Theorem letri3d 11275

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  add20  11649  eqord1  11665  msq11  12043  supadd  12110  supmul  12114  suprzcl  12572  uzwo3  12856  flid  13728  flval3  13735  gcd0id  16446  gcdneg  16449  bezoutlem4  16469  gcdzeq  16479  lcmneg  16530  coprmgcdb  16576  qredeq  16584  pcidlem  16800  pcgcd1  16805  4sqlem17  16889  0ram  16948  ram0  16950  mndodconglem  19470  sylow1lem5  19531  zntoslem  21511  cnmpopc  24878  ovolsca  25472  ismbl2  25484  voliunlem2  25508  dyadmaxlem  25554  mbfi1fseqlem4  25675  itg2cnlem1  25718  ditgneg  25814  rolle  25950  dvivthlem1  25969  plyeq0lem  26171  dgreq  26205  coemulhi  26215  dgradd2  26230  dgrmul  26232  plydiveu  26262  vieta1lem2  26275  pilem3  26419  recxpf1lem  26694  zabsle1  27263  2sqmod  27403  ostth2  27604  brbtwn2  28978  axcontlem8  29044  nmophmi  32106  leoptri  32211  fzto1st1  33184  ballotlemfc0  34650  ballotlemfcc  34651  0nn0m1nnn0  35307  poimirlem23  37844  unitscyglem1  42449  rmspecfund  43151  ubelsupr  45265  lefldiveq  45540  wallispilem3  46311  fourierdlem6  46357  fourierdlem42  46393  fourierdlem50  46400  fourierdlem52  46402  fourierdlem54  46404  fourierdlem79  46429  fourierdlem102  46452  fourierdlem114  46464  2ffzoeq  47573  lighneallem2  47852