Theorem mrsubff1 36397

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubff1	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff1

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrsubvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		mrsubvr.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
4	1, 2, 3	mrsubff 36395	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
5		mapsspm 8912	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↑m 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑅 ↑m 𝑉) ⊆ (𝑅 ↑pm 𝑉))
7	4, 6	fssresd 6754	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
8		fveq1 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩))
9		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
10		elmapi 8877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
12		ssidd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑉 ⊆ 𝑉)
13		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3	mrsubvr 36394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑓‘𝑣))
16		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
17		elmapi 8877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑔:𝑉⟶𝑅)
19	1, 2, 3	mrsubvr 36394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
20	18, 12, 13, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) = (𝑔‘𝑣))
21	15, 20	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑣”⟩) = ((𝑆‘𝑔)‘⟨“𝑣”⟩) ↔ (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
22	8, 21	imbitrid 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
23	22	ralrimdva 3162	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → ((𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
24		fvres 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = (𝑆‘𝑓))
25		fvres 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
26	24, 25	eqeqan12d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
27	26	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) ↔ (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝑔)))
28		ffn 6714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝑉⟶𝑅 → 𝑓 Fn 𝑉)
29		ffn 6714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:𝑉⟶𝑅 → 𝑔 Fn 𝑉)
30		eqfnfv 7034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑉 ∧ 𝑔 Fn 𝑉) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
31	28, 29, 30	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑔:𝑉⟶𝑅) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
32	10, 17, 31	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
33	32	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝑓‘𝑣) = (𝑔‘𝑣)))
34	23, 27, 33	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) → (((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
35	34	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
36		dff13 7262	. 2 ⊢ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)∀𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑓) = ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
37	7, 35, 36	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→(𝑅 ↑m 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896   ↾ cres 5653   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855   ↑_pm cpm 8856  ⟨“cs1 14749  mVRcmvar 36344  mRExcmrex 36349  mRSubstcmrsub 36353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-frmd 19054  df-mrex 36369  df-mrsub 36373

This theorem is used by:  mrsubff1o  36398  msubff1  36439