Theorem letri3d 11400

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ℝcr 11151   ≤ cle 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298

This theorem is referenced by:  add20  11772  eqord1  11788  msq11  12166  supadd  12233  supmul  12237  suprzcl  12695  uzwo3  12982  flid  13844  flval3  13851  gcd0id  16552  gcdneg  16555  bezoutlem4  16575  gcdzeq  16585  lcmneg  16636  coprmgcdb  16682  qredeq  16690  pcidlem  16905  pcgcd1  16910  4sqlem17  16994  0ram  17053  ram0  17055  mndodconglem  19573  sylow1lem5  19634  zntoslem  21592  cnmpopc  24968  ovolsca  25563  ismbl2  25575  voliunlem2  25599  dyadmaxlem  25645  mbfi1fseqlem4  25767  itg2cnlem1  25810  ditgneg  25906  rolle  26042  dvivthlem1  26061  plyeq0lem  26263  dgreq  26297  coemulhi  26307  dgradd2  26322  dgrmul  26324  plydiveu  26354  vieta1lem2  26367  pilem3  26511  recxpf1lem  26785  zabsle1  27354  2sqmod  27494  ostth2  27695  brbtwn2  28934  axcontlem8  29000  nmophmi  32059  leoptri  32164  fzto1st1  33104  ballotlemfc0  34473  ballotlemfcc  34474  0nn0m1nnn0  35096  poimirlem23  37629  unitscyglem1  42176  rmspecfund  42896  ubelsupr  44957  lefldiveq  45242  wallispilem3  46022  fourierdlem6  46068  fourierdlem42  46104  fourierdlem50  46111  fourierdlem52  46113  fourierdlem54  46115  fourierdlem79  46140  fourierdlem102  46163  fourierdlem114  46175  2ffzoeq  47276  lighneallem2  47530