Theorem letri3d 11318

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ℝcr 11065   ≤ cle 11210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215

This theorem is referenced by:  add20  11692  eqord1  11708  msq11  12086  supadd  12153  supmul  12157  suprzcl  12646  uzwo3  12937  flid  13811  flval3  13818  gcd0id  16543  gcdneg  16546  bezoutlem4  16566  gcdzeq  16576  lcmneg  16627  coprmgcdb  16673  qredeq  16681  pcidlem  16898  pcgcd1  16903  4sqlem17  16987  0ram  17046  ram0  17048  mndodconglem  19571  sylow1lem5  19632  zntoslem  21595  cnmpopc  24977  ovolsca  25564  ismbl2  25576  voliunlem2  25600  dyadmaxlem  25646  mbfi1fseqlem4  25767  itg2cnlem1  25810  ditgneg  25906  rolle  26039  dvivthlem1  26057  plyeq0lem  26257  dgreq  26291  coemulhi  26301  dgradd2  26315  dgrmul  26317  plydiveu  26349  vieta1lem2  26362  pilem3  26503  recxpf1lem  26781  zabsle1  27347  2sqmod  27487  ostth2  27688  brbtwn2  29062  axcontlem8  29128  nmophmi  32190  leoptri  32295  fzto1st1  33242  ballotlemfc0  34750  ballotlemfcc  34751  0nn0m1nnn0  35423  poimirlem23  38102  unitscyglem1  42772  rmspecfund  43446  ubelsupr  45560  lefldiveq  45831  wallispilem3  46601  fourierdlem6  46647  fourierdlem42  46683  fourierdlem50  46690  fourierdlem52  46692  fourierdlem54  46694  fourierdlem79  46719  fourierdlem102  46742  fourierdlem114  46754  2ffzoeq  47882  lighneallem2  48175