Theorem dvntaylp 25435

Description: The 𝑀-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the 𝑀-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvntaylp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvntaylp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvntaylp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvntaylp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
dvntaylp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvntaylp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
dvntaylp	⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Proof of Theorem dvntaylp

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvntaylp.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12549	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4		eluzfz2b 13194	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
5	3, 4	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
6		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0))
7		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 0))
10	9	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 0)))
11		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝐵 = 𝐵)
12	8, 10, 11	oveq123d 7276	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
13	6, 12	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
14	13	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))))
15		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛))
16		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
17	16	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
18		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑛))
19	18	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
20		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐵 = 𝐵)
21	17, 19, 20	oveq123d 7276	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
22	15, 21	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
23	22	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
24		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)))
25		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
26	25	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
27		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − (𝑛 + 1)))
28	27	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))))
29		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → 𝐵 = 𝐵)
30	26, 28, 29	oveq123d 7276	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
31	24, 30	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
32	31	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
33		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀))
34		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
35	34	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)))
36		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑀))
37	36	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)))
38		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝐵 = 𝐵)
39	35, 37, 38	oveq123d 7276	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
40	33, 39	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
41	40	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))))
42		ssidd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
43		mapsspm 8622	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ↑m ℂ) ⊆ (ℂ ↑pm ℂ)
44		dvntaylp.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
45		dvntaylp.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
46		dvntaylp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
47		dvntaylp.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
48	47, 1	nn0addcld 12227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
49		dvntaylp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
50		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
51	44, 45, 46, 48, 49, 50	taylpf 25430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
52		cnex 10883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
53	52, 52	elmap 8617	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℂ) ↔ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
54	51, 53	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℂ))
55	43, 54	sselid 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
56		dvn0 24993	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
57	42, 55, 56	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
58		recnprss 24973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
59	44, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
60	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
61		elpm2r 8591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
62	60, 44, 45, 46, 61	syl22anc 835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
63		dvn0 24993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
64	59, 62, 63	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
65	64	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)) = (𝑆 Tayl 𝐹))
66	1	nn0cnd 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
67	66	subid1d 11251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 0) = 𝑀)
68	67	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 0)) = (𝑁 + 𝑀))
69		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
70	65, 68, 69	oveq123d 7276	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
71	57, 70	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
72	71	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
73		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
74		ssidd 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
75	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
76		elfzouz 13320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
78	77, 2	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
79		dvnp1 24994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
80	74, 75, 78, 79	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
81	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
82	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
83		dvnf 24996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
84	81, 82, 78, 83	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
85		dvnbss 24997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
86	81, 82, 78, 85	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
87	45	fdmd 6595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐴)
89	86, 88	sseqtrd 3957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝐴)
90	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
91	89, 90	sstrd 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝑆)
92	47	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
93		fzofzp1 13412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
95		fznn0sub 13217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
97	92, 96	nn0addcld 12227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) ∈ ℕ0)
98	49	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
99		elfzofz 13331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
100	99	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
101		fznn0sub 13217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
103	92, 102	nn0addcld 12227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)
104		dvnadd 24998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
105	81, 82, 78, 103, 104	syl22anc 835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
106	47	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
108	96	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
109		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
110	107, 108, 109	addassd 10928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)))
111	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
112	78	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
113	111, 112, 109	nppcan2d 11288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1) = (𝑀 − 𝑛))
114	113	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
115	110, 114	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
116	115	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
117	112, 111	pncan3d 11265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + (𝑀 − 𝑛)) = 𝑀)
118	117	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑁 + 𝑀))
119	111, 112	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℂ)
120	107, 112, 119	add12d 11131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
121	118, 120	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
122	121	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
123	105, 116, 122	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
124	123	dmeqd 5803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
125	98, 124	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)))
126	81, 84, 91, 97, 125	dvtaylp 25434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵))
127	115	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
128	127	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
129	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
130		dvnp1 24994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
131	129, 82, 78, 130	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
132	131	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))))
133	132	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
134	133	oveqd 7272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
135	126, 128, 134	3eqtr3rd 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
136	80, 135	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) ↔ (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
137	73, 136	syl5ibr 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
138	137	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
139	138	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
140	14, 23, 32, 41, 72, 139	fzind2 13433	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑀) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
141	5, 140	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
142	66	subidd 11250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
143	142	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = (𝑁 + 0))
144	106	addid1d 11105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
145	143, 144	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = 𝑁)
146	145	oveq1d 7270	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
147	141, 146	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {cpr 4560  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311   D cdv 24932   D^𝑛 cdvn 24933   Tayl ctayl 25417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-tsms 23186  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-dvn 24937  df-tayl 25419

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  25436  taylthlem1  25437