Theorem letri3d 11360

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
letri3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		letri3 11303	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ℝcr 11111   ≤ cle 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258

This theorem is referenced by:  add20  11730  eqord1  11746  msq11  12119  supadd  12186  supmul  12190  suprzcl  12646  uzwo3  12931  flid  13777  flval3  13784  gcd0id  16464  gcdneg  16467  bezoutlem4  16488  gcdzeq  16498  lcmneg  16544  coprmgcdb  16590  qredeq  16598  pcidlem  16809  pcgcd1  16814  4sqlem17  16898  0ram  16957  ram0  16959  mndodconglem  19450  sylow1lem5  19511  zntoslem  21331  cnmpopc  24669  ovolsca  25264  ismbl2  25276  voliunlem2  25300  dyadmaxlem  25346  mbfi1fseqlem4  25468  itg2cnlem1  25511  ditgneg  25606  rolle  25742  dvivthlem1  25760  plyeq0lem  25959  dgreq  25993  coemulhi  26003  dgradd2  26018  dgrmul  26020  plydiveu  26047  vieta1lem2  26060  pilem3  26201  recxpf1lem  26473  zabsle1  27035  2sqmod  27175  ostth2  27376  brbtwn2  28430  axcontlem8  28496  nmophmi  31551  leoptri  31656  fzto1st1  32531  ballotlemfc0  33789  ballotlemfcc  33790  0nn0m1nnn0  34400  poimirlem23  36814  rmspecfund  41949  ubelsupr  44006  lefldiveq  44300  wallispilem3  45081  fourierdlem6  45127  fourierdlem42  45163  fourierdlem50  45170  fourierdlem52  45172  fourierdlem54  45174  fourierdlem79  45199  fourierdlem102  45222  fourierdlem114  45234  2ffzoeq  46334  lighneallem2  46572