Theorem metdcn2 24815

Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdcn2.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
metdcn2	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem metdcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 24309	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmetdcn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
4	2, 3	xmetdcn 24814	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )))
6		letopon 23180	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7		metf 24305	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8	7	frnd 6670	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ran 𝐷 ⊆ ℝ)
9		ressxr 11180	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ℝ ⊆ ℝ*)
11		cnrest2 23261	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐷 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))))
12	6, 8, 10, 11	mp3an2i 1469	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))))
13	5, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)))
14		metdcn2.2	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
16	15	xrtgioo 24782	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
17	14, 16	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
18	17	oveq2i 7371	. 2 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
19	13, 18	eleqtrrdi 2848	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   × cxp 5622  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  (,)cioo 13289   ↾_t crest 17374  topGenctg 17391  ordTopcordt 17454  ∞Metcxmet 21329  Metcmet 21330  MetOpencmopn 21334  TopOnctopon 22885   Cn ccn 23199   ×_t ctx 23535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-ec 8638  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-xms 24295  df-tms 24297

This theorem is referenced by:  metdcn  24816  msdcn  24817