Theorem mrsubff1 32874

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubff1	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff1

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrsubvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		mrsubvr.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
4	1, 2, 3	mrsubff 32872	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
5		mapsspm 8423	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↑m 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑅 ↑m 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉))
7	4, 6	fssresd 6519	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
8		fveq1 6644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩))
9		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
10		elmapi 8411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
12		ssidd 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑉 ⊆ 𝑉)
13		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3	mrsubvr 32871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
16		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
17		elmapi 8411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
19	1, 2, 3	mrsubvr 32871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
20	18, 12, 13, 19	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
21	15, 20	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) ↔ (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
22	8, 21	syl5ib 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
23	22	ralrimdva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
24		fvres 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = (𝑆‘𝑓))
25		fvres 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
26	24, 25	eqeqan12d 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
27	26	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
28		ffn 6487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑉⟶𝑅 → 𝑓 Fn 𝑉)
29		ffn 6487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:𝑉⟶𝑅 → 𝑔 Fn 𝑉)
30		eqfnfv 6779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑉 ∧ 𝑔 Fn 𝑉) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
31	28, 29, 30	syl2an 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑔:𝑉⟶𝑅) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
32	10, 17, 31	syl2an 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
33	32	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
34	23, 27, 33	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
35	34	ralrimivva 3156	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
36		dff13 6991	. 2 ⊢ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
37	7, 35, 36	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881   ↾ cres 5521   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389   ↑_pm cpm 8390  ⟨“cs1 13940  mVRcmvar 32821  mRExcmrex 32826  mRSubstcmrsub 32830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-frmd 18006  df-mrex 32846  df-mrsub 32850

This theorem is referenced by:  mrsubff1o  32875  msubff1  32916