Theorem metdcn2 25160

Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdcn2.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
metdcn2	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem metdcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 24654	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmetdcn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
4	2, 3	xmetdcn 25159	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )))
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )))
6		letopon 23524	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7		metf 24650	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8	7	frnd 6719	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ran 𝐷 ⊆ ℝ)
9		ressxr 11354	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ℝ ⊆ ℝ*)
11		cnrest2 23605	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐷 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))))
12	6, 8, 10, 11	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))))
13	5, 12	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)))
14		metdcn2.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
15		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
16	15	xrtgioo 25127	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
17	14, 16	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
18	17	oveq2i 7432	. 2 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
19	13, 18	eleqtrrdi 2872	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3914   × cxp 5649  ran crn 5652  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11200  ℝ^*cxr 11343   ≤ cle 11345  (,)cioo 13477   ↾_t crest 17592  topGenctg 17609  ordTopcordt 17672  ∞Metcxmet 21664  Metcmet 21665  MetOpencmopn 21669  TopOnctopon 23229   Cn ccn 23543   ×_t ctx 23880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-ordt 17674  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-ps 18741  df-tsr 18742  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-xms 24640  df-tms 24642

This theorem is used by:  metdcn  25161  msdcn  25162