Theorem letri3d 11363

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11110   ≤ cle 11255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260

This theorem is used by:  add20  11737  eqord1  11753  msq11  12127  supadd  12194  supmul  12198  suprzcl  12687  uzwo3  12978  flid  13854  flval3  13861  gcd0id  16594  gcdneg  16597  bezoutlem4  16617  gcdzeq  16627  lcmneg  16678  coprmgcdb  16724  qredeq  16732  pcidlem  16949  pcgcd1  16954  4sqlem17  17038  0ram  17097  ram0  17099  mndodconglem  19634  sylow1lem5  19695  zntoslem  21735  cnmpopc  25116  ovolsca  25703  ismbl2  25715  voliunlem2  25739  dyadmaxlem  25785  mbfi1fseqlem4  25906  itg2cnlem1  25949  ditgneg  26045  rolle  26178  dvivthlem1  26196  plyeq0lem  26396  dgreq  26430  coemulhi  26440  dgradd2  26454  dgrmul  26456  plydiveu  26488  vieta1lem2  26501  pilem3  26645  recxpf1lem  26923  zabsle1  27489  2sqmod  27629  ostth2  27830  brbtwn2  29284  axcontlem8  29350  nmophmi  32412  leoptri  32517  fzto1st1  33445  ballotlemfc0  34907  ballotlemfcc  34908  0nn0m1nnn0  35620  poimirlem23  38327  unitscyglem1  42995  rmspecfund  43669  ubelsupr  45773  lefldiveq  46044  wallispilem3  46814  fourierdlem6  46860  fourierdlem42  46896  fourierdlem50  46903  fourierdlem52  46905  fourierdlem54  46907  fourierdlem79  46932  fourierdlem102  46955  fourierdlem114  46967  2ffzoeq  48098  lighneallem2  48391