Theorem mins1 27835

Description: The minimum of two surreals is less than or equal to the first. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mins1	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)

Proof of Theorem mins1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4486	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3		lesid 27831	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)
4	3	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐴)
5	2, 4	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)
6		iffalse 4489	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
7	6	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
8		lestric 27832	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
9	8	orcanai 1016	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s 𝐴)
10	7, 9	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)
11	5, 10	pm2.61dan 822	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ifcif 4480   class class class wbr 5100   No csur 27704   ≤s cles 27808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-1o 8437  df-2o 8438  df-no 27707  df-lts 27708  df-les 27809

This theorem is referenced by: (None)