Theorem letri3d 11340

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ℝcr 11087   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237

This theorem is referenced by:  add20  11714  eqord1  11730  msq11  12104  supadd  12171  supmul  12175  suprzcl  12664  uzwo3  12955  flid  13829  flval3  13836  gcd0id  16565  gcdneg  16568  bezoutlem4  16588  gcdzeq  16598  lcmneg  16649  coprmgcdb  16695  qredeq  16703  pcidlem  16920  pcgcd1  16925  4sqlem17  17009  0ram  17068  ram0  17070  mndodconglem  19599  sylow1lem5  19660  zntoslem  21663  cnmpopc  25044  ovolsca  25631  ismbl2  25643  voliunlem2  25667  dyadmaxlem  25713  mbfi1fseqlem4  25834  itg2cnlem1  25877  ditgneg  25973  rolle  26106  dvivthlem1  26124  plyeq0lem  26324  dgreq  26358  coemulhi  26368  dgradd2  26382  dgrmul  26384  plydiveu  26416  vieta1lem2  26429  pilem3  26570  recxpf1lem  26848  zabsle1  27414  2sqmod  27554  ostth2  27755  brbtwn2  29160  axcontlem8  29226  nmophmi  32288  leoptri  32393  fzto1st1  33330  ballotlemfc0  34795  ballotlemfcc  34796  0nn0m1nnn0  35470  poimirlem23  38149  unitscyglem1  42819  rmspecfund  43493  ubelsupr  45599  lefldiveq  45870  wallispilem3  46640  fourierdlem6  46686  fourierdlem42  46722  fourierdlem50  46729  fourierdlem52  46731  fourierdlem54  46733  fourierdlem79  46758  fourierdlem102  46781  fourierdlem114  46793  2ffzoeq  47921  lighneallem2  48214