Theorem letri3d 11279

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11028   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  add20  11653  eqord1  11669  msq11  12048  supadd  12115  supmul  12119  suprzcl  12600  uzwo3  12884  flid  13758  flval3  13765  gcd0id  16479  gcdneg  16482  bezoutlem4  16502  gcdzeq  16512  lcmneg  16563  coprmgcdb  16609  qredeq  16617  pcidlem  16834  pcgcd1  16839  4sqlem17  16923  0ram  16982  ram0  16984  mndodconglem  19507  sylow1lem5  19568  zntoslem  21546  cnmpopc  24905  ovolsca  25492  ismbl2  25504  voliunlem2  25528  dyadmaxlem  25574  mbfi1fseqlem4  25695  itg2cnlem1  25738  ditgneg  25834  rolle  25967  dvivthlem1  25985  plyeq0lem  26185  dgreq  26219  coemulhi  26229  dgradd2  26243  dgrmul  26245  plydiveu  26275  vieta1lem2  26288  pilem3  26431  recxpf1lem  26706  zabsle1  27273  2sqmod  27413  ostth2  27614  brbtwn2  28988  axcontlem8  29054  nmophmi  32117  leoptri  32222  fzto1st1  33178  ballotlemfc0  34653  ballotlemfcc  34654  0nn0m1nnn0  35311  poimirlem23  37978  unitscyglem1  42648  rmspecfund  43355  ubelsupr  45469  lefldiveq  45743  wallispilem3  46513  fourierdlem6  46559  fourierdlem42  46595  fourierdlem50  46602  fourierdlem52  46604  fourierdlem54  46606  fourierdlem79  46631  fourierdlem102  46654  fourierdlem114  46666  2ffzoeq  47788  lighneallem2  48081