Mathbox for Igor Ieskov < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3cubeslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cubeslem1 39622
 Description: Lemma for 3cubes 39628. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
3cubeslem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
Assertion
Ref Expression
3cubeslem1 (𝜑 → 0 < (((𝐴 + 1)↑2) − 𝐴))

Proof of Theorem 3cubeslem1
StepHypRef Expression
1 3cubeslem1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
2 qre 12345 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 0red 10637 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
53, 4lttri4d 10774 . . 3 (𝜑 → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
6 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 0red 10637 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
8 peano2re 10806 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
98adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
109resqcld 13611 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 + 1)↑2) ∈ ℝ)
11 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
129sqge0d 13612 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ ((𝐴 + 1)↑2))
136, 7, 10, 11, 12ltletrd 10793 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2))
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2)))
153, 14mpand 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 0 → 𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2)))
16 0lt1 11155 . . . . . . . 8 0 < 1
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → 0 < 1)
18 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
19 sq1 13558 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (1↑2) = 1)
2117, 18, 203brtr4d 5065 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → 𝐴 < (1↑2))
22 0cnd 10627 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → 0 ∈ ℂ)
23 1cnd 10629 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → 1 ∈ ℂ)
2418oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (𝐴 + 1) = (0 + 1))
2522, 23, 24comraddd 10847 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (𝐴 + 1) = (1 + 0))
26 1p0e1 11753 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
2725, 26eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 + 1) = 1)
2827oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((𝐴 + 1)↑2) = (1↑2))
2921, 28breqtrrd 5061 . . . . 5 (𝐴 = 0 → 𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2))
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 0 → 𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2)))
31 ax-1rid 10600 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3231adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
33 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 1red 10635 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
3533, 34readdcld 10663 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
36 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
37 0red 10637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
38 ltle 10722 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3937, 33, 38syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4033ltp1d 11563 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
4139, 40jctird 530 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐴 → (0 ≤ 𝐴𝐴 < (𝐴 + 1))))
4236, 41mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < (𝐴 + 1)))
4334, 35jca 515 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ))
44 0le1 11156 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 1)
46 1e0p1 12132 . . . . . . . . . . 11 1 = (0 + 1)
4737, 33, 34, 36ltadd1dd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 + 1) < (𝐴 + 1))
4846, 47eqbrtrid 5068 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 1 < (𝐴 + 1))
4943, 45, 48jca32 519 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < (𝐴 + 1))))
50 ltmul12a 11489 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < (𝐴 + 1))) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < (𝐴 + 1)))) → (𝐴 · 1) < ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)))
5133, 35, 42, 49, 50syl1111anc 838 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 1) < ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)))
5232, 51eqbrtrrd 5057 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)))
5335recnd 10662 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
5453sqvald 13507 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 + 1)↑2) = ((𝐴 + 1) · (𝐴 + 1)))
5552, 54breqtrrd 5061 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2))
5655a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2)))
573, 56mpand 694 . . . 4 (𝜑 → (0 < 𝐴𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2)))
5815, 30, 573jaod 1425 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴) → 𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2)))
595, 58mpd 15 . 2 (𝜑𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2))
603, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
6160resqcld 13611 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 1)↑2) ∈ ℝ)
623, 61posdifd 11220 . 2 (𝜑 → (𝐴 < ((𝐴 + 1)↑2) ↔ 0 < (((𝐴 + 1)↑2) − 𝐴)))
6359, 62mpbid 235 1 (𝜑 → 0 < (((𝐴 + 1)↑2) − 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ w3o 1083   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  2c2 11684  ℚcq 12340  ↑cexp 13429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-seq 13369  df-exp 13430 This theorem is referenced by:  3cubeslem2  39623
 Copyright terms: Public domain W3C validator