Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubff1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mrsubff1 35165
Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubvr.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubff1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1β†’(𝑅 ↑m 𝑅))
Proof of Theorem mrsubff1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . 4 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
2 mrsubvr.r . . . 4 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
3 mrsubvr.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
41, 2, 3mrsubff 35163 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
5 mapsspm 8903 . . . 4 (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉))
74, 6fssresd 6769 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
8 fveq1 6901 . . . . . 6 ((π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
9 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
10 elmapi 8876 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
12 ssidd 4005 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 βŠ† 𝑉)
13 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
141, 2, 3mrsubvr 35162 . . . . . . . 8 ((𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘“β€˜π‘£))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘“β€˜π‘£))
16 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
17 elmapi 8876 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑔:π‘‰βŸΆπ‘…)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑔:π‘‰βŸΆπ‘…)
191, 2, 3mrsubvr 35162 . . . . . . . 8 ((𝑔:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘”β€˜π‘£))
2018, 12, 13, 19syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘”β€˜π‘£))
2115, 20eqeq12d 2744 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ↔ (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
228, 21imbitrid 243 . . . . 5 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”) β†’ (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
2322ralrimdva 3151 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
24 fvres 6921 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘“))
25 fvres 6921 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) = (π‘†β€˜π‘”))
2624, 25eqeqan12d 2742 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) ↔ (π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”)))
2726adantl 480 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) ↔ (π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”)))
28 ffn 6727 . . . . . . 7 (𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ 𝑓 Fn 𝑉)
29 ffn 6727 . . . . . . 7 (𝑔:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ 𝑔 Fn 𝑉)
30 eqfnfv 7045 . . . . . . 7 ((𝑓 Fn 𝑉 ∧ 𝑔 Fn 𝑉) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3128, 29, 30syl2an 594 . . . . . 6 ((𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑔:π‘‰βŸΆπ‘…) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3210, 17, 31syl2an 594 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3332adantl 480 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3423, 27, 333imtr4d 293 . . 3 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) β†’ 𝑓 = 𝑔))
3534ralrimivva 3198 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)βˆ€π‘” ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) β†’ 𝑓 = 𝑔))
36 dff13 7271 . 2 ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1β†’(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)βˆ€π‘” ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) β†’ 𝑓 = 𝑔)))
377, 35, 36sylanbrc 581 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1β†’(𝑅 ↑m 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3949   β†Ύ cres 5684   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“1-1β†’wf1 6550  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8853   ↑pm cpm 8854  βŸ¨β€œcs1 14587  mVRcmvar 35112  mRExcmrex 35117  mRSubstcmrsub 35121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-frmd 18815  df-mrex 35137  df-mrsub 35141
This theorem is referenced by:  mrsubff1o  35166  msubff1  35207
  Copyright terms: Public domain W3C validator