Theorem cnrrext 33616

Description: The field of the complex numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnrrext	⊢ ℂfld ∈ ℝExt

Proof of Theorem cnrrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24715	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		cndrng 21331	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	1, 2	pm3.2i 469	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing)
4		cnzh 33576	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
5		df-refld 21542	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	fveq2i 6903	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = (chr‘(ℂfld ↾s ℝ))
7		reofld 33074	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ oField
8		ofldchr 33047	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = 0
10		resubdrg 21545	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
11	10	simpli 482	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12		subrgchr 32963	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld)
14	6, 9, 13	3eqtr3ri 2764	. . 3 ⊢ (chr‘ℂfld) = 0
15	4, 14	pm3.2i 469	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0)
16		cnfldcusp 25303	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CUnifSp
17		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
18	17	cnflduss 25302	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
19	16, 18	pm3.2i 469	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))
20		cnfldbas 21288	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
21		cnmet 24706	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
22		metf 24254	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
23		ffn 6725	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
25		fnresdm 6677	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
27		cnfldds 21296	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
28	27	reseq1i 5983	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
29	26, 28	eqtr3i 2757	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
30		eqid 2727	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
31	20, 29, 30	isrrext 33606	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ ℝExt ↔ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0) ∧ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))))
32	3, 15, 19, 31	mpbir3an 1338	1 ⊢ ℂfld ∈ ℝExt

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   × cxp 5678   ↾ cres 5682   ∘ ccom 5684   Fn wfn 6546  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  ℝcr 11143  0cc0 11144   − cmin 11480  abscabs 15219   ↾_s cress 17214  distcds 17247  SubRingcsubrg 20511  DivRingcdr 20629  Metcmet 21270  metUnifcmetu 21275  ℂ_fldccnfld 21284  ℤModczlm 21431  chrcchr 21432  ℝ_fldcrefld 21541  UnifStcuss 24176  CUnifSpccusp 24220  NrmRingcnrg 24506  NrmModcnlm 24507  oFieldcofld 33029   ℝExt crrext 33600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-toset 18414  df-ps 18563  df-tsr 18564  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-cntz 19273  df-od 19488  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-field 20632  df-abv 20702  df-lmod 20750  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-metu 21283  df-cnfld 21285  df-zring 21378  df-zlm 21435  df-chr 21436  df-refld 21542  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-flim 23861  df-fcls 23863  df-ust 24123  df-utop 24154  df-uss 24179  df-usp 24180  df-cfilu 24210  df-cusp 24221  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-nrg 24512  df-nlm 24513  df-cncf 24816  df-cfil 25201  df-cmet 25203  df-cms 25281  df-omnd 32797  df-ogrp 32798  df-orng 33030  df-ofld 33031  df-rrext 33605

This theorem is referenced by:  sitgclcn  33969