Theorem mins1 27677

Description: The minimum of two surreals is less than or equal to the first. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mins1	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)

Proof of Theorem mins1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3		slerflex 27673	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)
4	3	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐴)
5	2, 4	eqbrtrd 5114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)
6		iffalse 4485	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
8		sletric 27674	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
9	8	orcanai 1004	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐵 ≤s 𝐴)
10	7, 9	eqbrtrd 5114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)
11	5, 10	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4476   class class class wbr 5092   No csur 27549   ≤s csle 27654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-1o 8388  df-2o 8389  df-no 27552  df-slt 27553  df-sle 27655

This theorem is referenced by: (None)