MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvntaylp 26223
Description: The 𝑀-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the 𝑀-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvntaylp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
dvntaylp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
dvntaylp.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
dvntaylp.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
dvntaylp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 𝑀)))
Assertion
Ref Expression
dvntaylp (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘€) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡))

Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2 nn0uz 12871 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
31, 2eleqtrdi 2842 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
4 eluzfz2b 13517 . . . 4 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
53, 4sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
6 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘š = 0 β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜0))
7 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘š = 0 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))
87oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)))
9 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (π‘š = 0 β†’ (𝑀 βˆ’ π‘š) = (𝑀 βˆ’ 0))
109oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š)) = (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 0)))
11 eqidd 2732 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ 𝐡 = 𝐡)
128, 10, 11oveq123d 7433 . . . . . 6 (π‘š = 0 β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))𝐡))
136, 12eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘š = 0 β†’ (((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡) ↔ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜0) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))𝐡)))
1413imbi2d 340 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡)) ↔ (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜0) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))𝐡))))
15 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›))
16 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))
1716oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)))
18 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑀 βˆ’ π‘š) = (𝑀 βˆ’ 𝑛))
1918oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š)) = (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛)))
20 eqidd 2732 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ 𝐡 = 𝐡)
2117, 19, 20oveq123d 7433 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡))
2215, 21eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ (((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡) ↔ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡)))
2322imbi2d 340 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡)) ↔ (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡))))
24 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜(𝑛 + 1)))
25 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))
2625oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1))))
27 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (𝑀 βˆ’ π‘š) = (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))
2827oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š)) = (𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))))
29 eqidd 2732 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ 𝐡 = 𝐡)
3026, 28, 29oveq123d 7433 . . . . . 6 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))𝐡))
3124, 30eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡) ↔ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))𝐡)))
3231imbi2d 340 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡)) ↔ (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))𝐡))))
33 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘€))
34 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))
3534oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€)))
36 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (𝑀 βˆ’ π‘š) = (𝑀 βˆ’ 𝑀))
3736oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š)) = (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑀)))
38 eqidd 2732 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ 𝐡 = 𝐡)
3935, 37, 38oveq123d 7433 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡))
4033, 39eqeq12d 2747 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡) ↔ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘€) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡)))
4140imbi2d 340 . . . 4 (π‘š = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘š) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ π‘š))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘š))𝐡)) ↔ (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘€) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡))))
42 ssidd 4005 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
43 mapsspm 8876 . . . . . . . 8 (β„‚ ↑m β„‚) βŠ† (β„‚ ↑pm β„‚)
44 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
45 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
46 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
47 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4847, 1nn0addcld 12543 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ β„•0)
49 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 𝑀)))
50 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
5144, 45, 46, 48, 49, 50taylpf 26218 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡):β„‚βŸΆβ„‚)
52 cnex 11197 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
5352, 52elmap 8871 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) ∈ (β„‚ ↑m β„‚) ↔ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡):β„‚βŸΆβ„‚)
5451, 53sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) ∈ (β„‚ ↑m β„‚))
5543, 54sselid 3980 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
56 dvn0 25775 . . . . . . 7 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) ∈ (β„‚ ↑pm β„‚)) β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))
5742, 55, 56syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))
58 recnprss 25754 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
5944, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6052a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
61 elpm2r 8845 . . . . . . . . . 10 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
6260, 44, 45, 46, 61syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
63 dvn0 25775 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
6459, 62, 63syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
6564oveq2d 7428 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)) = (𝑆 Tayl 𝐹))
661nn0cnd 12541 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
6766subid1d 11567 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
6867oveq2d 7428 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 0)) = (𝑁 + 𝑀))
69 eqidd 2732 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 = 𝐡)
7065, 68, 69oveq123d 7433 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))𝐡) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))
7157, 70eqtr4d 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜0) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))𝐡))
7271a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜0) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))𝐡)))
73 oveq2 7420 . . . . . . 7 (((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡) β†’ (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›)) = (β„‚ D ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡)))
74 ssidd 4005 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
7555adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
