Theorem mrsubff1 33376

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubff1	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff1

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrsubvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		mrsubvr.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
4	1, 2, 3	mrsubff 33374	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
5		mapsspm 8622	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↑m 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑅 ↑m 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉))
7	4, 6	fssresd 6625	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
8		fveq1 6755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩))
9		simplrl 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
10		elmapi 8595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
12		ssidd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑉 ⊆ 𝑉)
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3	mrsubvr 33373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
16		simplrr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
17		elmapi 8595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
19	1, 2, 3	mrsubvr 33373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
20	18, 12, 13, 19	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
21	15, 20	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) ↔ (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
22	8, 21	syl5ib 243	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
23	22	ralrimdva 3112	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
24		fvres 6775	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = (𝑆‘𝑓))
25		fvres 6775	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
26	24, 25	eqeqan12d 2752	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
27	26	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
28		ffn 6584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑉⟶𝑅 → 𝑓 Fn 𝑉)
29		ffn 6584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:𝑉⟶𝑅 → 𝑔 Fn 𝑉)
30		eqfnfv 6891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑉 ∧ 𝑔 Fn 𝑉) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
31	28, 29, 30	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑔:𝑉⟶𝑅) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
32	10, 17, 31	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
33	32	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
34	23, 27, 33	3imtr4d 293	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
35	34	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
36		dff13 7109	. 2 ⊢ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
37	7, 35, 36	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883   ↾ cres 5582   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573   ↑_pm cpm 8574  ⟨“cs1 14228  mVRcmvar 33323  mRExcmrex 33328  mRSubstcmrsub 33332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-frmd 18403  df-mrex 33348  df-mrsub 33352

This theorem is referenced by:  mrsubff1o  33377  msubff1  33418