MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthicc 25478
Description: The interval between any two points of a continuous real function is contained in the range of the function. Equivalently, the range of a continuous real function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivthicc.3 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.4 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivthicc.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivthicc.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ivthicc (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ivthicc
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜑)
2 ivthicc.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3 ivthicc.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ivthicc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 elicc2 13443 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵)))
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵)))
72, 6mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵))
87simp1d 1139 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
98ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 ivthicc.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11 elicc2 13443 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵)))
123, 4, 11syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵)))
1310, 12mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵))
1413simp1d 1139 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 fveq2 6901 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
1716eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
18 ivthicc.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1918ralrimiva 3136 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2017, 19, 2rspcdva 3609 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
21 fveq2 6901 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2221eleq1d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
2322, 19, 10rspcdva 3609 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
24 iccssre 13460 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ℝ)
2520, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ℝ)
2625sselda 3979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
28 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
297simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑀)
3013simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝐵)
31 iccss 13446 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑀𝑁𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
323, 4, 29, 30, 31syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33 ivthicc.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
3432, 33sstrd 3990 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
3534ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
36 ivthicc.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
3736ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
3832sselda 3979 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3938, 18syldan 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
401, 39sylan 578 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
41 elicc2 13443 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁))))
4220, 23, 41syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁))))
4342biimpa 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
44 3simpc 1147 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
4645adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
479, 15, 27, 28, 35, 37, 40, 46ivthle 25476 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦)
4834sselda 3979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑧𝐷)
49 cncff 24904 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
50 ffn 6728 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐷⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐷)
5136, 49, 503syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
52 fnfvelrn 7094 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐷𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹)
5351, 52sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹)
54 eleq1 2814 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑧) = 𝑦 → ((𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹))
5553, 54syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐷) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
5648, 55syldan 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
5756rexlimdva 3145 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
581, 47, 57sylc 65 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
59 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)))
60 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
6160fveq2d 6905 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
6261oveq2d 7440 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)))
6320rexrd 11314 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
65 iccid 13423 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑀) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = {(𝐹𝑀)})
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = {(𝐹𝑀)})
6762, 66eqtr3d 2768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) = {(𝐹𝑀)})
6859, 67eleqtrd 2828 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ {(𝐹𝑀)})
69 elsni 4650 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {(𝐹𝑀)} → 𝑦 = (𝐹𝑀))
7068, 69syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 = (𝐹𝑀))
7133, 2sseldd 3980 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐷)
72 fnfvelrn 7094 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐷𝑀𝐷) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7351, 71, 72syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7473ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7570, 74eqeltrd 2826 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
76 simpll 765 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝜑)
7714ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
788ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
7926adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ℝ)
80 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
8113simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑁)
827simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝐵)
83 iccss 13446 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑁𝑀𝐵)) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
843, 4, 81, 82, 83syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
8584, 33sstrd 3990 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
8685ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
8736ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
8884sselda 3979 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8988, 18syldan 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9076, 89sylan 578 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9145adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
9277, 78, 79, 80, 86, 87, 90, 91ivthle2 25477 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹𝑧) = 𝑦)
9385sselda 3979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑧𝐷)
9493, 55syldan 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
9594rexlimdva 3145 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
9676, 92, 95sylc 65 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
978, 14lttri4d 11405 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
9897adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
9958, 75, 96, 98mpjao3dan 1429 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
10099ex 411 . 2 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
101100ssrdv 3985 1 (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  wss 3947  {csn 4633   class class class wbr 5153  ran crn 5683   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  [,]cicc 13381  cnccncf 24887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889
This theorem is referenced by:  evthicc2  25480
  Copyright terms: Public domain W3C validator