Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubff1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubff1 31957
 Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubff1 (𝑇𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1→(𝑅𝑚 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . 4 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2 mrsubvr.r . . . 4 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3 mrsubvr.s . . . 4 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
41, 2, 3mrsubff 31955 . . 3 (𝑇𝑊𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅𝑚 𝑅))
5 mapsspm 8156 . . . 4 (𝑅𝑚 𝑉) ⊆ (𝑅pm 𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝑇𝑊 → (𝑅𝑚 𝑉) ⊆ (𝑅pm 𝑉))
74, 6fssresd 6308 . 2 (𝑇𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)⟶(𝑅𝑚 𝑅))
8 fveq1 6432 . . . . . 6 ((𝑆𝑓) = (𝑆𝑔) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩))
9 simplrl 797 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))
10 elmapi 8144 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑓:𝑉𝑅)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑓:𝑉𝑅)
12 ssidd 3849 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑉𝑉)
13 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
141, 2, 3mrsubvr 31954 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑉𝑅𝑉𝑉𝑣𝑉) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓𝑣))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1496 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓𝑣))
16 simplrr 798 . . . . . . . . 9 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))
17 elmapi 8144 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑔:𝑉𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑔:𝑉𝑅)
191, 2, 3mrsubvr 31954 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝑉𝑅𝑉𝑉𝑣𝑉) → ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔𝑣))
2018, 12, 13, 19syl3anc 1496 . . . . . . 7 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔𝑣))
2115, 20eqeq12d 2840 . . . . . 6 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑆𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) ↔ (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
228, 21syl5ib 236 . . . . 5 (((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑆𝑓) = (𝑆𝑔) → (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
2322ralrimdva 3178 . . . 4 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → ((𝑆𝑓) = (𝑆𝑔) → ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
24 fvres 6452 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑓) = (𝑆𝑓))
25 fvres 6452 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑔) = (𝑆𝑔))
2624, 25eqeqan12d 2841 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆𝑓) = (𝑆𝑔)))
2726adantl 475 . . . 4 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆𝑓) = (𝑆𝑔)))
28 ffn 6278 . . . . . . 7 (𝑓:𝑉𝑅𝑓 Fn 𝑉)
29 ffn 6278 . . . . . . 7 (𝑔:𝑉𝑅𝑔 Fn 𝑉)
30 eqfnfv 6560 . . . . . . 7 ((𝑓 Fn 𝑉𝑔 Fn 𝑉) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3128, 29, 30syl2an 591 . . . . . 6 ((𝑓:𝑉𝑅𝑔:𝑉𝑅) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3210, 17, 31syl2an 591 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3332adantl 475 . . . 4 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣𝑉 (𝑓𝑣) = (𝑔𝑣)))
3423, 27, 333imtr4d 286 . . 3 ((𝑇𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
3534ralrimivva 3180 . 2 (𝑇𝑊 → ∀𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
36 dff13 6767 . 2 ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1→(𝑅𝑚 𝑅) ↔ ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)⟶(𝑅𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
377, 35, 36sylanbrc 580 1 (𝑇𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1→(𝑅𝑚 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117   ⊆ wss 3798   ↾ cres 5344   Fn wfn 6118  ⟶wf 6119  –1-1→wf1 6120  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↑𝑚 cmap 8122   ↑pm cpm 8123  ⟨“cs1 13655  mVRcmvar 31904  mRExcmrex 31909  mRSubstcmrsub 31913 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-s1 13656  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-frmd 17740  df-mrex 31929  df-mrsub 31933 This theorem is referenced by:  mrsubff1o  31958  msubff1  31999
 Copyright terms: Public domain W3C validator