Theorem volmea 46660

Description: The Lebesgue measure on the Reals is actually a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
volmea	⊢ (𝜑 → vol ∈ Meas)

Proof of Theorem volmea

Dummy variables 𝑒 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmvolsal 46532	. . 3 ⊢ dom vol ∈ SAlg
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
3		volf 25484	. . 3 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
5		vol0 46145	. . 3 ⊢ (vol‘∅) = 0
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol‘∅) = 0)
7		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝜑)
8		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
9		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑒‘𝑚) = (𝑒‘𝑛))
10	9	cbvdisjv 5074	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚) ↔ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
11	10	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
12	11	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚))
13		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
14	10	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
15	14	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
16	13, 15	voliunsge0 46659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒‘𝑚)) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒‘𝑛)))))
17	7, 8, 12, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) → (vol‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒‘𝑛)))))
18	2, 4, 6, 17	ismeannd 46653	1 ⊢ (𝜑 → vol ∈ Meas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283  ∪ ciun 4944  Disj wdisj 5063   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  +∞cpnf 11161  ℕcn 12143  [,]cicc 13262  volcvol 25418  SAlgcsalg 46494  Σ^{^}csumge0 46548  Meascmea 46635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cc 10343  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xadd 13025  df-ioo 13263  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-xmet 21300  df-met 21301  df-ovol 25419  df-vol 25420  df-salg 46495  df-sumge0 46549  df-mea 46636

This theorem is referenced by: (None)