Theorem ivthicc 25387

Description: The interval between any two points of a continuous real function is contained in the range of the function. Equivalently, the range of a continuous real function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivthicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivthicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivthicc.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivthicc.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivthicc.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ivthicc	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ivthicc

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜑)
2		ivthicc.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3		ivthicc.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ivthicc.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		elicc2 13313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵)))
7	2, 6	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵))
8	7	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		ivthicc.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11		elicc2 13313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵)))
12	3, 4, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵)))
13	10, 12	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵))
14	13	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		fveq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
17	16	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ))
18		ivthicc.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	18	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
20	17, 19, 2	rspcdva 3574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
21		fveq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑁))
22	21	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ))
23	22, 19, 10	rspcdva 3574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
24		iccssre 13331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ℝ)
25	20, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ℝ)
26	25	sselda 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
29	7	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑀)
30	13	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐵)
31		iccss 13316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
32	3, 4, 29, 30, 31	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33		ivthicc.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
34	32, 33	sstrd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
36		ivthicc.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
38	32	sselda 3930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	38, 18	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
40	1, 39	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
41		elicc2 13313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁))))
42	20, 23, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁))))
43	42	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
44		3simpc 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
47	9, 15, 27, 28, 35, 37, 40, 46	ivthle 25385	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
48	34	sselda 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
49		cncff 24814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
50		ffn 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐷⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐷)
51	36, 49, 50	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
52		fnfvelrn 7019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑧) ∈ ran 𝐹)
53	51, 52	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑧) ∈ ran 𝐹)
54		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧) ∈ ran 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ ran 𝐹))
55	53, 54	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
56	48, 55	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
57	56	rexlimdva 3134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
58	1, 47, 57	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
59		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)))
60		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
61	60	fveq2d 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘𝑁))
62	61	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑀)) = ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)))
63	20	rexrd 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
64	63	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
65		iccid 13292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑀)) = {(𝐹‘𝑀)})
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑀)) = {(𝐹‘𝑀)})
67	62, 66	eqtr3d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) = {(𝐹‘𝑀)})
68	59, 67	eleqtrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑀)})
69		elsni 4592	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐹‘𝑀)} → 𝑦 = (𝐹‘𝑀))
70	68, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 = (𝐹‘𝑀))
71	33, 2	sseldd 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
72		fnfvelrn 7019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑀) ∈ ran 𝐹)
73	51, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ran 𝐹)
74	73	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹‘𝑀) ∈ ran 𝐹)
75	70, 74	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
76		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝜑)
77	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
79	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ℝ)
80		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
81	13	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑁)
82	7	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐵)
83		iccss 13316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ 𝐵)) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
84	3, 4, 81, 82, 83	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
85	84, 33	sstrd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
86	85	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
87	36	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
88	84	sselda 3930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
89	88, 18	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
90	76, 89	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
91	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑁)))
92	77, 78, 79, 80, 86, 87, 90, 91	ivthle2 25386	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹‘𝑧) = 𝑦)
93	85	sselda 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
94	93, 55	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
95	94	rexlimdva 3134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹‘𝑧) = 𝑦 → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
96	76, 92, 95	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
97	8, 14	lttri4d 11261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
98	97	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑀))
99	58, 75, 96, 98	mpjao3dan 1434	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁))) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
100	99	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
101	100	ssrdv 3936	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)[,](𝐹‘𝑁)) ⊆ ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898  {csn 4575   class class class wbr 5093  ran crn 5620   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  [,]cicc 13250  –cn→ccncf 24797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799

This theorem is referenced by:  evthicc2  25389