Theorem coseq00topi 26438

Description: Location of the zeroes of cosine in (0[,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq00topi	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq00topi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
2		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ (0[,]π))
3		0re 11114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		pire 26393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
5	3, 4	elicc2i 13312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
6	2, 5	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
10		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (π / 2))
11	3	rexri 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		halfpire 26400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	rexri 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
14		elioo2 13286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
15	11, 13, 14	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2)))
16	8, 9, 10, 15	syl3anbrc 1344	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)))
17		sincosq1sgn 26434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
19	18	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (cos‘𝐴))
20	19	gt0ne0d 11681	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 < 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
22	21	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → (cos‘0) = (cos‘𝐴))
23		cos0 16059	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘0) = 1
24	22, 23	eqtr3di 2781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → (cos‘𝐴) = 1)
25		ax-1ne0 11075	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → 1 ≠ 0)
27	24, 26	eqnetrd 2995	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) ∧ 0 = 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
28	6	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ≤ 𝐴)
29		0red 11115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
30	29, 7	leloed 11256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
33	20, 27, 32	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
34	1, 33	pm2.21ddne 3012	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 = (π / 2))
35		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → 𝐴 = (π / 2))
36		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
37	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ℝ)
38		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (π / 2) < 𝐴)
39		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 < π)
40	4	rexri 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ*
41		elioo2 13286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
42	13, 40, 41	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
43	37, 38, 39, 42	syl3anbrc 1344	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π))
44		sincosq2sgn 26435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
46	45	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) < 0)
47	46	lt0ne0d 11682	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 < π) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
48		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → 𝐴 = π)
49	48	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → (cos‘𝐴) = (cos‘π))
50		cospi 26408	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘π) = -1
51	49, 50	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → (cos‘𝐴) = -1)
52		neg1ne0 12112	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → -1 ≠ 0)
54	51, 53	eqnetrd 2995	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) ∧ 𝐴 = π) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
55	6	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ≤ π)
56	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
57	7, 56	leloed 11256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π)))
58	55, 57	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π))
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π))
60	47, 54, 59	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
61	36, 60	pm2.21ddne 3012	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
62	56	rehalfcld 12368	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (π / 2) ∈ ℝ)
63	7, 62	lttri4d 11254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < (π / 2) ∨ 𝐴 = (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴))
64	34, 35, 61, 63	mpjao3dan 1434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (π / 2))
65		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
66		coshalfpi 26405	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
67	65, 66	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
68	67	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]π) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
69	64, 68	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  -cneg 11345   / cdiv 11774  2c2 12180  (,)cioo 13245  [,]cicc 13248  sincsin 15970  cosccos 15971  πcpi 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795

This theorem is referenced by:  coseq0negpitopi  26439