Theorem dvntaylp 26347

Description: The 𝑀-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the 𝑀-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvntaylp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvntaylp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvntaylp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvntaylp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
dvntaylp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvntaylp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
dvntaylp	⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Proof of Theorem dvntaylp

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvntaylp.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12801	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4		eluzfz2b 13461	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
5	3, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
6		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0))
7		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 0))
10	9	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 0)))
11		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝐵 = 𝐵)
12	8, 10, 11	oveq123d 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
13	6, 12	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
14	13	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))))
15		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛))
16		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
17	16	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
18		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑛))
19	18	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
20		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐵 = 𝐵)
21	17, 19, 20	oveq123d 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
22	15, 21	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
23	22	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
24		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)))
25		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
26	25	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
27		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − (𝑛 + 1)))
28	27	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))))
29		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → 𝐵 = 𝐵)
30	26, 28, 29	oveq123d 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
31	24, 30	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
32	31	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
33		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀))
34		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
35	34	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)))
36		oveq2 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑀))
37	36	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)))
38		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝐵 = 𝐵)
39	35, 37, 38	oveq123d 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
40	33, 39	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
41	40	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))))
42		ssidd 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
43		mapsspm 8826	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ↑m ℂ) ⊆ (ℂ ↑pm ℂ)
44		dvntaylp.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
45		dvntaylp.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
46		dvntaylp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
47		dvntaylp.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
48	47, 1	nn0addcld 12478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
49		dvntaylp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
50		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
51	44, 45, 46, 48, 49, 50	taylpf 26341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
52		cnex 11119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
53	52, 52	elmap 8821	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℂ) ↔ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
54	51, 53	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℂ))
55	43, 54	sselid 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
56		dvn0 25894	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
57	42, 55, 56	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
58		recnprss 25873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
59	44, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
60	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
61		elpm2r 8794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
62	60, 44, 45, 46, 61	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
63		dvn0 25894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
64	59, 62, 63	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
65	64	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)) = (𝑆 Tayl 𝐹))
66	1	nn0cnd 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
67	66	subid1d 11493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 0) = 𝑀)
68	67	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 0)) = (𝑁 + 𝑀))
69		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
70	65, 68, 69	oveq123d 7389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
71	57, 70	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
72	71	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
73		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
74		ssidd 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
75	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
76		elfzouz 13591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
78	77, 2	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
79		dvnp1 25895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
80	74, 75, 78, 79	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
81	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
82	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
83		dvnf 25897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
84	81, 82, 78, 83	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
85		dvnbss 25898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
86	81, 82, 78, 85	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
87	45	fdmd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐴)
89	86, 88	sseqtrd 3972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝐴)
90	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
91	89, 90	sstrd 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝑆)
92	47	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
93		fzofzp1 13692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
95		fznn0sub 13484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
97	92, 96	nn0addcld 12478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) ∈ ℕ0)
98	49	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
99		elfzofz 13603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
100	99	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
101		fznn0sub 13484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
103	92, 102	nn0addcld 12478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)
104		dvnadd 25899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
105	81, 82, 78, 103, 104	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
106	47	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
108	96	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
109		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
110	107, 108, 109	addassd 11166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)))
111	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
112	78	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
113	111, 112, 109	nppcan2d 11530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1) = (𝑀 − 𝑛))
114	113	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
115	110, 114	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
116	115	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
117	112, 111	pncan3d 11507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + (𝑀 − 𝑛)) = 𝑀)
118	117	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑁 + 𝑀))
119	111, 112	subcld 11504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℂ)
120	107, 112, 119	add12d 11372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
121	118, 120	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
122	121	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
123	105, 116, 122	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
124	123	dmeqd 5862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
125	98, 124	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)))
126	81, 84, 91, 97, 125	dvtaylp 26346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵))
127	115	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
128	127	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
129	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
130		dvnp1 25895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
131	129, 82, 78, 130	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
132	131	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))))
133	132	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
134	133	oveqd 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
135	126, 128, 134	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
136	80, 135	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) ↔ (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
137	73, 136	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
138	137	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
139	138	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
140	14, 23, 32, 41, 72, 139	fzind2 13716	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑀) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
141	5, 140	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
142	66	subidd 11492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
143	142	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = (𝑁 + 0))
144	106	addridd 11345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
145	143, 144	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = 𝑁)
146	145	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
147	141, 146	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {cpr 4584  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775   ↑_pm cpm 8776  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582   D cdv 25832   D^𝑛 cdvn 25833   Tayl ctayl 26328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-tsms 24083  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-dvn 25837  df-tayl 26330

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  26348  taylthlem1  26349