Theorem mrsubff1 34108

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubff1	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff1

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrsubvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		mrsubvr.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
4	1, 2, 3	mrsubff 34106	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
5		mapsspm 8814	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↑m 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑅 ↑m 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉))
7	4, 6	fssresd 6709	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
8		fveq1 6841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩))
9		simplrl 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
10		elmapi 8787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
12		ssidd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑉 ⊆ 𝑉)
13		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3	mrsubvr 34105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
16		simplrr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
17		elmapi 8787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
19	1, 2, 3	mrsubvr 34105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
20	18, 12, 13, 19	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
21	15, 20	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) ↔ (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
22	8, 21	imbitrid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
23	22	ralrimdva 3151	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
24		fvres 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = (𝑆‘𝑓))
25		fvres 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
26	24, 25	eqeqan12d 2750	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
27	26	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
28		ffn 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑉⟶𝑅 → 𝑓 Fn 𝑉)
29		ffn 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:𝑉⟶𝑅 → 𝑔 Fn 𝑉)
30		eqfnfv 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑉 ∧ 𝑔 Fn 𝑉) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
31	28, 29, 30	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑔:𝑉⟶𝑅) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
32	10, 17, 31	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
33	32	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
34	23, 27, 33	3imtr4d 293	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
35	34	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
36		dff13 7202	. 2 ⊢ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
37	7, 35, 36	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3910   ↾ cres 5635   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  –1-1→wf1 6493  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765   ↑_pm cpm 8766  ⟨“cs1 14483  mVRcmvar 34055  mRExcmrex 34060  mRSubstcmrsub 34064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-frmd 18659  df-mrex 34080  df-mrsub 34084

This theorem is referenced by:  mrsubff1o  34109  msubff1  34150