Theorem letri3d 11445

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11388	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192   ≤ cle 11337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342

This theorem is used by:  add20  11821  eqord1  11837  msq11  12211  supadd  12278  supmul  12282  0nn0m1nnn0  12746  suprzcl  12772  uzwo3  13063  flid  13941  flval3  13948  gcd0id  16684  gcdneg  16687  bezoutlem4  16708  gcdzeq  16718  lcmneg  16771  coprmgcdb  16817  qredeq  16825  pcidlem  17043  pcgcd1  17048  4sqlem17  17132  0ram  17191  ram0  17193  mndodconglem  19748  sylow1lem5  19809  zntoslem  21855  cnmpopc  25242  ovolsca  25829  ismbl2  25841  voliunlem2  25865  dyadmaxlem  25911  mbfi1fseqlem4  26032  itg2cnlem1  26075  ditgneg  26170  rolle  26303  dvivthlem1  26321  plyeq0lem  26522  dgreq  26556  coemulhi  26566  dgradd2  26580  dgrmul  26582  plydiveu  26612  vieta1lem2  26627  pilem3  26773  recxpf1lem  27050  zabsle1  27616  2sqmod  27756  ostth2  27957  brbtwn2  29476  axcontlem8  29542  nmophmi  32626  leoptri  32731  fzto1st1  33656  ballotlemfc0  35118  ballotlemfcc  35119  poimirlem23  38541  unitscyglem1  43225  rmspecfund  43895  ubelsupr  46006  lefldiveq  46277  wallispilem3  47046  fourierdlem6  47092  fourierdlem42  47128  fourierdlem50  47135  fourierdlem52  47137  fourierdlem54  47139  fourierdlem79  47164  fourierdlem102  47187  fourierdlem114  47199  2ffzoeq  48367  lighneallem2  48660