Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volmea 46095
Description: The Lebesgue measure on the Reals is actually a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
volmea (𝜑 → vol ∈ Meas)

Proof of Theorem volmea
Dummy variables 𝑒 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmvolsal 45967 . . 3 dom vol ∈ SAlg
21a1i 11 . 2 (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
3 volf 25549 . . 3 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
43a1i 11 . 2 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
5 vol0 45580 . . 3 (vol‘∅) = 0
65a1i 11 . 2 (𝜑 → (vol‘∅) = 0)
7 simp1 1133 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
8 simp2 1134 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
9 fveq2 6901 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑒𝑚) = (𝑒𝑛))
109cbvdisjv 5129 . . . . 5 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) ↔ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1110biimpri 227 . . . 4 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
13 simp2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
1410biimpi 215 . . . . 5 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
15143ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1613, 15voliunsge0 46094 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒𝑛)))))
177, 8, 12, 16syl3anc 1368 . 2 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒𝑛)))))
182, 4, 6, 17ismeannd 46088 1 (𝜑 → vol ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  c0 4325   ciun 5001  Disj wdisj 5118  cmpt 5236  dom cdm 5682  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  cn 12264  [,]cicc 13381  volcvol 25483  SAlgcsalg 45929  Σ^csumge0 45983  Meascmea 46070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xadd 13147  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-xmet 21336  df-met 21337  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-salg 45930  df-sumge0 45984  df-mea 46071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator