Theorem cnrrext 33970

Description: The field of the complex numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnrrext	⊢ ℂfld ∈ ℝExt

Proof of Theorem cnrrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24737	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		cndrng 21373	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	1, 2	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing)
4		cnzh 33928	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
5		df-refld 21577	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	fveq2i 6889	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = (chr‘(ℂfld ↾s ℝ))
7		reofld 33307	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ oField
8		ofldchr 33284	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = 0
10		resubdrg 21580	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
11	10	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12		subrgchr 33180	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld)
14	6, 9, 13	3eqtr3ri 2766	. . 3 ⊢ (chr‘ℂfld) = 0
15	4, 14	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0)
16		cnfldcusp 25327	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CUnifSp
17		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
18	17	cnflduss 25326	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
19	16, 18	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))
20		cnfldbas 21330	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
21		cnmet 24728	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
22		metf 24285	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
23		ffn 6716	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
25		fnresdm 6667	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
27		cnfldds 21338	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
28	27	reseq1i 5973	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
29	26, 28	eqtr3i 2759	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
30		eqid 2734	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
31	20, 29, 30	isrrext 33960	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ ℝExt ↔ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0) ∧ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))))
32	3, 15, 19, 31	mpbir3an 1341	1 ⊢ ℂfld ∈ ℝExt

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   × cxp 5663   ↾ cres 5667   ∘ ccom 5669   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136  0cc0 11137   − cmin 11474  abscabs 15255   ↾_s cress 17252  distcds 17282  SubRingcsubrg 20537  DivRingcdr 20697  Metcmet 21312  metUnifcmetu 21317  ℂ_fldccnfld 21326  ℤModczlm 21473  chrcchr 21474  ℝ_fldcrefld 21576  UnifStcuss 24208  CUnifSpccusp 24251  NrmRingcnrg 24536  NrmModcnlm 24537  oFieldcofld 33266   ℝExt crrext 33954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216  ax-mulf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-hom 17297  df-cco 17298  df-rest 17438  df-topn 17439  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-topgen 17459  df-pt 17460  df-prds 17463  df-xrs 17518  df-qtop 17523  df-imas 17524  df-xps 17526  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-proset 18310  df-poset 18329  df-plt 18344  df-toset 18431  df-ps 18580  df-tsr 18581  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-mulg 19055  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-od 19514  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-drng 20699  df-field 20700  df-abv 20778  df-lmod 20828  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-metu 21325  df-cnfld 21327  df-zring 21420  df-zlm 21477  df-chr 21478  df-refld 21577  df-top 22848  df-topon 22865  df-topsp 22887  df-bases 22900  df-cld 22973  df-ntr 22974  df-cls 22975  df-nei 23052  df-cn 23181  df-cnp 23182  df-haus 23269  df-cmp 23341  df-tx 23516  df-hmeo 23709  df-fil 23800  df-flim 23893  df-fcls 23895  df-ust 24155  df-utop 24186  df-uss 24211  df-usp 24212  df-cfilu 24241  df-cusp 24252  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-nm 24539  df-ngp 24540  df-nrg 24542  df-nlm 24543  df-cncf 24840  df-cfil 25225  df-cmet 25227  df-cms 25305  df-omnd 33015  df-ogrp 33016  df-orng 33267  df-ofld 33268  df-rrext 33959

This theorem is referenced by:  sitgclcn  34305