Theorem letri3d 11306

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  ℝcr 11059   ≤ cle 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204

This theorem is referenced by:  add20  11676  eqord1  11692  msq11  12065  supadd  12132  supmul  12136  suprzcl  12592  uzwo3  12877  flid  13723  flval3  13730  gcd0id  16410  gcdneg  16413  bezoutlem4  16434  gcdzeq  16444  lcmneg  16490  coprmgcdb  16536  qredeq  16544  pcidlem  16755  pcgcd1  16760  4sqlem17  16844  0ram  16903  ram0  16905  mndodconglem  19337  sylow1lem5  19398  zntoslem  21000  cnmpopc  24328  ovolsca  24916  ismbl2  24928  voliunlem2  24952  dyadmaxlem  24998  mbfi1fseqlem4  25120  itg2cnlem1  25163  ditgneg  25258  rolle  25391  dvivthlem1  25409  plyeq0lem  25608  dgreq  25642  coemulhi  25652  dgradd2  25666  dgrmul  25668  plydiveu  25695  vieta1lem2  25708  pilem3  25849  zabsle1  26681  2sqmod  26821  ostth2  27022  brbtwn2  27917  axcontlem8  27983  nmophmi  31036  leoptri  31141  fzto1st1  32021  ballotlemfc0  33181  ballotlemfcc  33182  0nn0m1nnn0  33792  poimirlem23  36174  rmspecfund  41290  ubelsupr  43347  lefldiveq  43647  wallispilem3  44428  fourierdlem6  44474  fourierdlem42  44510  fourierdlem50  44517  fourierdlem52  44519  fourierdlem54  44521  fourierdlem79  44546  fourierdlem102  44569  fourierdlem114  44581  2ffzoeq  45680  lighneallem2  45918