Theorem letri3d 11363

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ℝcr 11115   ≤ cle 11256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261

This theorem is referenced by:  add20  11733  eqord1  11749  msq11  12122  supadd  12189  supmul  12193  suprzcl  12649  uzwo3  12934  flid  13780  flval3  13787  gcd0id  16467  gcdneg  16470  bezoutlem4  16491  gcdzeq  16501  lcmneg  16547  coprmgcdb  16593  qredeq  16601  pcidlem  16812  pcgcd1  16817  4sqlem17  16901  0ram  16960  ram0  16962  mndodconglem  19454  sylow1lem5  19515  zntoslem  21335  cnmpopc  24682  ovolsca  25277  ismbl2  25289  voliunlem2  25313  dyadmaxlem  25359  mbfi1fseqlem4  25481  itg2cnlem1  25524  ditgneg  25619  rolle  25755  dvivthlem1  25774  plyeq0lem  25973  dgreq  26007  coemulhi  26017  dgradd2  26032  dgrmul  26034  plydiveu  26061  vieta1lem2  26074  pilem3  26216  recxpf1lem  26488  zabsle1  27050  2sqmod  27190  ostth2  27391  brbtwn2  28445  axcontlem8  28511  nmophmi  31566  leoptri  31671  fzto1st1  32546  ballotlemfc0  33804  ballotlemfcc  33805  0nn0m1nnn0  34415  poimirlem23  36827  rmspecfund  41962  ubelsupr  44019  lefldiveq  44313  wallispilem3  45094  fourierdlem6  45140  fourierdlem42  45176  fourierdlem50  45183  fourierdlem52  45185  fourierdlem54  45187  fourierdlem79  45212  fourierdlem102  45235  fourierdlem114  45247  2ffzoeq  46347  lighneallem2  46585