Theorem letri3d 11403

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11346	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  add20  11775  eqord1  11791  msq11  12169  supadd  12236  supmul  12240  suprzcl  12698  uzwo3  12985  flid  13848  flval3  13855  gcd0id  16556  gcdneg  16559  bezoutlem4  16579  gcdzeq  16589  lcmneg  16640  coprmgcdb  16686  qredeq  16694  pcidlem  16910  pcgcd1  16915  4sqlem17  16999  0ram  17058  ram0  17060  mndodconglem  19559  sylow1lem5  19620  zntoslem  21575  cnmpopc  24955  ovolsca  25550  ismbl2  25562  voliunlem2  25586  dyadmaxlem  25632  mbfi1fseqlem4  25753  itg2cnlem1  25796  ditgneg  25892  rolle  26028  dvivthlem1  26047  plyeq0lem  26249  dgreq  26283  coemulhi  26293  dgradd2  26308  dgrmul  26310  plydiveu  26340  vieta1lem2  26353  pilem3  26497  recxpf1lem  26771  zabsle1  27340  2sqmod  27480  ostth2  27681  brbtwn2  28920  axcontlem8  28986  nmophmi  32050  leoptri  32155  fzto1st1  33122  ballotlemfc0  34495  ballotlemfcc  34496  0nn0m1nnn0  35118  poimirlem23  37650  unitscyglem1  42196  rmspecfund  42920  ubelsupr  45025  lefldiveq  45304  wallispilem3  46082  fourierdlem6  46128  fourierdlem42  46164  fourierdlem50  46171  fourierdlem52  46173  fourierdlem54  46175  fourierdlem79  46200  fourierdlem102  46223  fourierdlem114  46235  2ffzoeq  47339  lighneallem2  47593