Theorem dvntaylp 26515

Description: The 𝑀-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the 𝑀-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvntaylp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvntaylp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvntaylp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvntaylp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
dvntaylp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvntaylp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
dvntaylp	⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Proof of Theorem dvntaylp

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvntaylp.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12901	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4		eluzfz2b 13562	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
5	3, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
6		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0))
7		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 0))
10	9	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 0)))
11		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝐵 = 𝐵)
12	8, 10, 11	oveq123d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
13	6, 12	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
14	13	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))))
15		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛))
16		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
17	16	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
18		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑛))
19	18	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
20		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝐵 = 𝐵)
21	17, 19, 20	oveq123d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
22	15, 21	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
23	22	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
24		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)))
25		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
26	25	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
27		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − (𝑛 + 1)))
28	27	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))))
29		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → 𝐵 = 𝐵)
30	26, 28, 29	oveq123d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
31	24, 30	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
32	31	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
33		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀))
34		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
35	34	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚)) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)))
36		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑀 − 𝑚) = (𝑀 − 𝑀))
37	36	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑚)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)))
38		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝐵 = 𝐵)
39	35, 37, 38	oveq123d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
40	33, 39	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵) ↔ ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
41	40	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑚) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑚))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑚))𝐵)) ↔ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))))
42		ssidd 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
43		mapsspm 8875	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ↑m ℂ) ⊆ (ℂ ↑pm ℂ)
44		dvntaylp.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
45		dvntaylp.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
46		dvntaylp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
47		dvntaylp.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
48	47, 1	nn0addcld 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
49		dvntaylp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
50		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
51	44, 45, 46, 48, 49, 50	taylpf 26510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
52		cnex 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
53	52, 52	elmap 8870	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℂ) ↔ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵):ℂ⟶ℂ)
54	51, 53	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℂ))
55	43, 54	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
56		dvn0 26064	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
57	42, 55, 56	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
58		recnprss 26044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
59	44, 58	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
60	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
61		elpm2r 8843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
62	60, 44, 45, 46, 61	syl22anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
63		dvn0 26064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
64	59, 62, 63	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
65	64	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)) = (𝑆 Tayl 𝐹))
66	1	nn0cnd 12568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
67	66	subid1d 11559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 0) = 𝑀)
68	67	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 0)) = (𝑁 + 𝑀))
69		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
70	65, 68, 69	oveq123d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵) = ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
71	57, 70	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵))
72	71	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘0) = ((𝑁 + (𝑀 − 0))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))𝐵)))
73		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
74		ssidd 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
75	55	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
76		elfzouz 13694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
77	76	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘0))
78	77, 2	eleqtrrdi 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
79		dvnp1 26065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
80	74, 75, 78, 79	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)))
81	44	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
82	62	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
83		dvnf 26067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
84	81, 82, 78, 83	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℂ)
85		dvnbss 26068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
86	81, 82, 78, 85	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
87	45	fdmd 6718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
88	87	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom 𝐹 = 𝐴)
89	86, 88	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝐴)
90	46	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
91	89, 90	sstrd 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝑆)
92	47	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
93		fzofzp1 13795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
94	93	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀))
95		fznn0sub 13586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
96	94, 95	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℕ0)
97	92, 96	nn0addcld 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) ∈ ℕ0)
98	49	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
99		elfzofz 13706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
100	99	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ (0...𝑀))
101		fznn0sub 13586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑀) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
102	100, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℕ0)
103	92, 102	nn0addcld 12570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)
104		dvnadd 26069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
105	81, 82, 78, 103, 104	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
106	47	nn0cnd 12568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
107	106	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
108	96	nn0cnd 12568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
109		1cnd 11203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
110	107, 108, 109	addassd 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)))
111	66	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
112	78	nn0cnd 12568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
113	111, 112, 109	nppcan2d 11596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1) = (𝑀 − 𝑛))
114	113	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + ((𝑀 − (𝑛 + 1)) + 1)) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
115	110, 114	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1) = (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))
116	115	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘(𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
117	112, 111	pncan3d 11573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑛 + (𝑀 − 𝑛)) = 𝑀)
118	117	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑁 + 𝑀))
119	111, 112	subcld 11570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℂ)
120	107, 112, 119	add12d 11438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + (𝑛 + (𝑀 − 𝑛))) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
121	118, 120	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛))))
122	121	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + (𝑁 + (𝑀 − 𝑛)))))
123	105, 116, 122	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
124	123	dmeqd 5897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 𝑀)))
125	98, 124	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))‘((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)))
126	81, 84, 91, 97, 125	dvtaylp 26514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵))
127	115	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))
128	127	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (ℂ D (((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1))) + 1)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
129	59	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
130		dvnp1 26065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
131	129, 82, 78, 130	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
132	131	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))) = (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))))
133	132	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))) = (𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
134	133	oveqd 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))𝐵) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))
135	126, 128, 134	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)))
136	80, 135	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵) ↔ (ℂ D ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛)) = (ℂ D ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵))))
137	73, 136	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵)))
138	137	expcom 418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵) → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
139	138	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑛) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑛))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))𝐵)) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑛 + 1)) = ((𝑁 + (𝑀 − (𝑛 + 1)))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))𝐵))))
140	14, 23, 32, 41, 72, 139	fzind2 13819	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑀) → (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)))
141	5, 140	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
142	66	subidd 11558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
143	142	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = (𝑁 + 0))
144	106	addridd 11411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
145	143, 144	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (𝑀 − 𝑀)) = 𝑁)
146	145	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (𝑀 − 𝑀))(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
147	141, 146	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((𝑁 + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = (𝑁(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  {cpr 4592  dom cdm 5663  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825   ↑_pm cpm 8826  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   − cmin 11442  ℕ₀cn0 12505  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684   D cdv 26003   D^𝑛 cdvn 26004   Tayl ctayl 26497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-tsms 24265  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-dvn 26008  df-tayl 26499

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  26516  taylthlem1  26517