Users' Mathboxes Mathbox for Igor Ieskov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3cubeslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cubeslem1 41422
Description: Lemma for 3cubes 41428. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
3cubeslem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
Assertion
Ref Expression
3cubeslem1 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((๐ด + 1)โ†‘2) โˆ’ ๐ด))

Proof of Theorem 3cubeslem1
StepHypRef Expression
1 3cubeslem1.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 qre 12937 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 0red 11217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
53, 4lttri4d 11355 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด))
6 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 0red 11217 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
8 peano2re 11387 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
98adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
109resqcld 14090 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
11 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
129sqge0d 14102 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด + 1)โ†‘2))
136, 7, 10, 11, 12ltletrd 11374 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2))
1413a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
153, 14mpand 694 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
16 0lt1 11736 . . . . . . . 8 0 < 1
1716a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ 0 < 1)
18 id 22 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ ๐ด = 0)
19 sq1 14159 . . . . . . . 8 (1โ†‘2) = 1
2019a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (1โ†‘2) = 1)
2117, 18, 203brtr4d 5181 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ ๐ด < (1โ†‘2))
22 0cnd 11207 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0 โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
23 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2418oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด + 1) = (0 + 1))
2522, 23, 24comraddd 11428 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด + 1) = (1 + 0))
26 1p0e1 12336 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
2725, 26eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด + 1) = 1)
2827oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) = (1โ†‘2))
2921, 28breqtrrd 5177 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2))
3029a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = 0 โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
31 ax-1rid 11180 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3231adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
33 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
34 1red 11215 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3533, 34readdcld 11243 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
36 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
37 0red 11217 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
38 ltle 11302 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3937, 33, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
4033ltp1d 12144 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < (๐ด + 1))
4139, 40jctird 528 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด + 1))))
4236, 41mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด + 1)))
4334, 35jca 513 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„))
44 0le1 11737 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 1
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค 1)
46 1e0p1 12719 . . . . . . . . . . 11 1 = (0 + 1)
4737, 33, 34, 36ltadd1dd 11825 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 + 1) < (๐ด + 1))
4846, 47eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด + 1))
4943, 45, 48jca32 517 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < (๐ด + 1))))
50 ltmul12a 12070 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด + 1))) โˆง ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < (๐ด + 1)))) โ†’ (๐ด ยท 1) < ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)))
5133, 35, 42, 49, 50syl1111anc 839 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 1) < ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)))
5232, 51eqbrtrrd 5173 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)))
5335recnd 11242 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
5453sqvald 14108 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) = ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)))
5552, 54breqtrrd 5177 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2))
5655a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
573, 56mpand 694 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
5815, 30, 573jaod 1429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
595, 58mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2))
603, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
6160resqcld 14090 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
623, 61posdifd 11801 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2) โ†” 0 < (((๐ด + 1)โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))
6359, 62mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((๐ด + 1)โ†‘2) โˆ’ ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ w3o 1087   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  2c2 12267  โ„šcq 12932  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  3cubeslem2  41423
  Copyright terms: Public domain W3C validator