Theorem coseq00topi 25090

Description: Location of the zeroes of cosine in (0[,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq00topi	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq00topi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
2		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
3		0re 10645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		pire 25046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
5	3, 4	elicc2i 12805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
6	2, 5	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1d 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
10		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (π / 2))
11	3	rexri 10701	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		halfpire 25052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	rexri 10701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
14		elioo2 12782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
15	11, 13, 14	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2)))
16	8, 9, 10, 15	syl3anbrc 1339	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)))
17		sincosq1sgn 25086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
19	18	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (cos‘𝐴))
20	19	gt0ne0d 11206	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
21		cos0 15505	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘0) = 1
22		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
23	22	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → (cos‘0) = (cos‘𝐴))
24	21, 23	syl5reqr 2873	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → (cos‘𝐴) = 1)
25		ax-1ne0 10608	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → 1 ≠ 0)
27	24, 26	eqnetrd 3085	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
28	6	simp2d 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ≤ 𝐴)
29		0red 10646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
30	29, 7	leloed 10785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31	28, 30	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
32	31	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
33	20, 27, 32	mpjaodan 955	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
34	1, 33	pm2.21ddne 3103	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 = (π / 2))
35		simpr 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → 𝐴 = (π / 2))
36		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
37	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ℝ)
38		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (π / 2) < 𝐴)
39		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 < π)
40	4	rexri 10701	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ*
41		elioo2 12782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
42	13, 40, 41	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
43	37, 38, 39, 42	syl3anbrc 1339	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π))
44		sincosq2sgn 25087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
46	45	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < 0)
47	46	lt0ne0d 11207	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
48		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → 𝐴 = π)
49	48	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → (cos‘𝐴) = (cos‘π))
50		cospi 25060	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘π) = -1
51	49, 50	syl6eq 2874	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → (cos‘𝐴) = -1)
52		neg1ne0 11756	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → -1 ≠ 0)
54	51, 53	eqnetrd 3085	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
55	6	simp3d 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ π)
56	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
57	7, 56	leloed 10785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π)))
58	55, 57	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π))
59	58	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π))
60	47, 54, 59	mpjaodan 955	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
61	36, 60	pm2.21ddne 3103	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
62	56	rehalfcld 11887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (π / 2) ∈ ℝ)
63	7, 62	lttri4d 10783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < (π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴))
64	34, 35, 61, 63	mpjao3dan 1427	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (π / 2))
65		fveq2 6672	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
66		coshalfpi 25057	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
67	65, 66	syl6eq 2874	. . 3 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
68	67	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
69	64, 68	impbida 799	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  -cneg 10873   / cdiv 11299  2c2 11695  (,)cioo 12741  [,]cicc 12744  sincsin 15419  cosccos 15420  πcpi 15422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467

This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  25091