Theorem ivthicc 24822

Description: The interval between any two points of a continuous real function is contained in the range of the function. Equivalently, the range of a continuous real function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivthicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivthicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivthicc.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivthicc.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivthicc.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ivthicc	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ivthicc

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜑)
2		ivthicc.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3		ivthicc.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ivthicc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		elicc2 13329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵)))
7	2, 6	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵))
8	7	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		ivthicc.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11		elicc2 13329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵)))
12	3, 4, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵)))
13	10, 12	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵))
14	13	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
17	16	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ))
18		ivthicc.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	18	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
20	17, 19, 2	rspcdva 3582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
21		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑁))
22	21	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
23	22, 19, 10	rspcdva 3582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
24		iccssre 13346	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ℝ)
25	20, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
27	26	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
29	7	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑀)
30	13	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐵)
31		iccss 13332	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
32	3, 4, 29, 30, 31	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33		ivthicc.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
34	32, 33	sstrd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
35	34	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
36		ivthicc.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
37	36	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
38	32	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	38, 18	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
40	1, 39	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
41		elicc2 13329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁))))
42	20, 23, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁))))
43	42	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
44		3simpc 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
46	45	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
47	9, 15, 27, 28, 35, 37, 40, 46	ivthle 24820	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
48	34	sselda 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
49		cncff 24256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
50		ffn 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐷⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐷)
51	36, 49, 50	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
52		fnfvelrn 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑧) ∈ ran 𝐹)
53	51, 52	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑧) ∈ ran 𝐹)
54		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧) ∈ ran 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐹))
55	53, 54	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
56	48, 55	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
57	56	rexlimdva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
58	1, 47, 57	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
59		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)))
60		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
61	60	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘𝑁))
62	61	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑀)) = ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)))
63	20	rexrd 11205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
64	63	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
65		iccid 13309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑀)) = {(𝐹‘𝑀)})
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑀)) = {(𝐹‘𝑀)})
67	62, 66	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) = {(𝐹‘𝑀)})
68	59, 67	eleqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑀)})
69		elsni 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑀)} → 𝑦 = (𝐹‘𝑀))
70	68, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 = (𝐹‘𝑀))
71	33, 2	sseldd 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
72		fnfvelrn 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑀) ∈ ran 𝐹)
73	51, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ran 𝐹)
74	73	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹‘𝑀) ∈ ran 𝐹)
75	70, 74	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
76		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝜑)
77	14	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	8	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
79	26	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ℝ)
80		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
81	13	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑁)
82	7	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐵)
83		iccss 13332	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵)) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
84	3, 4, 81, 82, 83	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
85	84, 33	sstrd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
86	85	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
87	36	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
88	84	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
89	88, 18	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
90	76, 89	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
91	45	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
92	77, 78, 79, 80, 86, 87, 90, 91	ivthle2 24821	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
93	85	sselda 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
94	93, 55	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
95	94	rexlimdva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
96	76, 92, 95	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
97	8, 14	lttri4d 11296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
98	97	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
99	58, 75, 96, 98	mpjao3dan 1431	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
100	99	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
101	100	ssrdv 3950	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  ran crn 5634   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  [,]cicc 13267  –cn→ccncf 24239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241

This theorem is referenced by:  evthicc2  24824