Theorem letri3d 11377

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11320	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝcr 11128   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275

This theorem is referenced by:  add20  11749  eqord1  11765  msq11  12143  supadd  12210  supmul  12214  suprzcl  12673  uzwo3  12959  flid  13825  flval3  13832  gcd0id  16538  gcdneg  16541  bezoutlem4  16561  gcdzeq  16571  lcmneg  16622  coprmgcdb  16668  qredeq  16676  pcidlem  16892  pcgcd1  16897  4sqlem17  16981  0ram  17040  ram0  17042  mndodconglem  19522  sylow1lem5  19583  zntoslem  21517  cnmpopc  24873  ovolsca  25468  ismbl2  25480  voliunlem2  25504  dyadmaxlem  25550  mbfi1fseqlem4  25671  itg2cnlem1  25714  ditgneg  25810  rolle  25946  dvivthlem1  25965  plyeq0lem  26167  dgreq  26201  coemulhi  26211  dgradd2  26226  dgrmul  26228  plydiveu  26258  vieta1lem2  26271  pilem3  26415  recxpf1lem  26690  zabsle1  27259  2sqmod  27399  ostth2  27600  brbtwn2  28884  axcontlem8  28950  nmophmi  32012  leoptri  32117  fzto1st1  33113  ballotlemfc0  34525  ballotlemfcc  34526  0nn0m1nnn0  35135  poimirlem23  37667  unitscyglem1  42208  rmspecfund  42932  ubelsupr  45044  lefldiveq  45321  wallispilem3  46096  fourierdlem6  46142  fourierdlem42  46178  fourierdlem50  46185  fourierdlem52  46187  fourierdlem54  46189  fourierdlem79  46214  fourierdlem102  46237  fourierdlem114  46249  2ffzoeq  47356  lighneallem2  47620