MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvivth 25761
Description: Darboux' theorem, or the intermediate value theorem for derivatives. A differentiable function's derivative satisfies the intermediate value property, even though it may not be continuous (so that ivthicc 25209 does not directly apply). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡))
dvivth.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐡))
dvivth.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
dvivth.4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
Assertion
Ref Expression
dvivth (πœ‘ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))

Proof of Theorem dvivth
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvivth.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡))
21adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡))
3 dvivth.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐡))
43adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐡))
5 dvivth.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
6 cncff 24635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
98renegcld 11647 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -(πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
109fmpttd 7117 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
11 ax-resscn 11171 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
12 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ βŠ† β„‚
13 cncfss 24641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
1411, 12, 13mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) βŠ† ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)
1514, 5sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
16 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) = (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€))
1716negfcncf 24666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
19 cncfcdm 24640 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) ↔ (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
2011, 18, 19sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ) ↔ (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
2110, 20mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
2221adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
23 reelprrecn 11206 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
257adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2726recnd 11248 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
28 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ V)
2925feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ 𝐹 = (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘€)))
3029oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘€))))
31 ioossre 13391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
32 dvfre 25702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
337, 31, 32sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
34 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
3534feq2d 6704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
3633, 35mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
3837feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
3930, 38eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
4024, 27, 28, 39dvmptneg 25717 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
4140dmeqd 5906 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ dom (ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€))) = dom (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
42 dmmptg 6242 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘€ ∈ (𝐴(,)𝐡)-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ V β†’ dom (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)) = (𝐴(,)𝐡))
43 negex 11464 . . . . . . . . . . . 12 -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ V)
4542, 44mprg 3065 . . . . . . . . . 10 dom (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)) = (𝐴(,)𝐡)
4641, 45eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ dom (ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€))) = (𝐴(,)𝐡))
47 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ 𝑀 < 𝑁)
48 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))
4936, 1ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ ℝ)
5049adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ ℝ)
513, 34eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
5233, 51ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ)
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ)
54 iccssre 13412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) βŠ† ℝ)
5549, 52, 54syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) βŠ† ℝ)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) βŠ† ℝ)
5756, 48sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
58 iccneg 13455 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ↔ -π‘₯ ∈ (-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)[,]-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))))
5950, 53, 57, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) ↔ -π‘₯ ∈ (-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)[,]-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))))
6048, 59mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ -π‘₯ ∈ (-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)[,]-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
6140fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ((ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)))β€˜π‘) = ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘))
62 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
6362negeqd 11460 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 𝑁 β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
64 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)) = (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))
65 negex 11464 . . . . . . . . . . . . . 14 -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) ∈ V
6663, 64, 65fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
674, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
6861, 67eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ((ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)))β€˜π‘) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
6940fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ((ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)))β€˜π‘€) = ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘€))
70 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 𝑀 β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))
7170negeqd 11460 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = 𝑀 β†’ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))
72 negex 11464 . . . . . . . . . . . . . 14 -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ V
7371, 64, 72fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘€) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))
742, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))β€˜π‘€) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))
7569, 74eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ((ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)))β€˜π‘€) = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))
7668, 75oveq12d 7431 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (((ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)))β€˜π‘)[,]((ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)))β€˜π‘€)) = (-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)[,]-((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
7760, 76eleqtrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ -π‘₯ ∈ (((ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)))β€˜π‘)[,]((ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€)))β€˜π‘€)))
78 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘¦) βˆ’ (-π‘₯ Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘¦) βˆ’ (-π‘₯ Β· 𝑦)))
792, 4, 22, 46, 47, 77, 78dvivthlem2 25760 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ -π‘₯ ∈ ran (ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€))))
8040rneqd 5938 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ ran (ℝ D (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(πΉβ€˜π‘€))) = ran (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
8179, 80eleqtrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ -π‘₯ ∈ ran (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
82 negex 11464 . . . . . . . 8 -π‘₯ ∈ V
8364elrnmpt 5956 . . . . . . . 8 (-π‘₯ ∈ V β†’ (-π‘₯ ∈ ran (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐴(,)𝐡)-π‘₯ = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . 7 (-π‘₯ ∈ ran (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐴(,)𝐡)-π‘₯ = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))
8581, 84sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐴(,)𝐡)-π‘₯ = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€))
8657recnd 11248 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8786adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8824, 27, 28, 39dvmptcl 25710 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
8987, 88neg11ad 11573 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-π‘₯ = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ↔ π‘₯ = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)))
90 eqcom 2737 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ↔ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = π‘₯)
9189, 90bitrdi 286 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-π‘₯ = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ↔ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = π‘₯))
9291rexbidva 3174 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝐴(,)𝐡)-π‘₯ = -((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = π‘₯))
9385, 92mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = π‘₯)
9437ffnd 6719 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐡))
95 fvelrnb 6953 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = π‘₯))
9694, 95syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ (π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = π‘₯))
9793, 96mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑀 < 𝑁 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹))
9897expr 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) β†’ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
9998ssrdv 3989 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 < 𝑁) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
100 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘))
101100oveq1d 7428 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) = (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))
10252rexrd 11270 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ*)
103 iccid 13375 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) ∈ ℝ* β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) = {((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)})
104102, 103syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) = {((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)})
105101, 104sylan9eqr 2792 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 𝑁) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) = {((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)})
10633ffnd 6719 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
107 fnfvelrn 7083 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) ∈ ran (ℝ D 𝐹))
108106, 51, 107syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘) ∈ ran (ℝ D 𝐹))
109108snssd 4813 . . . 4 (πœ‘ β†’ {((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)} βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
110109adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 𝑁) β†’ {((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)} βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
111105, 110eqsstrd 4021 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = 𝑁) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
1123adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 < 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐡))
1131adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 < 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐡))
1145adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 < 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
11534adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 < 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
116 simprl 767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 < 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ 𝑁 < 𝑀)
117 simprr 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑁 < 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))
118 eqid 2730 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π‘₯ Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π‘₯ Β· 𝑦)))
119112, 113, 114, 115, 116, 117, 118dvivthlem2 25760 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑁 < 𝑀 ∧ π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)))) β†’ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹))
120119expr 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ (π‘₯ ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) β†’ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
121120ssrdv 3989 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
12231, 1sselid 3981 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
12331, 3sselid 3981 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
124122, 123lttri4d 11361 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
12599, 111, 121, 124mpjao3dan 1429 1 (πœ‘ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘€)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘)) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112  β„cr 11113   Β· cmul 11119  β„*cxr 11253   < clt 11254   βˆ’ cmin 11450  -cneg 11451  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  β€“cnβ†’ccncf 24618   D cdv 25614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-cmp 23113  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618
This theorem is referenced by:  dvne0  25762
  Copyright terms: Public domain W3C validator