Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volmea 45736
Description: The Lebesgue measure on the Reals is actually a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
volmea (𝜑 → vol ∈ Meas)

Proof of Theorem volmea
Dummy variables 𝑒 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmvolsal 45608 . . 3 dom vol ∈ SAlg
21a1i 11 . 2 (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
3 volf 25402 . . 3 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
43a1i 11 . 2 (𝜑 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
5 vol0 45221 . . 3 (vol‘∅) = 0
65a1i 11 . 2 (𝜑 → (vol‘∅) = 0)
7 simp1 1133 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
8 simp2 1134 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
9 fveq2 6882 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑒𝑚) = (𝑒𝑛))
109cbvdisjv 5115 . . . . 5 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) ↔ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1110biimpri 227 . . . 4 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
13 simp2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶dom vol)
1410biimpi 215 . . . . 5 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
15143ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1613, 15voliunsge0 45735 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒𝑛)))))
177, 8, 12, 16syl3anc 1368 . 2 ((𝜑𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (vol‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝑒𝑛)))))
182, 4, 6, 17ismeannd 45729 1 (𝜑 → vol ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4315   ciun 4988  Disj wdisj 5104  cmpt 5222  dom cdm 5667  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  +∞cpnf 11244  cn 12211  [,]cicc 13328  volcvol 25336  SAlgcsalg 45570  Σ^csumge0 45624  Meascmea 45711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xadd 13094  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-xmet 21227  df-met 21228  df-ovol 25337  df-vol 25338  df-salg 45571  df-sumge0 45625  df-mea 45712
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator