Theorem letri3d 11286

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11229	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ℝcr 11035   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183

This theorem is referenced by:  add20  11660  eqord1  11676  msq11  12055  supadd  12122  supmul  12126  suprzcl  12607  uzwo3  12891  flid  13765  flval3  13772  gcd0id  16486  gcdneg  16489  bezoutlem4  16509  gcdzeq  16519  lcmneg  16570  coprmgcdb  16616  qredeq  16624  pcidlem  16841  pcgcd1  16846  4sqlem17  16930  0ram  16989  ram0  16991  mndodconglem  19514  sylow1lem5  19575  zntoslem  21538  cnmpopc  24920  ovolsca  25507  ismbl2  25519  voliunlem2  25543  dyadmaxlem  25589  mbfi1fseqlem4  25710  itg2cnlem1  25753  ditgneg  25849  rolle  25982  dvivthlem1  26000  plyeq0lem  26200  dgreq  26234  coemulhi  26244  dgradd2  26258  dgrmul  26260  plydiveu  26289  vieta1lem2  26302  pilem3  26443  recxpf1lem  26718  zabsle1  27284  2sqmod  27424  ostth2  27625  brbtwn2  28999  axcontlem8  29065  nmophmi  32127  leoptri  32232  fzto1st1  33190  ballotlemfc0  34684  ballotlemfcc  34685  0nn0m1nnn0  35348  poimirlem23  38017  unitscyglem1  42687  rmspecfund  43361  ubelsupr  45475  lefldiveq  45747  wallispilem3  46517  fourierdlem6  46563  fourierdlem42  46599  fourierdlem50  46606  fourierdlem52  46608  fourierdlem54  46610  fourierdlem79  46635  fourierdlem102  46658  fourierdlem114  46670  2ffzoeq  47798  lighneallem2  48091