Theorem letri3d 11456

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11203   ≤ cle 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353

This theorem is used by:  add20  11832  eqord1  11848  msq11  12222  supadd  12289  supmul  12293  0nn0m1nnn0  12757  suprzcl  12783  uzwo3  13074  flid  13952  flval3  13959  gcd0id  16697  gcdneg  16700  bezoutlem4  16721  gcdzeq  16731  lcmneg  16784  coprmgcdb  16830  qredeq  16838  pcidlem  17056  pcgcd1  17061  4sqlem17  17145  0ram  17204  ram0  17206  mndodconglem  19761  sylow1lem5  19822  zntoslem  21868  cnmpopc  25255  ovolsca  25842  ismbl2  25854  voliunlem2  25878  dyadmaxlem  25924  mbfi1fseqlem4  26045  itg2cnlem1  26088  ditgneg  26183  rolle  26316  dvivthlem1  26334  plyeq0lem  26535  dgreq  26569  coemulhi  26579  dgradd2  26593  dgrmul  26595  plydiveu  26625  vieta1lem2  26640  pilem3  26786  recxpf1lem  27063  zabsle1  27629  2sqmod  27769  ostth2  27970  brbtwn2  29489  axcontlem8  29555  nmophmi  32639  leoptri  32744  fzto1st1  33710  ballotlemfc0  35172  ballotlemfcc  35173  poimirlem23  38655  unitscyglem1  43339  rmspecfund  44010  ubelsupr  46131  lefldiveq  46402  wallispilem3  47171  fourierdlem6  47217  fourierdlem42  47253  fourierdlem50  47260  fourierdlem52  47262  fourierdlem54  47264  fourierdlem79  47289  fourierdlem102  47312  fourierdlem114  47324  2ffzoeq  48492  lighneallem2  48785