Theorem dvntaylp 26309

Description: The 𝑀-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the 𝑀-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvntaylp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvntaylp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvntaylp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvntaylp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
dvntaylp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvntaylp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
dvntaylp	⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Proof of Theorem dvntaylp

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvntaylp.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12778	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4		eluzfz2b 13437	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
5	3, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
6		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0))
7		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		oveq2 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 0))
10	9	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 0)))
11		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝐵 = 𝐵)
12	8, 10, 11	oveq123d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
13	6, 12	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
14	13	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))))
15		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛))
16		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
17	16	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
18		oveq2 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑛))
19	18	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
20		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐵 = 𝐵)
21	17, 19, 20	oveq123d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
22	15, 21	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
23	22	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
24		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)))
25		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
26	25	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
27		oveq2 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − (𝑛 + 1)))
28	27	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))))
29		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → 𝐵 = 𝐵)
30	26, 28, 29	oveq123d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
31	24, 30	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
32	31	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
33		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀))
34		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
35	34	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)))
36		oveq2 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑀))
37	36	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)))
38		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝐵 = 𝐵)
39	35, 37, 38	oveq123d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
40	33, 39	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
41	40	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))))
42		ssidd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
43		mapsspm 8808	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ↑m ℂ) ⊆ (ℂ ↑pm ℂ)
44		dvntaylp.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
45		dvntaylp.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
46		dvntaylp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
47		dvntaylp.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
48	47, 1	nn0addcld 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
49		dvntaylp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
50		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
51	44, 45, 46, 48, 49, 50	taylpf 26303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
52		cnex 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
53	52, 52	elmap 8803	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℂ) ↔ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
54	51, 53	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℂ))
55	43, 54	sselid 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
56		dvn0 25856	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
57	42, 55, 56	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
58		recnprss 25835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
59	44, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
60	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
61		elpm2r 8777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
62	60, 44, 45, 46, 61	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
63		dvn0 25856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
64	59, 62, 63	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
65	64	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)) = (𝑆 Tayl 𝐹))
66	1	nn0cnd 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
67	66	subid1d 11470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 0) = 𝑀)
68	67	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 0)) = (𝑁 + 𝑀))
69		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
70	65, 68, 69	oveq123d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
71	57, 70	eqtr4d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
72	71	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
73		oveq2 7362	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
74		ssidd 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
75	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
76		elfzouz 13567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
78	77, 2	eleqtrrdi 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
79		dvnp1 25857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
80	74, 75, 78, 79	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
81	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
82	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
83		dvnf 25859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
84	81, 82, 78, 83	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
85		dvnbss 25860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
86	81, 82, 78, 85	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
87	45	fdmd 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐴)
89	86, 88	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝐴)
90	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
91	89, 90	sstrd 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝑆)
92	47	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
93		fzofzp1 13668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
95		fznn0sub 13460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
97	92, 96	nn0addcld 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) ∈ ℕ0)
98	49	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
99		elfzofz 13579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
100	99	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
101		fznn0sub 13460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
103	92, 102	nn0addcld 12455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)
104		dvnadd 25861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
105	81, 82, 78, 103, 104	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
106	47	nn0cnd 12453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
108	96	nn0cnd 12453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
109		1cnd 11116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
110	107, 108, 109	addassd 11143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)))
111	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
112	78	nn0cnd 12453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
113	111, 112, 109	nppcan2d 11507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1) = (𝑀 − 𝑛))
114	113	oveq2d 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
115	110, 114	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
116	115	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
117	112, 111	pncan3d 11484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + (𝑀 − 𝑛)) = 𝑀)
118	117	oveq2d 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑁 + 𝑀))
119	111, 112	subcld 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℂ)
120	107, 112, 119	add12d 11349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
121	118, 120	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
122	121	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
123	105, 116, 122	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
124	123	dmeqd 5851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
125	98, 124	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)))
126	81, 84, 91, 97, 125	dvtaylp 26308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵))
127	115	oveq1d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
128	127	oveq2d 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
129	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
130		dvnp1 25857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
131	129, 82, 78, 130	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
132	131	oveq2d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))))
133	132	eqcomd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
134	133	oveqd 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
135	126, 128, 134	3eqtr3rd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
136	80, 135	eqeq12d 2749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) ↔ (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
137	73, 136	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
138	137	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
139	138	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
140	14, 23, 32, 41, 72, 139	fzind2 13692	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑀) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
141	5, 140	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
142	66	subidd 11469	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
143	142	oveq2d 7370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = (𝑁 + 0))
144	106	addridd 11322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
145	143, 144	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = 𝑁)
146	145	oveq1d 7369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
147	141, 146	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {cpr 4579  dom cdm 5621  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ↑_m cmap 8758   ↑_pm cpm 8759  ℂcc 11013  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   − cmin 11353  ℕ₀cn0 12390  ℤ_≥cuz 12740  ...cfz 13411  ..^cfzo 13558   D cdv 25794   D^𝑛 cdvn 25795   Tayl ctayl 26290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-exp 13973  df-fac 14185  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-sum 15598  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-xrs 17410  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-ur 20104  df-ring 20157  df-cring 20158  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-fbas 21292  df-fg 21293  df-cnfld 21296  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cld 22937  df-ntr 22938  df-cls 22939  df-nei 23016  df-lp 23054  df-perf 23055  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-haus 23233  df-tx 23480  df-hmeo 23673  df-fil 23764  df-fm 23856  df-flim 23857  df-flf 23858  df-tsms 24045  df-xms 24238  df-ms 24239  df-tms 24240  df-cncf 24801  df-limc 25797  df-dv 25798  df-dvn 25799  df-tayl 26292

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  26310  taylthlem1  26311