Theorem letri3d 10939

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 10883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ℝcr 10693   ≤ cle 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838

This theorem is referenced by:  add20  11309  eqord1  11325  msq11  11698  supadd  11765  supmul  11769  suprzcl  12222  uzwo3  12504  flid  13348  flval3  13355  gcd0id  16041  gcdneg  16044  bezoutlem4  16065  gcdzeq  16077  lcmneg  16123  coprmgcdb  16169  qredeq  16177  pcidlem  16388  pcgcd1  16393  4sqlem17  16477  0ram  16536  ram0  16538  mndodconglem  18887  sylow1lem5  18945  zntoslem  20475  cnmpopc  23779  ovolsca  24366  ismbl2  24378  voliunlem2  24402  dyadmaxlem  24448  mbfi1fseqlem4  24570  itg2cnlem1  24613  ditgneg  24708  rolle  24841  dvivthlem1  24859  plyeq0lem  25058  dgreq  25092  coemulhi  25102  dgradd2  25116  dgrmul  25118  plydiveu  25145  vieta1lem2  25158  pilem3  25299  zabsle1  26131  2sqmod  26271  ostth2  26472  brbtwn2  26950  axcontlem8  27016  nmophmi  30066  leoptri  30171  fzto1st1  31042  ballotlemfc0  32125  ballotlemfcc  32126  0nn0m1nnn0  32738  poimirlem23  35486  rmspecfund  40375  ubelsupr  42177  lefldiveq  42445  wallispilem3  43226  fourierdlem6  43272  fourierdlem42  43308  fourierdlem50  43315  fourierdlem52  43317  fourierdlem54  43319  fourierdlem79  43344  fourierdlem102  43367  fourierdlem114  43379  2ffzoeq  44436  lighneallem2  44674