Theorem letri3d 11432

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  add20  11802  eqord1  11818  msq11  12196  supadd  12263  supmul  12267  suprzcl  12723  uzwo3  13008  flid  13859  flval3  13866  gcd0id  16565  gcdneg  16568  bezoutlem4  16589  gcdzeq  16599  lcmneg  16650  coprmgcdb  16696  qredeq  16704  pcidlem  16919  pcgcd1  16924  4sqlem17  17008  0ram  17067  ram0  17069  mndodconglem  19583  sylow1lem5  19644  zntoslem  21598  cnmpopc  24974  ovolsca  25569  ismbl2  25581  voliunlem2  25605  dyadmaxlem  25651  mbfi1fseqlem4  25773  itg2cnlem1  25816  ditgneg  25912  rolle  26048  dvivthlem1  26067  plyeq0lem  26269  dgreq  26303  coemulhi  26313  dgradd2  26328  dgrmul  26330  plydiveu  26358  vieta1lem2  26371  pilem3  26515  recxpf1lem  26789  zabsle1  27358  2sqmod  27498  ostth2  27699  brbtwn2  28938  axcontlem8  29004  nmophmi  32063  leoptri  32168  fzto1st1  33095  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  0nn0m1nnn0  35080  poimirlem23  37603  unitscyglem1  42152  rmspecfund  42865  ubelsupr  44920  lefldiveq  45207  wallispilem3  45988  fourierdlem6  46034  fourierdlem42  46070  fourierdlem50  46077  fourierdlem52  46079  fourierdlem54  46081  fourierdlem79  46106  fourierdlem102  46129  fourierdlem114  46141  2ffzoeq  47242  lighneallem2  47480