Theorem letri3d 11452

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11395	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11199   ≤ cle 11344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349

This theorem is used by:  add20  11828  eqord1  11844  msq11  12218  supadd  12285  supmul  12289  0nn0m1nnn0  12753  suprzcl  12779  uzwo3  13070  flid  13948  flval3  13955  gcd0id  16691  gcdneg  16694  bezoutlem4  16715  gcdzeq  16725  lcmneg  16778  coprmgcdb  16824  qredeq  16832  pcidlem  17050  pcgcd1  17055  4sqlem17  17139  0ram  17198  ram0  17200  mndodconglem  19755  sylow1lem5  19816  zntoslem  21862  cnmpopc  25249  ovolsca  25836  ismbl2  25848  voliunlem2  25872  dyadmaxlem  25918  mbfi1fseqlem4  26039  itg2cnlem1  26082  ditgneg  26177  rolle  26310  dvivthlem1  26328  plyeq0lem  26529  dgreq  26563  coemulhi  26573  dgradd2  26587  dgrmul  26589  plydiveu  26619  vieta1lem2  26634  pilem3  26780  recxpf1lem  27057  zabsle1  27623  2sqmod  27763  ostth2  27964  brbtwn2  29483  axcontlem8  29549  nmophmi  32633  leoptri  32738  fzto1st1  33705  ballotlemfc0  35167  ballotlemfcc  35168  poimirlem23  38604  unitscyglem1  43288  rmspecfund  43958  ubelsupr  46079  lefldiveq  46350  wallispilem3  47119  fourierdlem6  47165  fourierdlem42  47201  fourierdlem50  47208  fourierdlem52  47210  fourierdlem54  47212  fourierdlem79  47237  fourierdlem102  47260  fourierdlem114  47272  2ffzoeq  48440  lighneallem2  48733