Theorem metdcn2 23140

Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdcn2.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
metdcn2	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem metdcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 22637	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmetdcn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
4	2, 3	xmetdcn 23139	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )))
6		letopon 21507	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7		metf 22633	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8	7	frnd 6345	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ran 𝐷 ⊆ ℝ)
9		ressxr 10476	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ℝ ⊆ ℝ*)
11		cnrest2 21588	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐷 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))))
12	6, 8, 10, 11	mp3an2i 1445	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))))
13	5, 12	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)))
14		metdcn2.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
15		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
16	15	xrtgioo 23107	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
17	14, 16	eqtri 2796	. . 3 ⊢ 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
18	17	oveq2i 6981	. 2 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
19	13, 18	syl6eleqr 2871	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ⊆ wss 3825   × cxp 5398  ran crn 5401  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℝcr 10326  ℝ^*cxr 10465   ≤ cle 10467  (,)cioo 12547   ↾_t crest 16540  topGenctg 16557  ordTopcordt 16618  ∞Metcxmet 20222  Metcmet 20223  MetOpencmopn 20227  TopOnctopon 21212   Cn ccn 21526   ×_t ctx 21862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-ec 8083  df-map 8200  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-ordt 16620  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-ps 17658  df-tsr 17659  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-xms 22623  df-tms 22625

This theorem is referenced by:  metdcn  23141  msdcn  23142