Theorem volmea 46925

Description: The Lebesgue measure on the Reals is actually a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
volmea	⊢ (𝜑 → vol ∈ Meas)

Proof of Theorem volmea

Dummy variables 𝑒 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmvolsal 46797	. . 3 ⊢ dom vol ∈ SAlg
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
3		volf 25515	. . 3 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
5		vol0 46410	. . 3 ⊢ (vol‘∅) = 0
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol‘∅) = 0)
7		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝜑)
8		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
9		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑒‘𝑚) = (𝑒‘𝑛))
10	9	cbvdisjv 5051	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚) ↔ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
11	10	biimpri 229	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
12	11	3ad2ant3 1141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
13		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
14	10	biimpi 217	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
15	14	3ad2ant3 1141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
16	13, 15	voliunsge0 46924	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒‘𝑛)))))
17	7, 8, 12, 16	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒‘𝑛)))))
18	2, 4, 6, 17	ismeannd 46918	1 ⊢ (𝜑 → vol ∈ Meas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4262  ∪ ciun 4922  Disj wdisj 5040   ↦ cmpt 5154  dom cdm 5619  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030  +∞cpnf 11168  ℕcn 12166  [,]cicc 13293  volcvol 25449  SAlgcsalg 46759  Σ^{^}csumge0 46813  Meascmea 46900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-disj 5041  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xadd 13056  df-ioo 13294  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641  df-xmet 21341  df-met 21342  df-ovol 25450  df-vol 25451  df-salg 46760  df-sumge0 46814  df-mea 46901

This theorem is referenced by: (None)