Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubff1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mrsubff1 35033
Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubvr.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubff1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1β†’(𝑅 ↑m 𝑅))
Proof of Theorem mrsubff1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . 4 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
2 mrsubvr.r . . . 4 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
3 mrsubvr.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
41, 2, 3mrsubff 35031 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
5 mapsspm 8872 . . . 4 (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉))
74, 6fssresd 6752 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
8 fveq1 6884 . . . . . 6 ((π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
9 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
10 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
12 ssidd 4000 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 βŠ† 𝑉)
13 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
141, 2, 3mrsubvr 35030 . . . . . . . 8 ((𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘“β€˜π‘£))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘“β€˜π‘£))
16 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
17 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑔:π‘‰βŸΆπ‘…)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑔:π‘‰βŸΆπ‘…)
191, 2, 3mrsubvr 35030 . . . . . . . 8 ((𝑔:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘”β€˜π‘£))
2018, 12, 13, 19syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘”β€˜π‘£))
2115, 20eqeq12d 2742 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ↔ (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
228, 21imbitrid 243 . . . . 5 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”) β†’ (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
2322ralrimdva 3148 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
24 fvres 6904 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘“))
25 fvres 6904 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) = (π‘†β€˜π‘”))
2624, 25eqeqan12d 2740 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) ↔ (π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”)))
2726adantl 481 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) ↔ (π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”)))
28 ffn 6711 . . . . . . 7 (𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ 𝑓 Fn 𝑉)
29 ffn 6711 . . . . . . 7 (𝑔:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ 𝑔 Fn 𝑉)
30 eqfnfv 7026 . . . . . . 7 ((𝑓 Fn 𝑉 ∧ 𝑔 Fn 𝑉) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3128, 29, 30syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑔:π‘‰βŸΆπ‘…) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3210, 17, 31syl2an 595 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3332adantl 481 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3423, 27, 333imtr4d 294 . . 3 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) β†’ 𝑓 = 𝑔))
3534ralrimivva 3194 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)βˆ€π‘” ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) β†’ 𝑓 = 𝑔))
36 dff13 7250 . 2 ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1β†’(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)βˆ€π‘” ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) β†’ 𝑓 = 𝑔)))
377, 35, 36sylanbrc 582 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1β†’(𝑅 ↑m 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943   β†Ύ cres 5671   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“1-1β†’wf1 6534  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822   ↑pm cpm 8823  βŸ¨β€œcs1 14551  mVRcmvar 34980  mRExcmrex 34985  mRSubstcmrsub 34989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-frmd 18774  df-mrex 35005  df-mrsub 35009
This theorem is referenced by:  mrsubff1o  35034  msubff1  35075
  Copyright terms: Public domain W3C validator