Theorem letri3d 11287

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11230	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  add20  11661  eqord1  11677  msq11  12055  supadd  12122  supmul  12126  suprzcl  12584  uzwo3  12868  flid  13740  flval3  13747  gcd0id  16458  gcdneg  16461  bezoutlem4  16481  gcdzeq  16491  lcmneg  16542  coprmgcdb  16588  qredeq  16596  pcidlem  16812  pcgcd1  16817  4sqlem17  16901  0ram  16960  ram0  16962  mndodconglem  19482  sylow1lem5  19543  zntoslem  21523  cnmpopc  24890  ovolsca  25484  ismbl2  25496  voliunlem2  25520  dyadmaxlem  25566  mbfi1fseqlem4  25687  itg2cnlem1  25730  ditgneg  25826  rolle  25962  dvivthlem1  25981  plyeq0lem  26183  dgreq  26217  coemulhi  26227  dgradd2  26242  dgrmul  26244  plydiveu  26274  vieta1lem2  26287  pilem3  26431  recxpf1lem  26706  zabsle1  27275  2sqmod  27415  ostth2  27616  brbtwn2  28990  axcontlem8  29056  nmophmi  32118  leoptri  32223  fzto1st1  33195  ballotlemfc0  34670  ballotlemfcc  34671  0nn0m1nnn0  35326  poimirlem23  37891  unitscyglem1  42562  rmspecfund  43263  ubelsupr  45377  lefldiveq  45651  wallispilem3  46422  fourierdlem6  46468  fourierdlem42  46504  fourierdlem50  46511  fourierdlem52  46513  fourierdlem54  46515  fourierdlem79  46540  fourierdlem102  46563  fourierdlem114  46575  2ffzoeq  47684  lighneallem2  47963