Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volmea 43702
Description: The Lebeasgue measure on the Reals is actually a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
volmea (𝜑 → vol ∈ Meas)

Proof of Theorem volmea
Dummy variables 𝑒 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmvolsal 43575 . . 3 dom vol ∈ SAlg
21a1i 11 . 2 (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
3 volf 24439 . . 3 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
43a1i 11 . 2 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
5 vol0 43190 . . 3 (vol‘∅) = 0
65a1i 11 . 2 (𝜑 → (vol‘∅) = 0)
7 simp1 1138 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
8 simp2 1139 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
9 fveq2 6726 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑒𝑚) = (𝑒𝑛))
109cbvdisjv 5038 . . . . 5 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) ↔ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1110biimpri 231 . . . 4 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
12113ad2ant3 1137 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
13 simp2 1139 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
1410biimpi 219 . . . . 5 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
15143ad2ant3 1137 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1613, 15voliunsge0 43701 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒𝑛)))))
177, 8, 12, 16syl3anc 1373 . 2 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒𝑛)))))
182, 4, 6, 17ismeannd 43695 1 (𝜑 → vol ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  c0 4246   ciun 4913  Disj wdisj 5027  cmpt 5144  dom cdm 5560  wf 6385  cfv 6389  (class class class)co 7222  0cc0 10742  +∞cpnf 10877  cn 11843  [,]cicc 12951  volcvol 24373  SAlgcsalg 43539  Σ^csumge0 43590  Meascmea 43677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5188  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-inf2 9269  ax-cc 10062  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818  ax-pre-mulgt0 10819  ax-pre-sup 10820
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-int 4869  df-iun 4915  df-disj 5028  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-se 5519  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-isom 6398  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-of 7478  df-om 7654  df-1st 7770  df-2nd 7771  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-1o 8211  df-2o 8212  df-er 8400  df-map 8519  df-pm 8520  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-fin 8639  df-sup 9071  df-inf 9072  df-oi 9139  df-dju 9530  df-card 9568  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-sub 11077  df-neg 11078  df-div 11503  df-nn 11844  df-2 11906  df-3 11907  df-n0 12104  df-z 12190  df-uz 12452  df-q 12558  df-rp 12600  df-xadd 12718  df-ioo 12952  df-ico 12954  df-icc 12955  df-fz 13109  df-fzo 13252  df-fl 13380  df-seq 13588  df-exp 13649  df-hash 13910  df-cj 14675  df-re 14676  df-im 14677  df-sqrt 14811  df-abs 14812  df-clim 15062  df-rlim 15063  df-sum 15263  df-xmet 20369  df-met 20370  df-ovol 24374  df-vol 24375  df-salg 43540  df-sumge0 43591  df-mea 43678
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator