MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthicc 25507
Description: The interval between any two points of a continuous real function is contained in the range of the function. Equivalently, the range of a continuous real function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivthicc.3 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.4 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ivthicc.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivthicc.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivthicc.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ivthicc (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ran 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ivthicc
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜑)
2 ivthicc.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3 ivthicc.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ivthicc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 elicc2 13449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵)))
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵)))
72, 6mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑀𝑀𝐵))
87simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
98ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 ivthicc.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11 elicc2 13449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵)))
123, 4, 11syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵)))
1310, 12mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑁𝑁𝐵))
1413simp1d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
1716eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
18 ivthicc.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1918ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2017, 19, 2rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
21 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2221eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ))
2322, 19, 10rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
24 iccssre 13466 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ℝ)
2520, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ℝ)
2625sselda 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
28 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
297simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑀)
3013simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝐵)
31 iccss 13452 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑀𝑁𝐵)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
323, 4, 29, 30, 31syl22anc 839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33 ivthicc.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
3432, 33sstrd 4006 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
3534ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ 𝐷)
36 ivthicc.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
3736ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
3832sselda 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3938, 18syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
401, 39sylan 580 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
41 elicc2 13449 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁))))
4220, 23, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁))))
4342biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
44 3simpc 1149 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
4645adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
479, 15, 27, 28, 35, 37, 40, 46ivthle 25505 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦)
4834sselda 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑧𝐷)
49 cncff 24933 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
50 ffn 6737 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐷⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐷)
5136, 49, 503syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
52 fnfvelrn 7100 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐷𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹)
5351, 52sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐷) → (𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹)
54 eleq1 2827 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑧) = 𝑦 → ((𝐹𝑧) ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹))
5553, 54syl5ibcom 245 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐷) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
5648, 55syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
5756rexlimdva 3153 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑀[,]𝑁)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
581, 47, 57sylc 65 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
59 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)))
60 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 = 𝑁)
6160fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
6261oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)))
6320rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
6463ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
65 iccid 13429 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑀) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = {(𝐹𝑀)})
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑀)) = {(𝐹𝑀)})
6762, 66eqtr3d 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) = {(𝐹𝑀)})
6859, 67eleqtrd 2841 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ {(𝐹𝑀)})
69 elsni 4648 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {(𝐹𝑀)} → 𝑦 = (𝐹𝑀))
7068, 69syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 = (𝐹𝑀))
7133, 2sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝐷)
72 fnfvelrn 7100 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐷𝑀𝐷) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7351, 71, 72syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7473ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝐹𝑀) ∈ ran 𝐹)
7570, 74eqeltrd 2839 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
76 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝜑)
7714ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
788ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
7926adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ℝ)
80 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
8113simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑁)
827simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝐵)
83 iccss 13452 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝑁𝑀𝐵)) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
843, 4, 81, 82, 83syl22anc 839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
8584, 33sstrd 4006 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
8685ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁[,]𝑀) ⊆ 𝐷)
8736ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
8884sselda 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8988, 18syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9076, 89sylan 580 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
9145adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹𝑀) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (𝐹𝑁)))
9277, 78, 79, 80, 86, 87, 90, 91ivthle2 25506 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹𝑧) = 𝑦)
9385sselda 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → 𝑧𝐷)
9493, 55syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)) → ((𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
9594rexlimdva 3153 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝑁[,]𝑀)(𝐹𝑧) = 𝑦𝑦 ∈ ran 𝐹))
9676, 92, 95sylc 65 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
978, 14lttri4d 11400 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
9897adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁𝑁 < 𝑀))
9958, 75, 96, 98mpjao3dan 1431 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁))) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
10099ex 412 . 2 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) → 𝑦 ∈ ran 𝐹))
101100ssrdv 4001 1 (𝜑 → ((𝐹𝑀)[,](𝐹𝑁)) ⊆ ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  ran crn 5690   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  [,]cicc 13387  cnccncf 24916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918
This theorem is referenced by:  evthicc2  25509
  Copyright terms: Public domain W3C validator