MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthicc 24720
Description: The interval between any two points of a continuous real function is contained in the range of the function. Equivalently, the range of a continuous real function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivthicc.3 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.4 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivthicc.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivthicc.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ivthicc (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ivthicc
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜑)
2 ivthicc.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3 ivthicc.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ivthicc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 elicc2 13237 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵)))
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵)))
72, 6mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵))
87simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
98ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 ivthicc.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11 elicc2 13237 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵)))
123, 4, 11syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵)))
1310, 12mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵))
1413simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 fveq2 6819 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
1716eleq1d 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
18 ivthicc.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1918ralrimiva 3139 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2017, 19, 2rspcdva 3571 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
21 fveq2 6819 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2221eleq1d 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
2322, 19, 10rspcdva 3571 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
24 iccssre 13254 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ℝ)
2520, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ℝ)
2625sselda 3931 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
28 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
297simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑀)
3013simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝐵)
31 iccss 13240 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑀𝑁𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
323, 4, 29, 30, 31syl22anc 836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33 ivthicc.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
3432, 33sstrd 3941 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
3534ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
36 ivthicc.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
3736ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
3832sselda 3931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3938, 18syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
401, 39sylan 580 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
41 elicc2 13237 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁))))
4220, 23, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁))))
4342biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
44 3simpc 1149 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
4645adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
479, 15, 27, 28, 35, 37, 40, 46ivthle 24718 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦)
4834sselda 3931 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑧𝐷)
49 cncff 24154 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
50 ffn 6645 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐷⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐷)
5136, 49, 503syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
52 fnfvelrn 7008 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐷𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹)
5351, 52sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹)
54 eleq1 2824 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑧) = 𝑦 → ((𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹))
5553, 54syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐷) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
5648, 55syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
5756rexlimdva 3148 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
581, 47, 57sylc 65 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
59 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)))
60 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
6160fveq2d 6823 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
6261oveq2d 7345 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)))
6320rexrd 11118 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
6463ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
65 iccid 13217 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑀) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = {(𝐹𝑀)})
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = {(𝐹𝑀)})
6762, 66eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) = {(𝐹𝑀)})
6859, 67eleqtrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ {(𝐹𝑀)})
69 elsni 4589 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {(𝐹𝑀)} → 𝑦 = (𝐹𝑀))
7068, 69syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 = (𝐹𝑀))
7133, 2sseldd 3932 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐷)
72 fnfvelrn 7008 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐷𝑀𝐷) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7351, 71, 72syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7473ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7570, 74eqeltrd 2837 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
76 simpll 764 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝜑)
7714ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
788ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
7926adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ℝ)
80 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
8113simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑁)
827simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝐵)
83 iccss 13240 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑁𝑀𝐵)) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
843, 4, 81, 82, 83syl22anc 836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
8584, 33sstrd 3941 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
8685ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
8736ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
8884sselda 3931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8988, 18syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9076, 89sylan 580 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9145adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
9277, 78, 79, 80, 86, 87, 90, 91ivthle2 24719 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹𝑧) = 𝑦)
9385sselda 3931 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑧𝐷)
9493, 55syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
9594rexlimdva 3148 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
9676, 92, 95sylc 65 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
978, 14lttri4d 11209 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
9897adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
9958, 75, 96, 98mpjao3dan 1430 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
10099ex 413 . 2 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
101100ssrdv 3937 1 (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070  wss 3897  {csn 4572   class class class wbr 5089  ran crn 5615   Fn wfn 6468  wf 6469  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962  cr 10963  *cxr 11101   < clt 11102  cle 11103  [,]cicc 13175  cnccncf 24137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cncf 24139
This theorem is referenced by:  evthicc2  24722
  Copyright terms: Public domain W3C validator