Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubff1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mrsubff1 34574
Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubvr.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubff1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1β†’(𝑅 ↑m 𝑅))
Proof of Theorem mrsubff1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . 4 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
2 mrsubvr.r . . . 4 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
3 mrsubvr.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
41, 2, 3mrsubff 34572 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
5 mapsspm 8872 . . . 4 (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉))
74, 6fssresd 6758 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
8 fveq1 6890 . . . . . 6 ((π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
9 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
10 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
12 ssidd 4005 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 βŠ† 𝑉)
13 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
141, 2, 3mrsubvr 34571 . . . . . . . 8 ((𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘“β€˜π‘£))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘“β€˜π‘£))
16 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
17 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑔:π‘‰βŸΆπ‘…)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑔:π‘‰βŸΆπ‘…)
191, 2, 3mrsubvr 34571 . . . . . . . 8 ((𝑔:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘”β€˜π‘£))
2018, 12, 13, 19syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = (π‘”β€˜π‘£))
2115, 20eqeq12d 2748 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = ((π‘†β€˜π‘”)β€˜βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ↔ (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
228, 21imbitrid 243 . . . . 5 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”) β†’ (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
2322ralrimdva 3154 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
24 fvres 6910 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘“))
25 fvres 6910 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) = (π‘†β€˜π‘”))
2624, 25eqeqan12d 2746 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) ↔ (π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”)))
2726adantl 482 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) ↔ (π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜π‘”)))
28 ffn 6717 . . . . . . 7 (𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ 𝑓 Fn 𝑉)
29 ffn 6717 . . . . . . 7 (𝑔:π‘‰βŸΆπ‘… β†’ 𝑔 Fn 𝑉)
30 eqfnfv 7032 . . . . . . 7 ((𝑓 Fn 𝑉 ∧ 𝑔 Fn 𝑉) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3128, 29, 30syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑔:π‘‰βŸΆπ‘…) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3210, 17, 31syl2an 596 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3332adantl 482 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (𝑓 = 𝑔 ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘“β€˜π‘£) = (π‘”β€˜π‘£)))
3423, 27, 333imtr4d 293 . . 3 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ (((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) β†’ 𝑓 = 𝑔))
3534ralrimivva 3200 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)βˆ€π‘” ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) β†’ 𝑓 = 𝑔))
36 dff13 7256 . 2 ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1β†’(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)βˆ€π‘” ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘“) = ((𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉))β€˜π‘”) β†’ 𝑓 = 𝑔)))
377, 35, 36sylanbrc 583 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆 β†Ύ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1β†’(𝑅 ↑m 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   ↑pm cpm 8823  βŸ¨β€œcs1 14547  mVRcmvar 34521  mRExcmrex 34526  mRSubstcmrsub 34530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-frmd 18732  df-mrex 34546  df-mrsub 34550
This theorem is referenced by:  mrsubff1o  34575  msubff1  34616
  Copyright terms: Public domain W3C validator