Theorem letri3d 11356

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11299	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  add20  11726  eqord1  11742  msq11  12115  supadd  12182  supmul  12186  suprzcl  12642  uzwo3  12927  flid  13773  flval3  13780  gcd0id  16460  gcdneg  16463  bezoutlem4  16484  gcdzeq  16494  lcmneg  16540  coprmgcdb  16586  qredeq  16594  pcidlem  16805  pcgcd1  16810  4sqlem17  16894  0ram  16953  ram0  16955  mndodconglem  19409  sylow1lem5  19470  zntoslem  21112  cnmpopc  24444  ovolsca  25032  ismbl2  25044  voliunlem2  25068  dyadmaxlem  25114  mbfi1fseqlem4  25236  itg2cnlem1  25279  ditgneg  25374  rolle  25507  dvivthlem1  25525  plyeq0lem  25724  dgreq  25758  coemulhi  25768  dgradd2  25782  dgrmul  25784  plydiveu  25811  vieta1lem2  25824  pilem3  25965  recxpf1lem  26237  zabsle1  26799  2sqmod  26939  ostth2  27140  brbtwn2  28163  axcontlem8  28229  nmophmi  31284  leoptri  31389  fzto1st1  32261  ballotlemfc0  33491  ballotlemfcc  33492  0nn0m1nnn0  34102  poimirlem23  36511  rmspecfund  41647  ubelsupr  43704  lefldiveq  44002  wallispilem3  44783  fourierdlem6  44829  fourierdlem42  44865  fourierdlem50  44872  fourierdlem52  44874  fourierdlem54  44876  fourierdlem79  44901  fourierdlem102  44924  fourierdlem114  44936  2ffzoeq  46036  lighneallem2  46274