76 elfzouz 13643 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
7776adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
7877, 2eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
79 dvnp1 25776 . . . . . . . . 9 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜(𝑛 + 1)) = (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›)))
8074, 75, 78, 79syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜(𝑛 + 1)) = (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›)))
8144adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
8262adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
83 dvnf 25778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)βŸΆβ„‚)
8481, 82, 78, 83syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)βŸΆβ„‚)
85 dvnbss 25779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) βŠ† dom 𝐹)
8681, 82, 78, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) βŠ† dom 𝐹)
8745fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
8986, 88sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) βŠ† 𝐴)
9046adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
9189, 90sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›) βŠ† 𝑆)
9247adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
93 fzofzp1 13736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
95 fznn0sub 13540 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)) ∈ β„•0)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)) ∈ β„•0)
9792, 96nn0addcld 12543 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) ∈ β„•0)
9849adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 𝑀)))
99 elfzofz 13655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑛 ∈ (0...𝑀))
10099adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑛 ∈ (0...𝑀))
101 fznn0sub 13540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (0...𝑀) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑛) ∈ β„•0)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑛) ∈ β„•0)
10392, 102nn0addcld 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛)) ∈ β„•0)
104 dvnadd 25780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛)) ∈ β„•0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))β€˜(𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛)))))
10581, 82, 78, 103, 104syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))β€˜(𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛)))))
10647nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
10896nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)) ∈ β„‚)
109 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 1 ∈ β„‚)
110107, 108, 109addassd 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + ((𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)) + 1)))
11166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
11278nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
113111, 112, 109nppcan2d 11604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)) + 1) = (𝑀 βˆ’ 𝑛))
114113oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑁 + ((𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)) + 1)) = (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛)))
115110, 114eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛)))
116115fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))β€˜((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))β€˜(𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))))
117112, 111pncan3d 11581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑛 + (𝑀 βˆ’ 𝑛)) = 𝑀)
118117oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))) = (𝑁 + 𝑀))
119111, 112subcld 11578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑛) ∈ β„‚)
120107, 112, 119add12d 11447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))))
121118, 120eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑁 + 𝑀) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))))
122121fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛)))))
123105, 116, 1223eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))β€˜((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 𝑀)))
124123dmeqd 5905 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))β€˜((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) + 1)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 𝑀)))
12598, 124eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))β€˜((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) + 1)))
12681, 84, 91, 97, 125dvtaylp 26222 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (β„‚ D (((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡)) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)))𝐡))
127115oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡))
128127oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (β„‚ D (((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡)) = (β„‚ D ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡)))
12959adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
130 dvnp1 25776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)))
131129, 82, 78, 130syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)))
132131oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1))) = (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))))
133132eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1))))
134133oveqd 7429 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›)))𝐡) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))𝐡))
135126, 128, 1343eqtr3rd 2780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))𝐡) = (β„‚ D ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡)))
13680, 135eqeq12d 2747 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))𝐡) ↔ (β„‚ D ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›)) = (β„‚ D ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡))))
13773, 136imbitrrid 245 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡) β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))𝐡)))
138137expcom 413 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0..^𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡) β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))𝐡))))
139138a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘›) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘›))𝐡)) β†’ (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑛 + 1)))𝐡))))
14014, 23, 32, 41, 72, 139fzind2 13757 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘€) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡)))
1415, 140mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘€) = ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡))
14266subidd 11566 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑀) = 0)
143142oveq2d 7428 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑀)) = (𝑁 + 0))
144106addridd 11421 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 0) = 𝑁)
145143, 144eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑀)) = 𝑁)
146145oveq1d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + (𝑀 βˆ’ 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡))
147141, 146eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡))β€˜π‘€) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘€))𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {cpr 4630  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8826   ↑pm cpm 8827  β„‚cc 11114  β„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   βˆ’ cmin 11451  β„•0cn0 12479  β„€β‰₯cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634   D cdv 25713   D𝑛 cdvn 25714   Tayl ctayl 26205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-tsms 23952  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-dvn 25718  df-tayl 26207
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  26224  taylthlem1  26225
  Copyright terms: Public domain W3C validator