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑇 = 0 → (𝑇 · 𝑋) = (0 · 𝑋)) |
187 | | oveq2 7178 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 −
0)) |
188 | | 1m0e1 11837 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1
− 0) = 1 |
189 | 187, 188 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1) |
190 | 189 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · 𝑌) = (1 · 𝑌)) |
191 | 186, 190 | oveq12d 7188 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑇 = 0 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) |
192 | 191 | fveq2d 6678 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑇 = 0 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌)))) |
193 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) = (0 · (𝐹‘𝑋))) |
194 | 189 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) = (1 · (𝐹‘𝑌))) |
195 | 193, 194 | oveq12d 7188 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑇 = 0 → ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) = ((0 · (𝐹‘𝑋)) + (1 · (𝐹‘𝑌)))) |
196 | 192, 195 | eqeq12d 2754 |
. . . . . 6
⊢ (𝑇 = 0 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) = ((0 · (𝐹‘𝑋)) + (1 · (𝐹‘𝑌))))) |
197 | 185, 196 | syl5ibrcom 250 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 = 0 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
198 | 176 | addid1d 10918 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹‘𝑋) + 0) = (𝐹‘𝑋)) |
199 | 176 | mulid2d 10737 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋)) |
200 | 75 | mul02d 10916 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝐹‘𝑌)) = 0) |
201 | 199, 200 | oveq12d 7188 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 · (𝐹‘𝑋)) + (0 · (𝐹‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) + 0)) |
202 | 179 | mulid2d 10737 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑋) = 𝑋) |
203 | 66 | mul02d 10916 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · 𝑌) = 0) |
204 | 202, 203 | oveq12d 7188 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌)) = (𝑋 + 0)) |
205 | 179 | addid1d 10918 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑋 + 0) = 𝑋) |
206 | 204, 205 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌)) = 𝑋) |
207 | 206 | fveq2d 6678 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) = (𝐹‘𝑋)) |
208 | 198, 201,
207 | 3eqtr4rd 2784 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) = ((1 · (𝐹‘𝑋)) + (0 · (𝐹‘𝑌)))) |
209 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑇 = 1 → (𝑇 · 𝑋) = (1 · 𝑋)) |
210 | | oveq2 7178 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑇 = 1 → (1 − 𝑇) = (1 −
1)) |
211 | | 1m1e0 11788 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1
− 1) = 0 |
212 | 210, 211 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑇 = 1 → (1 − 𝑇) = 0) |
213 | 212 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑇 = 1 → ((1 − 𝑇) · 𝑌) = (0 · 𝑌)) |
214 | 209, 213 | oveq12d 7188 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑇 = 1 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) |
215 | 214 | fveq2d 6678 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑇 = 1 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌)))) |
216 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑇 = 1 → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) = (1 · (𝐹‘𝑋))) |
217 | 212 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑇 = 1 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) = (0 · (𝐹‘𝑌))) |
218 | 216, 217 | oveq12d 7188 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑇 = 1 → ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) = ((1 · (𝐹‘𝑋)) + (0 · (𝐹‘𝑌)))) |
219 | 215, 218 | eqeq12d 2754 |
. . . . . 6
⊢ (𝑇 = 1 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) = ((1 · (𝐹‘𝑋)) + (0 · (𝐹‘𝑌))))) |
220 | 208, 219 | syl5ibrcom 250 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 = 1 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
221 | 197, 220 | jaod 858 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 = 0 ∨ 𝑇 = 1) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
222 | 174, 221,
88 | syl56 36 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ {0, 1} → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))) |
223 | | 0le1 11241 |
. . . . . 6
⊢ 0 ≤
1 |
224 | | prunioo 12955 |
. . . . . 6
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1)
→ ((0(,)1) ∪ {0, 1}) = (0[,]1)) |
225 | 140, 141,
223, 224 | mp3an 1462 |
. . . . 5
⊢ ((0(,)1)
∪ {0, 1}) = (0[,]1) |
226 | 57, 225 | eleqtrrdi 2844 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ((0(,)1) ∪ {0,
1})) |
227 | | elun 4039 |
. . . 4
⊢ (𝑇 ∈ ((0(,)1) ∪ {0, 1})
↔ (𝑇 ∈ (0(,)1)
∨ 𝑇 ∈ {0,
1})) |
228 | 226, 227 | sylib 221 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ (0(,)1) ∨ 𝑇 ∈ {0, 1})) |
229 | 173, 222,
228 | mpjaod 859 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))) |
230 | | scvxcvx.3 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷) |
231 | 1, 230 | cvxcl 25722 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷) |
232 | 73, 231 | ffvelrnd 6862 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ∈ ℝ) |
233 | 162, 159 | readdcld 10748 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∈ ℝ) |
234 | 232, 233 | leloed 10861 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ≤ ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ↔ ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))) |
235 | 229, 234 | mpbird 260 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ≤ ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))) |