Theorem coseq00topi 25392

Description: Location of the zeroes of cosine in (0[,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq00topi	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq00topi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
2		simpl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
3		0re 10835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		pire 25348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
5	3, 4	elicc2i 13001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
6	2, 5	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
10		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (π / 2))
11	3	rexri 10891	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		halfpire 25354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	rexri 10891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
14		elioo2 12976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
15	11, 13, 14	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2)))
16	8, 9, 10, 15	syl3anbrc 1345	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)))
17		sincosq1sgn 25388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
19	18	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (cos‘𝐴))
20	19	gt0ne0d 11396	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
21		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
22	21	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → (cos‘0) = (cos‘𝐴))
23		cos0 15711	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘0) = 1
24	22, 23	eqtr3di 2793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → (cos‘𝐴) = 1)
25		ax-1ne0 10798	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → 1 ≠ 0)
27	24, 26	eqnetrd 3008	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
28	6	simp2d 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ≤ 𝐴)
29		0red 10836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
30	29, 7	leloed 10975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31	28, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
32	31	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
33	20, 27, 32	mpjaodan 959	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
34	1, 33	pm2.21ddne 3026	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 = (π / 2))
35		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → 𝐴 = (π / 2))
36		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
37	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ℝ)
38		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (π / 2) < 𝐴)
39		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 < π)
40	4	rexri 10891	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ*
41		elioo2 12976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
42	13, 40, 41	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
43	37, 38, 39, 42	syl3anbrc 1345	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π))
44		sincosq2sgn 25389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
46	45	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < 0)
47	46	lt0ne0d 11397	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
48		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → 𝐴 = π)
49	48	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → (cos‘𝐴) = (cos‘π))
50		cospi 25362	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘π) = -1
51	49, 50	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → (cos‘𝐴) = -1)
52		neg1ne0 11946	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → -1 ≠ 0)
54	51, 53	eqnetrd 3008	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
55	6	simp3d 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ π)
56	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
57	7, 56	leloed 10975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π)))
58	55, 57	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π))
59	58	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π))
60	47, 54, 59	mpjaodan 959	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
61	36, 60	pm2.21ddne 3026	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
62	56	rehalfcld 12077	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (π / 2) ∈ ℝ)
63	7, 62	lttri4d 10973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < (π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴))
64	34, 35, 61, 63	mpjao3dan 1433	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (π / 2))
65		fveq2 6717	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
66		coshalfpi 25359	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
67	65, 66	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
68	67	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
69	64, 68	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  -cneg 11063   / cdiv 11489  2c2 11885  (,)cioo 12935  [,]cicc 12938  sincsin 15625  cosccos 15626  πcpi 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764

This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  25393