Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volmea 41482
 Description: The Lebeasgue measure on the Reals is actually a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
volmea (𝜑 → vol ∈ Meas)

Proof of Theorem volmea
Dummy variables 𝑒 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmvolsal 41355 . . 3 dom vol ∈ SAlg
21a1i 11 . 2 (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
3 volf 23695 . . 3 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
43a1i 11 . 2 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
5 vol0 40969 . . 3 (vol‘∅) = 0
65a1i 11 . 2 (𝜑 → (vol‘∅) = 0)
7 simp1 1172 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
8 simp2 1173 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
9 fveq2 6433 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑒𝑚) = (𝑒𝑛))
109cbvdisjv 4852 . . . . 5 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) ↔ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1110biimpri 220 . . . 4 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
12113ad2ant3 1171 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
13 simp2 1173 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
1410biimpi 208 . . . . 5 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
15143ad2ant3 1171 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1613, 15voliunsge0 41481 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒𝑛)))))
177, 8, 12, 16syl3anc 1496 . 2 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒𝑛)))))
182, 4, 6, 17ismeannd 41475 1 (𝜑 → vol ∈ Meas)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∅c0 4144  ∪ ciun 4740  Disj wdisj 4841   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  +∞cpnf 10388  ℕcn 11350  [,]cicc 12466  volcvol 23629  SAlgcsalg 41319  Σ^csumge0 41370  Meascmea 41457 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cc 9572  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xadd 12233  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-xmet 20099  df-met 20100  df-ovol 23630  df-vol 23631  df-salg 41320  df-sumge0 41371  df-mea 41458 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator