MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvivth 26064
Description: Darboux' theorem, or the intermediate value theorem for derivatives. A differentiable function's derivative satisfies the intermediate value property, even though it may not be continuous (so that ivthicc 25507 does not directly apply). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
dvivth.4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvivth (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))

Proof of Theorem dvivth
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvivth.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3 dvivth.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
43adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5 dvivth.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
6 cncff 24933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
87ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
98renegcld 11688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(𝐹𝑤) ∈ ℝ)
109fmpttd 7135 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11 ax-resscn 11210 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
12 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
13 cncfss 24939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
1411, 12, 13mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
1514, 5sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))
1716negfcncf 24964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
19 cncfcdm 24938 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
2011, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
2110, 20mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
23 reelprrecn 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
257adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2625ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2726recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) ∈ ℂ)
28 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V)
2925feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝐹 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑤)))
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑤))))
31 ioossre 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
32 dvfre 26004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
337, 31, 32sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
34 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
3534feq2d 6723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3633, 35mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3837feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
3930, 38eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
4024, 27, 28, 39dvmptneg 26019 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
4140dmeqd 5919 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → dom (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = dom (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
42 dmmptg 6264 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V → dom (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (𝐴(,)𝐵))
43 negex 11504 . . . . . . . . . . . 12 -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V)
4542, 44mprg 3065 . . . . . . . . . 10 dom (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (𝐴(,)𝐵)
4641, 45eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → dom (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = (𝐴(,)𝐵))
47 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑀 < 𝑁)
48 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))
4936, 1ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
513, 34eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
5233, 51ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
54 iccssre 13466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ℝ)
5549, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ℝ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ℝ)
5756, 48sseldd 3996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
58 iccneg 13509 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ↔ -𝑥 ∈ (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
5950, 53, 57, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ↔ -𝑥 ∈ (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
6048, 59mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
6140fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑁))
62 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑁 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
6362negeqd 11500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑁 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
64 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
65 negex 11504 . . . . . . . . . . . . . 14 -((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ V
6663, 64, 65fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑁) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
674, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑁) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
6861, 67eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
6940fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑀))
70 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑀 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
7170negeqd 11500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑀 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
72 negex 11504 . . . . . . . . . . . . . 14 -((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ V
7371, 64, 72fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑀) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
742, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑀) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
7569, 74eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
7668, 75oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁)[,]((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀)) = (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
7760, 76eleqtrrd 2842 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ (((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁)[,]((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀)))
78 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑦) − (-𝑥 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑦) − (-𝑥 · 𝑦)))
792, 4, 22, 46, 47, 77, 78dvivthlem2 26063 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ ran (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))))
8040rneqd 5952 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ran (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
8179, 80eleqtrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
82 negex 11504 . . . . . . . 8 -𝑥 ∈ V
8364elrnmpt 5972 . . . . . . . 8 (-𝑥 ∈ V → (-𝑥 ∈ ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . 7 (-𝑥 ∈ ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
8581, 84sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
8657recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
8786adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8824, 27, 28, 39dvmptcl 26012 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ ℂ)
8987, 88neg11ad 11614 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ 𝑥 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
90 eqcom 2742 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥)
9189, 90bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9291rexbidva 3175 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9385, 92mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥)
9437ffnd 6738 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
95 fvelrnb 6969 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9694, 95syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9793, 96mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
9897expr 456 . . 3 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
9998ssrdv 4001 . 2 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
100 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
101100oveq1d 7446 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))
10252rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ*)
103 iccid 13429 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ* → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)})
104102, 103syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)})
105101, 104sylan9eqr 2797 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)})
10633ffnd 6738 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
107 fnfvelrn 7100 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ran (ℝ D 𝐹))
108106, 51, 107syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ran (ℝ D 𝐹))
109108snssd 4814 . . . 4 (𝜑 → {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)} ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
110109adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)} ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
111105, 110eqsstrd 4034 . 2 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
1123adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1131adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1145adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
11534adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
116 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑁 < 𝑀)
117 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))
118 eqid 2735 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝑥 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
119112, 113, 114, 115, 116, 117, 118dvivthlem2 26063 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
120119expr 456 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
121120ssrdv 4001 . 2 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
12231, 1sselid 3993 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
12331, 3sselid 3993 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
124122, 123lttri4d 11400 . 2 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
12599, 111, 121, 124mpjao3dan 1431 1 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  cnccncf 24916   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  dvne0  26065
  Copyright terms: Public domain W3C validator