Users' Mathboxes Mathbox for Igor Ieskov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3cubeslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cubeslem1 41407
Description: Lemma for 3cubes 41413. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
3cubeslem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
Assertion
Ref Expression
3cubeslem1 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((๐ด + 1)โ†‘2) โˆ’ ๐ด))

Proof of Theorem 3cubeslem1
StepHypRef Expression
1 3cubeslem1.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 qre 12933 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 0red 11213 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
53, 4lttri4d 11351 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด))
6 simpl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 0red 11213 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
8 peano2re 11383 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
109resqcld 14086 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
129sqge0d 14098 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด + 1)โ†‘2))
136, 7, 10, 11, 12ltletrd 11370 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2))
1413a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
153, 14mpand 693 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
16 0lt1 11732 . . . . . . . 8 0 < 1
1716a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ 0 < 1)
18 id 22 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ ๐ด = 0)
19 sq1 14155 . . . . . . . 8 (1โ†‘2) = 1
2019a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (1โ†‘2) = 1)
2117, 18, 203brtr4d 5179 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ ๐ด < (1โ†‘2))
22 0cnd 11203 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0 โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
23 1cnd 11205 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2418oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด + 1) = (0 + 1))
2522, 23, 24comraddd 11424 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด + 1) = (1 + 0))
26 1p0e1 12332 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
2725, 26eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด + 1) = 1)
2827oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) = (1โ†‘2))
2921, 28breqtrrd 5175 . . . . 5 (๐ด = 0 โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2))
3029a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = 0 โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
31 ax-1rid 11176 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
33 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
34 1red 11211 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3533, 34readdcld 11239 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
36 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
37 0red 11213 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
38 ltle 11298 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3937, 33, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
4033ltp1d 12140 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < (๐ด + 1))
4139, 40jctird 527 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด + 1))))
4236, 41mpd 15 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด + 1)))
4334, 35jca 512 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„))
44 0le1 11733 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 1
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค 1)
46 1e0p1 12715 . . . . . . . . . . 11 1 = (0 + 1)
4737, 33, 34, 36ltadd1dd 11821 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (0 + 1) < (๐ด + 1))
4846, 47eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด + 1))
4943, 45, 48jca32 516 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < (๐ด + 1))))
50 ltmul12a 12066 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (๐ด + 1))) โˆง ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < (๐ด + 1)))) โ†’ (๐ด ยท 1) < ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)))
5133, 35, 42, 49, 50syl1111anc 838 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยท 1) < ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)))
5232, 51eqbrtrrd 5171 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)))
5335recnd 11238 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„‚)
5453sqvald 14104 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) = ((๐ด + 1) ยท (๐ด + 1)))
5552, 54breqtrrd 5175 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2))
5655a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
573, 56mpand 693 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
5815, 30, 573jaod 1428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0 โˆจ 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2)))
595, 58mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2))
603, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
6160resqcld 14086 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
623, 61posdifd 11797 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ((๐ด + 1)โ†‘2) โ†” 0 < (((๐ด + 1)โ†‘2) โˆ’ ๐ด)))
6359, 62mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((๐ด + 1)โ†‘2) โˆ’ ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ w3o 1086   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  2c2 12263  โ„šcq 12928  โ†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  3cubeslem2  41408
  Copyright terms: Public domain W3C validator