Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubff1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubff1 34108
Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubff1 (𝑇𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1→(𝑅m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . 4 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2 mrsubvr.r . . . 4 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3 mrsubvr.s . . . 4 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
41, 2, 3mrsubff 34106 . . 3 (𝑇𝑊𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅))
5 mapsspm 8814 . . . 4 (𝑅m 𝑉) ⊆ (𝑅pm 𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝑇𝑊 → (𝑅m 𝑉) ⊆ (𝑅pm 𝑉))
74, 6fssresd 6709 . 2 (𝑇𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅))
8 fveq1 6841 . . . . . 6 ((𝑆𝑓) = (𝑆𝑔) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩))
9 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉))
10 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑓:𝑉𝑅)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑓:𝑉𝑅)
12 ssidd 3967 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑉𝑉)
13 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
141, 2, 3mrsubvr 34105 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑉𝑅𝑉𝑉𝑣𝑉) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓𝑣))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓𝑣))
16 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))
17 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑔:𝑉𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑔:𝑉𝑅)
191, 2, 3mrsubvr 34105 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝑉𝑅𝑉𝑉𝑣𝑉) → ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔𝑣))
2018, 12, 13, 19syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔𝑣))
2115, 20eqeq12d 2752 . . . . . 6 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) ↔ (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
228, 21imbitrid 243 . . . . 5 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑓) = (𝑆𝑔) → (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
2322ralrimdva 3151 . . . 4 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) → ((𝑆𝑓) = (𝑆𝑔) → ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
24 fvres 6861 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = (𝑆𝑓))
25 fvres 6861 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) = (𝑆𝑔))
2624, 25eqeqan12d 2750 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆𝑓) = (𝑆𝑔)))
2726adantl 482 . . . 4 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆𝑓) = (𝑆𝑔)))
28 ffn 6668 . . . . . . 7 (𝑓:𝑉𝑅𝑓 Fn 𝑉)
29 ffn 6668 . . . . . . 7 (𝑔:𝑉𝑅𝑔 Fn 𝑉)
30 eqfnfv 6982 . . . . . . 7 ((𝑓 Fn 𝑉𝑔 Fn 𝑉) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3128, 29, 30syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑓:𝑉𝑅𝑔:𝑉𝑅) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3210, 17, 31syl2an 596 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3332adantl 482 . . . 4 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3423, 27, 333imtr4d 293 . . 3 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
3534ralrimivva 3197 . 2 (𝑇𝑊 → ∀𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
36 dff13 7202 . 2 ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1→(𝑅m 𝑅) ↔ ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
377, 35, 36sylanbrc 583 1 (𝑇𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1→(𝑅m 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wss 3910  cres 5635   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  pm cpm 8766  ⟨“cs1 14483  mVRcmvar 34055  mRExcmrex 34060  mRSubstcmrsub 34064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-frmd 18659  df-mrex 34080  df-mrsub 34084
This theorem is referenced by:  mrsubff1o  34109  msubff1  34150
  Copyright terms: Public domain W3C validator