Theorem letri3d 11288

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  add20  11662  eqord1  11678  msq11  12057  supadd  12124  supmul  12128  suprzcl  12609  uzwo3  12893  flid  13767  flval3  13774  gcd0id  16488  gcdneg  16491  bezoutlem4  16511  gcdzeq  16521  lcmneg  16572  coprmgcdb  16618  qredeq  16626  pcidlem  16843  pcgcd1  16848  4sqlem17  16932  0ram  16991  ram0  16993  mndodconglem  19516  sylow1lem5  19577  zntoslem  21536  cnmpopc  24895  ovolsca  25482  ismbl2  25494  voliunlem2  25518  dyadmaxlem  25564  mbfi1fseqlem4  25685  itg2cnlem1  25728  ditgneg  25824  rolle  25957  dvivthlem1  25975  plyeq0lem  26175  dgreq  26209  coemulhi  26219  dgradd2  26233  dgrmul  26235  plydiveu  26264  vieta1lem2  26277  pilem3  26418  recxpf1lem  26693  zabsle1  27259  2sqmod  27399  ostth2  27600  brbtwn2  28974  axcontlem8  29040  nmophmi  32102  leoptri  32207  fzto1st1  33163  ballotlemfc0  34637  ballotlemfcc  34638  0nn0m1nnn0  35295  poimirlem23  37964  unitscyglem1  42634  rmspecfund  43337  ubelsupr  45451  lefldiveq  45725  wallispilem3  46495  fourierdlem6  46541  fourierdlem42  46577  fourierdlem50  46584  fourierdlem52  46586  fourierdlem54  46588  fourierdlem79  46613  fourierdlem102  46636  fourierdlem114  46648  2ffzoeq  47776  lighneallem2  48069