Theorem letri3d 11316

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  add20  11690  eqord1  11706  msq11  12084  supadd  12151  supmul  12155  suprzcl  12614  uzwo3  12902  flid  13770  flval3  13777  gcd0id  16489  gcdneg  16492  bezoutlem4  16512  gcdzeq  16522  lcmneg  16573  coprmgcdb  16619  qredeq  16627  pcidlem  16843  pcgcd1  16848  4sqlem17  16932  0ram  16991  ram0  16993  mndodconglem  19471  sylow1lem5  19532  zntoslem  21466  cnmpopc  24822  ovolsca  25416  ismbl2  25428  voliunlem2  25452  dyadmaxlem  25498  mbfi1fseqlem4  25619  itg2cnlem1  25662  ditgneg  25758  rolle  25894  dvivthlem1  25913  plyeq0lem  26115  dgreq  26149  coemulhi  26159  dgradd2  26174  dgrmul  26176  plydiveu  26206  vieta1lem2  26219  pilem3  26363  recxpf1lem  26638  zabsle1  27207  2sqmod  27347  ostth2  27548  brbtwn2  28832  axcontlem8  28898  nmophmi  31960  leoptri  32065  fzto1st1  33059  ballotlemfc0  34484  ballotlemfcc  34485  0nn0m1nnn0  35100  poimirlem23  37637  unitscyglem1  42183  rmspecfund  42897  ubelsupr  45014  lefldiveq  45290  wallispilem3  46065  fourierdlem6  46111  fourierdlem42  46147  fourierdlem50  46154  fourierdlem52  46156  fourierdlem54  46158  fourierdlem79  46183  fourierdlem102  46206  fourierdlem114  46218  2ffzoeq  47328  lighneallem2  47607