MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvivth 25374
Description: Darboux' theorem, or the intermediate value theorem for derivatives. A differentiable function's derivative satisfies the intermediate value property, even though it may not be continuous (so that ivthicc 24822 does not directly apply). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
dvivth.4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvivth (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))

Proof of Theorem dvivth
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvivth.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3 dvivth.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5 dvivth.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
6 cncff 24256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
87ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
98renegcld 11582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(𝐹𝑤) ∈ ℝ)
109fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
12 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
13 cncfss 24262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
1411, 12, 13mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
1514, 5sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))
1716negfcncf 24286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
19 cncfcdm 24261 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
2011, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
2110, 20mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
23 reelprrecn 11143 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
257adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2625ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2726recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) ∈ ℂ)
28 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V)
2925feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝐹 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑤)))
3029oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑤))))
31 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
32 dvfre 25315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
337, 31, 32sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
34 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
3534feq2d 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3633, 35mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3837feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
3930, 38eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
4024, 27, 28, 39dvmptneg 25330 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
4140dmeqd 5861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → dom (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = dom (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
42 dmmptg 6194 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V → dom (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (𝐴(,)𝐵))
43 negex 11399 . . . . . . . . . . . 12 -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V)
4542, 44mprg 3070 . . . . . . . . . 10 dom (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (𝐴(,)𝐵)
4641, 45eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → dom (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = (𝐴(,)𝐵))
47 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑀 < 𝑁)
48 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))
4936, 1ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
513, 34eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
5233, 51ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
54 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ℝ)
5549, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ℝ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ℝ)
5756, 48sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
58 iccneg 13389 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ↔ -𝑥 ∈ (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
5950, 53, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ↔ -𝑥 ∈ (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
6048, 59mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
6140fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑁))
62 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑁 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
6362negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑁 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
64 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
65 negex 11399 . . . . . . . . . . . . . 14 -((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ V
6663, 64, 65fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑁) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
674, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑁) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
6861, 67eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
6940fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑀))
70 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑀 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
7170negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑀 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
72 negex 11399 . . . . . . . . . . . . . 14 -((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ V
7371, 64, 72fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑀) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
742, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑀) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
7569, 74eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
7668, 75oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁)[,]((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀)) = (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
7760, 76eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ (((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁)[,]((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀)))
78 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑦) − (-𝑥 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑦) − (-𝑥 · 𝑦)))
792, 4, 22, 46, 47, 77, 78dvivthlem2 25373 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ ran (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))))
8040rneqd 5893 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ran (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
8179, 80eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
82 negex 11399 . . . . . . . 8 -𝑥 ∈ V
8364elrnmpt 5911 . . . . . . . 8 (-𝑥 ∈ V → (-𝑥 ∈ ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . 7 (-𝑥 ∈ ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
8581, 84sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
8657recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
8786adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8824, 27, 28, 39dvmptcl 25323 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ ℂ)
8987, 88neg11ad 11508 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ 𝑥 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
90 eqcom 2743 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥)
9189, 90bitrdi 286 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9291rexbidva 3173 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9385, 92mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥)
9437ffnd 6669 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
95 fvelrnb 6903 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9694, 95syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9793, 96mpbird 256 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
9897expr 457 . . 3 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
9998ssrdv 3950 . 2 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
100 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
101100oveq1d 7372 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))
10252rexrd 11205 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ*)
103 iccid 13309 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ* → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)})
104102, 103syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)})
105101, 104sylan9eqr 2798 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)})
10633ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
107 fnfvelrn 7031 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ran (ℝ D 𝐹))
108106, 51, 107syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ran (ℝ D 𝐹))
109108snssd 4769 . . . 4 (𝜑 → {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)} ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
110109adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)} ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
111105, 110eqsstrd 3982 . 2 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
1123adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1131adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1145adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
11534adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
116 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑁 < 𝑀)
117 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))
118 eqid 2736 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝑥 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
119112, 113, 114, 115, 116, 117, 118dvivthlem2 25373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
120119expr 457 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
121120ssrdv 3950 . 2 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
12231, 1sselid 3942 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
12331, 3sselid 3942 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
124122, 123lttri4d 11296 . 2 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
12599, 111, 121, 124mpjao3dan 1431 1 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cmin 11385  -cneg 11386  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvne0  25375
  Copyright terms: Public domain W3C validator