Theorem letri3d 11276

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11026   ≤ cle 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173

This theorem is referenced by:  add20  11650  eqord1  11666  msq11  12044  supadd  12111  supmul  12115  suprzcl  12573  uzwo3  12857  flid  13729  flval3  13736  gcd0id  16447  gcdneg  16450  bezoutlem4  16470  gcdzeq  16480  lcmneg  16531  coprmgcdb  16577  qredeq  16585  pcidlem  16801  pcgcd1  16806  4sqlem17  16890  0ram  16949  ram0  16951  mndodconglem  19474  sylow1lem5  19535  zntoslem  21513  cnmpopc  24873  ovolsca  25460  ismbl2  25472  voliunlem2  25496  dyadmaxlem  25542  mbfi1fseqlem4  25663  itg2cnlem1  25706  ditgneg  25802  rolle  25935  dvivthlem1  25954  plyeq0lem  26156  dgreq  26190  coemulhi  26200  dgradd2  26214  dgrmul  26216  plydiveu  26246  vieta1lem2  26259  pilem3  26403  recxpf1lem  26678  zabsle1  27247  2sqmod  27387  ostth2  27588  brbtwn2  28962  axcontlem8  29028  nmophmi  32091  leoptri  32196  fzto1st1  33168  ballotlemfc0  34643  ballotlemfcc  34644  0nn0m1nnn0  35301  poimirlem23  37955  unitscyglem1  42626  rmspecfund  43340  ubelsupr  45454  lefldiveq  45728  wallispilem3  46499  fourierdlem6  46545  fourierdlem42  46581  fourierdlem50  46588  fourierdlem52  46590  fourierdlem54  46592  fourierdlem79  46617  fourierdlem102  46640  fourierdlem114  46652  2ffzoeq  47761  lighneallem2  48040