Theorem ivthicc 25759

Description: The interval between any two points of a continuous real function is contained in the range of the function. Equivalently, the range of a continuous real function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivthicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivthicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivthicc.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivthicc.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivthicc.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ivthicc	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ivthicc

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜑)
2		ivthicc.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3		ivthicc.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ivthicc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		elicc2 13523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵)))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵)))
7	2, 6	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵))
8	7	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		ivthicc.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11		elicc2 13523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵)))
12	3, 4, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵)))
13	10, 12	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵))
14	13	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		fveq2 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
17	16	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ))
18		ivthicc.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	18	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
20	17, 19, 2	rspcdva 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
21		fveq2 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑁))
22	21	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
23	22, 19, 10	rspcdva 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
24		iccssre 13541	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ℝ)
25	20, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
29	7	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑀)
30	13	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐵)
31		iccss 13526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
32	3, 4, 29, 30, 31	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33		ivthicc.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
34	32, 33	sstrd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
35	34	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
36		ivthicc.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
37	36	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
38	32	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	38, 18	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
40	1, 39	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
41		elicc2 13523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁))))
42	20, 23, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁))))
43	42	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
44		3simpc 1168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
45	43, 44	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
46	45	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
47	9, 15, 27, 28, 35, 37, 40, 46	ivthle 25757	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
48	34	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
49		cncff 25194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
50		ffn 6701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐷⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐷)
51	36, 49, 50	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
52		fnfvelrn 7072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑧) ∈ ran 𝐹)
53	51, 52	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑧) ∈ ran 𝐹)
54		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧) ∈ ran 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐹))
55	53, 54	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
56	48, 55	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
57	56	rexlimdva 3164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
58	1, 47, 57	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
59		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)))
60		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
61	60	fveq2d 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘𝑁))
62	61	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑀)) = ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)))
63	20	rexrd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
64	63	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
65		iccid 13502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑀)) = {(𝐹‘𝑀)})
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑀)) = {(𝐹‘𝑀)})
67	62, 66	eqtr3d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) = {(𝐹‘𝑀)})
68	59, 67	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑀)})
69		elsni 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑀)} → 𝑦 = (𝐹‘𝑀))
70	68, 69	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 = (𝐹‘𝑀))
71	33, 2	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
72		fnfvelrn 7072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑀) ∈ ran 𝐹)
73	51, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ran 𝐹)
74	73	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹‘𝑀) ∈ ran 𝐹)
75	70, 74	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
76		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝜑)
77	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	8	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
79	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ℝ)
80		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
81	13	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑁)
82	7	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐵)
83		iccss 13526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵)) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
84	3, 4, 81, 82, 83	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
85	84, 33	sstrd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
86	85	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
87	36	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
88	84	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
89	88, 18	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
90	76, 89	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
91	45	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
92	77, 78, 79, 80, 86, 87, 90, 91	ivthle2 25758	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
93	85	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
94	93, 55	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
95	94	rexlimdva 3164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
96	76, 92, 95	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
97	8, 14	lttri4d 11432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
98	97	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
99	58, 75, 96, 98	mpjao3dan 1459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
100	99	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
101	100	ssrdv 3937	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ran 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ran crn 5652   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,]cicc 13460  –cn→ccncf 25177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179

This theorem is used by:  evthicc2  25761