Theorem letri3d 10776

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 10720	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675

This theorem is referenced by:  add20  11146  eqord1  11162  msq11  11535  supadd  11603  supmul  11607  suprzcl  12056  uzwo3  12337  flid  13172  flval3  13179  gcd0id  15861  gcdneg  15864  bezoutlem4  15884  gcdzeq  15896  lcmneg  15941  coprmgcdb  15987  qredeq  15995  pcidlem  16202  pcgcd1  16207  4sqlem17  16291  0ram  16350  ram0  16352  mndodconglem  18663  sylow1lem5  18721  zntoslem  20697  cnmpopc  23526  ovolsca  24110  ismbl2  24122  voliunlem2  24146  dyadmaxlem  24192  mbfi1fseqlem4  24313  itg2cnlem1  24356  ditgneg  24449  rolle  24581  dvivthlem1  24599  plyeq0lem  24794  dgreq  24828  coemulhi  24838  dgradd2  24852  dgrmul  24854  plydiveu  24881  vieta1lem2  24894  pilem3  25035  zabsle1  25866  2sqmod  26006  ostth2  26207  brbtwn2  26685  axcontlem8  26751  nmophmi  29802  leoptri  29907  fzto1st1  30739  ballotlemfc0  31745  ballotlemfcc  31746  0nn0m1nnn0  32346  poimirlem23  34909  rmspecfund  39499  ubelsupr  41270  lefldiveq  41552  wallispilem3  42346  fourierdlem6  42392  fourierdlem42  42428  fourierdlem50  42435  fourierdlem52  42437  fourierdlem54  42439  fourierdlem79  42464  fourierdlem102  42487  fourierdlem114  42499  2ffzoeq  43522  lighneallem2  43765