Theorem letri3d 11376

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11319	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11123   ≤ cle 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273

This theorem is used by:  add20  11750  eqord1  11766  msq11  12140  supadd  12207  supmul  12211  0nn0m1nnn0  12675  suprzcl  12701  uzwo3  12992  flid  13869  flval3  13876  gcd0id  16609  gcdneg  16612  bezoutlem4  16632  gcdzeq  16642  lcmneg  16693  coprmgcdb  16739  qredeq  16747  pcidlem  16964  pcgcd1  16969  4sqlem17  17053  0ram  17112  ram0  17114  mndodconglem  19668  sylow1lem5  19729  zntoslem  21769  cnmpopc  25156  ovolsca  25743  ismbl2  25755  voliunlem2  25779  dyadmaxlem  25825  mbfi1fseqlem4  25946  itg2cnlem1  25989  ditgneg  26084  rolle  26217  dvivthlem1  26235  plyeq0lem  26436  dgreq  26470  coemulhi  26480  dgradd2  26494  dgrmul  26496  plydiveu  26528  vieta1lem2  26543  pilem3  26689  recxpf1lem  26966  zabsle1  27532  2sqmod  27672  ostth2  27873  brbtwn2  29362  axcontlem8  29428  nmophmi  32512  leoptri  32617  fzto1st1  33542  ballotlemfc0  35004  ballotlemfcc  35005  poimirlem23  38392  unitscyglem1  43061  rmspecfund  43750  ubelsupr  45854  lefldiveq  46125  wallispilem3  46895  fourierdlem6  46941  fourierdlem42  46977  fourierdlem50  46984  fourierdlem52  46986  fourierdlem54  46988  fourierdlem79  47013  fourierdlem102  47036  fourierdlem114  47048  2ffzoeq  48216  lighneallem2  48509