MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letri3d 10771
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
letri3d (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 letri3 10715 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cr 10525  cle 10665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670
This theorem is referenced by:  add20  11141  eqord1  11157  msq11  11530  supadd  11596  supmul  11600  suprzcl  12050  uzwo3  12331  flid  13173  flval3  13180  gcd0id  15857  gcdneg  15860  bezoutlem4  15880  gcdzeq  15892  lcmneg  15937  coprmgcdb  15983  qredeq  15991  pcidlem  16198  pcgcd1  16203  4sqlem17  16287  0ram  16346  ram0  16348  mndodconglem  18661  sylow1lem5  18719  zntoslem  20248  cnmpopc  23533  ovolsca  24119  ismbl2  24131  voliunlem2  24155  dyadmaxlem  24201  mbfi1fseqlem4  24322  itg2cnlem1  24365  ditgneg  24460  rolle  24593  dvivthlem1  24611  plyeq0lem  24807  dgreq  24841  coemulhi  24851  dgradd2  24865  dgrmul  24867  plydiveu  24894  vieta1lem2  24907  pilem3  25048  zabsle1  25880  2sqmod  26020  ostth2  26221  brbtwn2  26699  axcontlem8  26765  nmophmi  29814  leoptri  29919  fzto1st1  30794  ballotlemfc0  31860  ballotlemfcc  31861  0nn0m1nnn0  32461  poimirlem23  35077  rmspecfund  39845  ubelsupr  41644  lefldiveq  41919  wallispilem3  42704  fourierdlem6  42750  fourierdlem42  42786  fourierdlem50  42793  fourierdlem52  42795  fourierdlem54  42797  fourierdlem79  42822  fourierdlem102  42845  fourierdlem114  42857  2ffzoeq  43880  lighneallem2  44119
  Copyright terms: Public domain W3C validator