MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coseq00topi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coseq00topi 26249
Description: Location of the zeroes of cosine in (0[,]Ο€). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
coseq00topi (𝐴 ∈ (0[,]Ο€) β†’ ((cosβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = (Ο€ / 2)))

Proof of Theorem coseq00topi
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) = 0)
2 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]Ο€))
3 0re 11221 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
4 pire 26205 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ
53, 4elicc2i 13395 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
62, 5sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
76simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
87ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < 𝐴)
10 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 < (Ο€ / 2))
113rexri 11277 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
12 halfpire 26211 . . . . . . . . . . 11 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
1312rexri 11277 . . . . . . . . . 10 (Ο€ / 2) ∈ ℝ*
14 elioo2 13370 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2))))
1511, 13, 14mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)))
168, 9, 10, 15syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)))
17 sincosq1sgn 26245 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)(Ο€ / 2)) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
1918simprd 495 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (cosβ€˜π΄))
2019gt0ne0d 11783 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 < 𝐴) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 = 𝐴) β†’ 0 = 𝐴)
2221fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 = 𝐴) β†’ (cosβ€˜0) = (cosβ€˜π΄))
23 cos0 16098 . . . . . . 7 (cosβ€˜0) = 1
2422, 23eqtr3di 2786 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 = 𝐴) β†’ (cosβ€˜π΄) = 1)
25 ax-1ne0 11183 . . . . . . 7 1 β‰  0
2625a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 = 𝐴) β†’ 1 β‰  0)
2724, 26eqnetrd 3007 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) ∧ 0 = 𝐴) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
286simp2d 1142 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ 0 ≀ 𝐴)
29 0red 11222 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
3029, 7leloed 11362 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3128, 30mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
3231adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) β†’ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
3320, 27, 32mpjaodan 956 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
341, 33pm2.21ddne 3025 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 < (Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 = (Ο€ / 2))
35 simpr 484 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 = (Ο€ / 2)) β†’ 𝐴 = (Ο€ / 2))
36 simplr 766 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) β†’ (cosβ€˜π΄) = 0)
377ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
38 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ (Ο€ / 2) < 𝐴)
39 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ 𝐴 < Ο€)
404rexri 11277 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ*
41 elioo2 13370 . . . . . . . . . 10 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ((Ο€ / 2)(,)Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€)))
4213, 40, 41mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((Ο€ / 2)(,)Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < Ο€))
4337, 38, 39, 42syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ 𝐴 ∈ ((Ο€ / 2)(,)Ο€))
44 sincosq2sgn 26246 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((Ο€ / 2)(,)Ο€) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ (cosβ€˜π΄) < 0))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ (0 < (sinβ€˜π΄) ∧ (cosβ€˜π΄) < 0))
4645simprd 495 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ (cosβ€˜π΄) < 0)
4746lt0ne0d 11784 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < Ο€) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
48 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = Ο€) β†’ 𝐴 = Ο€)
4948fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = Ο€) β†’ (cosβ€˜π΄) = (cosβ€˜Ο€))
50 cospi 26219 . . . . . . 7 (cosβ€˜Ο€) = -1
5149, 50eqtrdi 2787 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = Ο€) β†’ (cosβ€˜π΄) = -1)
52 neg1ne0 12333 . . . . . . 7 -1 β‰  0
5352a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = Ο€) β†’ -1 β‰  0)
5451, 53eqnetrd 3007 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = Ο€) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
556simp3d 1143 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ≀ Ο€)
564a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
577, 56leloed 11362 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 ≀ Ο€ ↔ (𝐴 < Ο€ ∨ 𝐴 = Ο€)))
5855, 57mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 < Ο€ ∨ 𝐴 = Ο€))
5958adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) β†’ (𝐴 < Ο€ ∨ 𝐴 = Ο€))
6047, 54, 59mpjaodan 956 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
6136, 60pm2.21ddne 3025 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) ∧ (Ο€ / 2) < 𝐴) β†’ 𝐴 = (Ο€ / 2))
6256rehalfcld 12464 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
637, 62lttri4d 11360 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 < (Ο€ / 2) ∨ 𝐴 = (Ο€ / 2) ∨ (Ο€ / 2) < 𝐴))
6434, 35, 61, 63mpjao3dan 1430 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ (cosβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 = (Ο€ / 2))
65 fveq2 6891 . . . 4 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (cosβ€˜π΄) = (cosβ€˜(Ο€ / 2)))
66 coshalfpi 26216 . . . 4 (cosβ€˜(Ο€ / 2)) = 0
6765, 66eqtrdi 2787 . . 3 (𝐴 = (Ο€ / 2) β†’ (cosβ€˜π΄) = 0)
6867adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ∧ 𝐴 = (Ο€ / 2)) β†’ (cosβ€˜π΄) = 0)
6964, 68impbida 798 1 (𝐴 ∈ (0[,]Ο€) β†’ ((cosβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = (Ο€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  sincsin 16012  cosccos 16013  Ο€cpi 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  26250
  Copyright terms: Public domain W3C validator