Theorem mins1 27753

Description: The minimum of two surreals is less than or equal to the first. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mins1	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)

Proof of Theorem mins1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4460	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3		lesid 27749	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)
4	3	ad2antrr 732	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐴)
5	2, 4	eqbrtrd 5094	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)
6		iffalse 4463	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
8		lestric 27750	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
9	8	orcanai 1010	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s 𝐴)
10	7, 9	eqbrtrd 5094	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)
11	5, 10	pm2.61dan 818	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4454   class class class wbr 5072   No csur 27621   ≤s cles 27726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27624  df-lts 27625  df-les 27727

This theorem is referenced by: (None)