Theorem letri3d 11047

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 10991	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946

This theorem is referenced by:  add20  11417  eqord1  11433  msq11  11806  supadd  11873  supmul  11877  suprzcl  12330  uzwo3  12612  flid  13456  flval3  13463  gcd0id  16154  gcdneg  16157  bezoutlem4  16178  gcdzeq  16190  lcmneg  16236  coprmgcdb  16282  qredeq  16290  pcidlem  16501  pcgcd1  16506  4sqlem17  16590  0ram  16649  ram0  16651  mndodconglem  19064  sylow1lem5  19122  zntoslem  20676  cnmpopc  23997  ovolsca  24584  ismbl2  24596  voliunlem2  24620  dyadmaxlem  24666  mbfi1fseqlem4  24788  itg2cnlem1  24831  ditgneg  24926  rolle  25059  dvivthlem1  25077  plyeq0lem  25276  dgreq  25310  coemulhi  25320  dgradd2  25334  dgrmul  25336  plydiveu  25363  vieta1lem2  25376  pilem3  25517  zabsle1  26349  2sqmod  26489  ostth2  26690  brbtwn2  27176  axcontlem8  27242  nmophmi  30294  leoptri  30399  fzto1st1  31271  ballotlemfc0  32359  ballotlemfcc  32360  0nn0m1nnn0  32971  poimirlem23  35727  rmspecfund  40647  ubelsupr  42452  lefldiveq  42721  wallispilem3  43498  fourierdlem6  43544  fourierdlem42  43580  fourierdlem50  43587  fourierdlem52  43589  fourierdlem54  43591  fourierdlem79  43616  fourierdlem102  43639  fourierdlem114  43651  2ffzoeq  44708  lighneallem2  44946