MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvivth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvivth 24534
Description: Darboux' theorem, or the intermediate value theorem for derivatives. A differentiable function's derivative satisfies the intermediate value property, even though it may not be continuous (so that ivthicc 23986 does not directly apply). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvivth.1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvivth.3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
dvivth.4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvivth (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))

Proof of Theorem dvivth
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvivth.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3 dvivth.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5 dvivth.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
6 cncff 23428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
87ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
98renegcld 11055 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(𝐹𝑤) ∈ ℝ)
109fmpttd 6871 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
12 ssid 3986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
13 cncfss 23434 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
1411, 12, 13mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ⊆ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
1514, 5sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))
1716negfcncf 23454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
19 cncffvrn 23433 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
2011, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
2110, 20mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
23 reelprrecn 10617 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
257adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ)
2726recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) ∈ ℂ)
28 fvexd 6678 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V)
2925feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝐹 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑤)))
3029oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑤))))
31 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
32 dvfre 24475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
337, 31, 32sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
34 dvivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
3534feq2d 6493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3633, 35mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
3837feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
3930, 38eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
4024, 27, 28, 39dvmptneg 24490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
4140dmeqd 5767 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → dom (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = dom (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
42 dmmptg 6089 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V → dom (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (𝐴(,)𝐵))
43 negex 10872 . . . . . . . . . . . 12 -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ V)
4542, 44mprg 3149 . . . . . . . . . 10 dom (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (𝐴(,)𝐵)
4641, 45syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → dom (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = (𝐴(,)𝐵))
47 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑀 < 𝑁)
48 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))
4936, 1ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
513, 34eleqtrrd 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
5233, 51ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
54 iccssre 12806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ℝ)
5549, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ℝ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ℝ)
5756, 48sseldd 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
58 iccneg 12846 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ↔ -𝑥 ∈ (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
5950, 53, 57, 58syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ↔ -𝑥 ∈ (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀))))
6048, 59mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
6140fveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑁))
62 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑁 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
6362negeqd 10868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑁 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
64 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
65 negex 10872 . . . . . . . . . . . . . 14 -((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ V
6663, 64, 65fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑁) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
674, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑁) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
6861, 67eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
6940fveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀) = ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑀))
70 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑀 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
7170negeqd 10868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑀 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
72 negex 10872 . . . . . . . . . . . . . 14 -((ℝ D 𝐹)‘𝑀) ∈ V
7371, 64, 72fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑀) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
742, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))‘𝑀) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
7569, 74eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀) = -((ℝ D 𝐹)‘𝑀))
7668, 75oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁)[,]((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀)) = (-((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]-((ℝ D 𝐹)‘𝑀)))
7760, 76eleqtrrd 2913 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ (((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑁)[,]((ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤)))‘𝑀)))
78 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑦) − (-𝑥 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑦) − (-𝑥 · 𝑦)))
792, 4, 22, 46, 47, 77, 78dvivthlem2 24533 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ ran (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))))
8040rneqd 5801 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ran (ℝ D (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(𝐹𝑤))) = ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
8179, 80eleqtrd 2912 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → -𝑥 ∈ ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
82 negex 10872 . . . . . . . 8 -𝑥 ∈ V
8364elrnmpt 5821 . . . . . . . 8 (-𝑥 ∈ V → (-𝑥 ∈ ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . 7 (-𝑥 ∈ ran (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
8581, 84sylib 219 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤))
8657recnd 10657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
8786adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8824, 27, 28, 39dvmptcl 24483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ∈ ℂ)
8987, 88neg11ad 10981 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ 𝑥 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑤)))
90 eqcom 2825 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥)
9189, 90syl6bb 288 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9291rexbidva 3293 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)-𝑥 = -((ℝ D 𝐹)‘𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9385, 92mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥)
9437ffnd 6508 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
95 fvelrnb 6719 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9694, 95syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑤) = 𝑥))
9793, 96mpbird 258 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀 < 𝑁𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
9897expr 457 . . 3 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
9998ssrdv 3970 . 2 ((𝜑𝑀 < 𝑁) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
100 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑀) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑁))
101100oveq1d 7160 . . . 4 (𝑀 = 𝑁 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))
10252rexrd 10679 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ*)
103 iccid 12771 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ* → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)})
104102, 103syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑁)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)})
105101, 104sylan9eqr 2875 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) = {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)})
10633ffnd 6508 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹))
107 fnfvelrn 6840 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) Fn dom (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑁 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ran (ℝ D 𝐹))
108106, 51, 107syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑁) ∈ ran (ℝ D 𝐹))
109108snssd 4734 . . . 4 (𝜑 → {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)} ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
110109adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → {((ℝ D 𝐹)‘𝑁)} ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
111105, 110eqsstrd 4002 . 2 ((𝜑𝑀 = 𝑁) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
1123adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1131adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑀 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1145adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
11534adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
116 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑁 < 𝑀)
117 simprr 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))
118 eqid 2818 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝑥 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑦) − (𝑥 · 𝑦)))
119112, 113, 114, 115, 116, 117, 118dvivthlem2 24533 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 < 𝑀𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)))) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
120119expr 457 . . 3 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
121120ssrdv 3970 . 2 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
12231, 1sseldi 3962 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
12331, 3sseldi 3962 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
124122, 123lttri4d 10769 . 2 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
12599, 111, 121, 124mpjao3dan 1423 1 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑀)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑁)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  {csn 4557  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cmin 10858  -cneg 10859  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  cnccncf 23411   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  dvne0  24535
  Copyright terms: Public domain W3C validator