Theorem meadjunre 46474

Description: The measure of the union of two disjoint sets, with finite measure, is the sum of the measures, Property 112C (a) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meadjunre.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meadjunre.x	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meadjunre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
meadjunre.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
meadjunre.d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
meadjunre.r	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
meadjunre.f	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
meadjunre	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑀‘𝐵)))

Proof of Theorem meadjunre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meadjunre.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meadjunre.x	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
3		meadjunre.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		meadjunre.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		meadjunre.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	meadjun 46460	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)))
7		meadjunre.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ ℝ)
8		meadjunre.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ ℝ)
9	7, 8	rexaddd 13194	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) +𝑒 (𝑀‘𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑀‘𝐵)))
10	6, 9	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘𝐴) + (𝑀‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   + caddc 11071   +_𝑒 cxad 13070  Meascmea 46447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-sumge0 46361  df-mea 46448

This theorem is referenced by:  meadif  46477  meaiininclem  46484