Theorem letri3d 11353

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝcr 11100   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  add20  11727  eqord1  11743  msq11  12117  supadd  12184  supmul  12188  suprzcl  12677  uzwo3  12968  flid  13843  flval3  13850  gcd0id  16578  gcdneg  16581  bezoutlem4  16601  gcdzeq  16611  lcmneg  16662  coprmgcdb  16708  qredeq  16716  pcidlem  16933  pcgcd1  16938  4sqlem17  17022  0ram  17081  ram0  17083  mndodconglem  19612  sylow1lem5  19673  zntoslem  21687  cnmpopc  25068  ovolsca  25655  ismbl2  25667  voliunlem2  25691  dyadmaxlem  25737  mbfi1fseqlem4  25858  itg2cnlem1  25901  ditgneg  25997  rolle  26130  dvivthlem1  26148  plyeq0lem  26348  dgreq  26382  coemulhi  26392  dgradd2  26406  dgrmul  26408  plydiveu  26440  vieta1lem2  26453  pilem3  26597  recxpf1lem  26875  zabsle1  27441  2sqmod  27581  ostth2  27782  brbtwn2  29236  axcontlem8  29302  nmophmi  32364  leoptri  32469  fzto1st1  33403  ballotlemfc0  34864  ballotlemfcc  34865  0nn0m1nnn0  35585  poimirlem23  38275  unitscyglem1  42943  rmspecfund  43619  ubelsupr  45723  lefldiveq  45994  wallispilem3  46764  fourierdlem6  46810  fourierdlem42  46846  fourierdlem50  46853  fourierdlem52  46855  fourierdlem54  46857  fourierdlem79  46882  fourierdlem102  46905  fourierdlem114  46917  2ffzoeq  48048  lighneallem2  48341