Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubff1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubff1 32818
 Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubff1 (𝑇𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1→(𝑅m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . 4 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2 mrsubvr.r . . . 4 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3 mrsubvr.s . . . 4 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
41, 2, 3mrsubff 32816 . . 3 (𝑇𝑊𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅))
5 mapsspm 8436 . . . 4 (𝑅m 𝑉) ⊆ (𝑅pm 𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝑇𝑊 → (𝑅m 𝑉) ⊆ (𝑅pm 𝑉))
74, 6fssresd 6535 . 2 (𝑇𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅))
8 fveq1 6660 . . . . . 6 ((𝑆𝑓) = (𝑆𝑔) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩))
9 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉))
10 elmapi 8424 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑓:𝑉𝑅)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑓:𝑉𝑅)
12 ssidd 3976 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑉𝑉)
13 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
141, 2, 3mrsubvr 32815 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑉𝑅𝑉𝑉𝑣𝑉) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓𝑣))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓𝑣))
16 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))
17 elmapi 8424 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑔:𝑉𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑔:𝑉𝑅)
191, 2, 3mrsubvr 32815 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝑉𝑅𝑉𝑉𝑣𝑉) → ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔𝑣))
2018, 12, 13, 19syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔𝑣))
2115, 20eqeq12d 2840 . . . . . 6 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) ↔ (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
228, 21syl5ib 247 . . . . 5 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑓) = (𝑆𝑔) → (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
2322ralrimdva 3184 . . . 4 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) → ((𝑆𝑓) = (𝑆𝑔) → ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
24 fvres 6680 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = (𝑆𝑓))
25 fvres 6680 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) = (𝑆𝑔))
2624, 25eqeqan12d 2841 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆𝑓) = (𝑆𝑔)))
2726adantl 485 . . . 4 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆𝑓) = (𝑆𝑔)))
28 ffn 6503 . . . . . . 7 (𝑓:𝑉𝑅𝑓 Fn 𝑉)
29 ffn 6503 . . . . . . 7 (𝑔:𝑉𝑅𝑔 Fn 𝑉)
30 eqfnfv 6793 . . . . . . 7 ((𝑓 Fn 𝑉𝑔 Fn 𝑉) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3128, 29, 30syl2an 598 . . . . . 6 ((𝑓:𝑉𝑅𝑔:𝑉𝑅) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3210, 17, 31syl2an 598 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3332adantl 485 . . . 4 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3423, 27, 333imtr4d 297 . . 3 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
3534ralrimivva 3186 . 2 (𝑇𝑊 → ∀𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
36 dff13 7005 . 2 ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1→(𝑅m 𝑅) ↔ ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
377, 35, 36sylanbrc 586 1 (𝑇𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1→(𝑅m 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ⊆ wss 3919   ↾ cres 5544   Fn wfn 6338  ⟶wf 6339  –1-1→wf1 6340  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ↑m cmap 8402   ↑pm cpm 8403  ⟨“cs1 13949  mVRcmvar 32765  mRExcmrex 32770  mRSubstcmrsub 32774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-frmd 18014  df-mrex 32790  df-mrsub 32794 This theorem is referenced by:  mrsubff1o  32819  msubff1  32860
 Copyright terms: Public domain W3C validator