Theorem letri3d 11276

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  add20  11650  eqord1  11666  msq11  12044  supadd  12111  supmul  12115  suprzcl  12574  uzwo3  12862  flid  13730  flval3  13737  gcd0id  16448  gcdneg  16451  bezoutlem4  16471  gcdzeq  16481  lcmneg  16532  coprmgcdb  16578  qredeq  16586  pcidlem  16802  pcgcd1  16807  4sqlem17  16891  0ram  16950  ram0  16952  mndodconglem  19438  sylow1lem5  19499  zntoslem  21481  cnmpopc  24838  ovolsca  25432  ismbl2  25444  voliunlem2  25468  dyadmaxlem  25514  mbfi1fseqlem4  25635  itg2cnlem1  25678  ditgneg  25774  rolle  25910  dvivthlem1  25929  plyeq0lem  26131  dgreq  26165  coemulhi  26175  dgradd2  26190  dgrmul  26192  plydiveu  26222  vieta1lem2  26235  pilem3  26379  recxpf1lem  26654  zabsle1  27223  2sqmod  27363  ostth2  27564  brbtwn2  28868  axcontlem8  28934  nmophmi  31993  leoptri  32098  fzto1st1  33057  ballotlemfc0  34463  ballotlemfcc  34464  0nn0m1nnn0  35088  poimirlem23  37625  unitscyglem1  42171  rmspecfund  42885  ubelsupr  45001  lefldiveq  45277  wallispilem3  46052  fourierdlem6  46098  fourierdlem42  46134  fourierdlem50  46141  fourierdlem52  46143  fourierdlem54  46145  fourierdlem79  46170  fourierdlem102  46193  fourierdlem114  46205  2ffzoeq  47315  lighneallem2  47594