Theorem letri3d 11117

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11060	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by:  add20  11487  eqord1  11503  msq11  11876  supadd  11943  supmul  11947  suprzcl  12400  uzwo3  12683  flid  13528  flval3  13535  gcd0id  16226  gcdneg  16229  bezoutlem4  16250  gcdzeq  16262  lcmneg  16308  coprmgcdb  16354  qredeq  16362  pcidlem  16573  pcgcd1  16578  4sqlem17  16662  0ram  16721  ram0  16723  mndodconglem  19149  sylow1lem5  19207  zntoslem  20764  cnmpopc  24091  ovolsca  24679  ismbl2  24691  voliunlem2  24715  dyadmaxlem  24761  mbfi1fseqlem4  24883  itg2cnlem1  24926  ditgneg  25021  rolle  25154  dvivthlem1  25172  plyeq0lem  25371  dgreq  25405  coemulhi  25415  dgradd2  25429  dgrmul  25431  plydiveu  25458  vieta1lem2  25471  pilem3  25612  zabsle1  26444  2sqmod  26584  ostth2  26785  brbtwn2  27273  axcontlem8  27339  nmophmi  30393  leoptri  30498  fzto1st1  31369  ballotlemfc0  32459  ballotlemfcc  32460  0nn0m1nnn0  33071  poimirlem23  35800  rmspecfund  40731  ubelsupr  42563  lefldiveq  42831  wallispilem3  43608  fourierdlem6  43654  fourierdlem42  43690  fourierdlem50  43697  fourierdlem52  43699  fourierdlem54  43701  fourierdlem79  43726  fourierdlem102  43749  fourierdlem114  43761  2ffzoeq  44820  lighneallem2  45058