Theorem cnrrext 34251

Description: The field of the complex numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnrrext	⊢ ℂfld ∈ ℝExt

Proof of Theorem cnrrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24809	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		cndrng 21422	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	1, 2	pm3.2i 473	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing)
4		cnzh 34209	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
5		df-refld 21626	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	fveq2i 6855	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = (chr‘(ℂfld ↾s ℝ))
7		reofld 33475	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ oField
8		ofldchr 21597	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = 0
10		resubdrg 21629	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
11	10	simpli 486	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12		subrgchr 33367	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld)
14	6, 9, 13	3eqtr3ri 2784	. . 3 ⊢ (chr‘ℂfld) = 0
15	4, 14	pm3.2i 473	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0)
16		cnfldcusp 25388	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CUnifSp
17		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
18	17	cnflduss 25387	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
19	16, 18	pm3.2i 473	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))
20		cnfldbas 21397	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
21		cnmet 24800	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
22		metf 24359	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
23		ffn 6676	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
25		fnresdm 6625	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
27		cnfldds 21405	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
28	27	reseq1i 5950	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
29	26, 28	eqtr3i 2777	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
30		eqid 2752	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
31	20, 29, 30	isrrext 34241	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ ℝExt ↔ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0) ∧ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))))
32	3, 15, 19, 31	mpbir3an 1351	1 ⊢ ℂfld ∈ ℝExt

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   × cxp 5634   ↾ cres 5638   ∘ ccom 5640   Fn wfn 6501  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058  0cc0 11059   − cmin 11400  abscabs 15233   ↾_s cress 17238  distcds 17267  SubRingcsubrg 20587  DivRingcdr 20747  oFieldcofld 20876  Metcmet 21379  metUnifcmetu 21384  ℂ_fldccnfld 21393  ℤModczlm 21521  chrcchr 21522  ℝ_fldcrefld 21625  UnifStcuss 24282  CUnifSpccusp 24325  NrmRingcnrg 24608  NrmModcnlm 24609   ℝExt crrext 34235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-ioo 13339  df-ico 13341  df-icc 13342  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17504  df-qtop 17509  df-imas 17510  df-xps 17512  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-proset 18298  df-poset 18317  df-plt 18332  df-toset 18419  df-ps 18570  df-tsr 18571  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-cntz 19329  df-od 19540  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-omnd 20133  df-ogrp 20134  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-drng 20749  df-field 20750  df-abv 20827  df-orng 20877  df-ofld 20878  df-lmod 20898  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-fbas 21390  df-fg 21391  df-metu 21392  df-cnfld 21394  df-zring 21468  df-zlm 21525  df-chr 21526  df-refld 21626  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22975  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-flim 23968  df-fcls 23970  df-ust 24230  df-utop 24260  df-uss 24285  df-usp 24286  df-cfilu 24315  df-cusp 24326  df-xms 24349  df-ms 24350  df-tms 24351  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-cncf 24909  df-cfil 25286  df-cmet 25288  df-cms 25366  df-rrext 34240

This theorem is referenced by:  sitgclcn  34585