Theorem letri3d 11491

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388

This theorem is used by:  add20  11868  eqord1  11884  msq11  12258  supadd  12325  supmul  12329  0nn0m1nnn0  12793  suprzcl  12819  uzwo3  13110  flid  13988  flval3  13995  gcd0id  16735  gcdneg  16738  bezoutlem4  16759  gcdzeq  16769  lcmneg  16822  coprmgcdb  16868  qredeq  16876  pcidlem  17094  pcgcd1  17099  4sqlem17  17183  0ram  17242  ram0  17244  mndodconglem  19806  sylow1lem5  19867  zntoslem  21917  cnmpopc  25304  ovolsca  25891  ismbl2  25903  voliunlem2  25927  dyadmaxlem  25973  mbfi1fseqlem4  26094  itg2cnlem1  26137  ditgneg  26232  rolle  26365  dvivthlem1  26383  plyeq0lem  26584  dgreq  26618  coemulhi  26628  dgradd2  26642  dgrmul  26644  plydiveu  26674  vieta1lem2  26689  pilem3  26837  recxpf1lem  27114  zabsle1  27680  2sqmod  27820  ostth2  28021  brbtwn2  29540  axcontlem8  29606  nmophmi  32690  leoptri  32795  fzto1st1  33762  ballotlemfc0  35236  ballotlemfcc  35237  poimirlem23  38829  unitscyglem1  43511  rmspecfund  44182  ubelsupr  46311  lefldiveq  46581  wallispilem3  47350  fourierdlem6  47396  fourierdlem42  47432  fourierdlem50  47439  fourierdlem52  47441  fourierdlem54  47443  fourierdlem79  47468  fourierdlem102  47491  fourierdlem114  47503  2ffzoeq  48671  lighneallem2  48964