Theorem letri3d 11255

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ℝcr 11005   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152

This theorem is referenced by:  add20  11629  eqord1  11645  msq11  12023  supadd  12090  supmul  12094  suprzcl  12553  uzwo3  12841  flid  13712  flval3  13719  gcd0id  16430  gcdneg  16433  bezoutlem4  16453  gcdzeq  16463  lcmneg  16514  coprmgcdb  16560  qredeq  16568  pcidlem  16784  pcgcd1  16789  4sqlem17  16873  0ram  16932  ram0  16934  mndodconglem  19454  sylow1lem5  19515  zntoslem  21494  cnmpopc  24850  ovolsca  25444  ismbl2  25456  voliunlem2  25480  dyadmaxlem  25526  mbfi1fseqlem4  25647  itg2cnlem1  25690  ditgneg  25786  rolle  25922  dvivthlem1  25941  plyeq0lem  26143  dgreq  26177  coemulhi  26187  dgradd2  26202  dgrmul  26204  plydiveu  26234  vieta1lem2  26247  pilem3  26391  recxpf1lem  26666  zabsle1  27235  2sqmod  27375  ostth2  27576  brbtwn2  28884  axcontlem8  28950  nmophmi  32009  leoptri  32114  fzto1st1  33069  ballotlemfc0  34504  ballotlemfcc  34505  0nn0m1nnn0  35155  poimirlem23  37689  unitscyglem1  42234  rmspecfund  42948  ubelsupr  45063  lefldiveq  45339  wallispilem3  46111  fourierdlem6  46157  fourierdlem42  46193  fourierdlem50  46200  fourierdlem52  46202  fourierdlem54  46204  fourierdlem79  46229  fourierdlem102  46252  fourierdlem114  46264  2ffzoeq  47364  lighneallem2  47643