Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnrrext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrrext 30927
Description: The field of the complex numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnrrext fld ∈ ℝExt

Proof of Theorem cnrrext
StepHypRef Expression
1 cnnrg 23107 . . 3 fld ∈ NrmRing
2 cndrng 20291 . . 3 fld ∈ DivRing
31, 2pm3.2i 463 . 2 (ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing)
4 cnzh 30887 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
5 df-refld 20466 . . . . 5 fld = (ℂflds ℝ)
65fveq2i 6507 . . . 4 (chr‘ℝfld) = (chr‘(ℂflds ℝ))
7 reofld 30624 . . . . 5 fld ∈ oField
8 ofldchr 30598 . . . . 5 (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (chr‘ℝfld) = 0
10 resubdrg 20469 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
1110simpli 476 . . . . 5 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12 subrgchr 30576 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (chr‘(ℂflds ℝ)) = (chr‘ℂfld))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 (chr‘(ℂflds ℝ)) = (chr‘ℂfld)
146, 9, 133eqtr3ri 2813 . . 3 (chr‘ℂfld) = 0
154, 14pm3.2i 463 . 2 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0)
16 cnfldcusp 23678 . . 3 fld ∈ CUnifSp
17 eqid 2780 . . . 4 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
1817cnflduss 23677 . . 3 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
1916, 18pm3.2i 463 . 2 (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))
20 cnfldbas 20266 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
21 cnmet 23098 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
22 metf 22658 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
23 ffn 6349 . . . . . 6 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
25 fnresdm 6304 . . . . 5 ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
27 cnfldds 20272 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
2827reseq1i 5696 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
2926, 28eqtr3i 2806 . . 3 (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
30 eqid 2780 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
3120, 29, 30isrrext 30917 . 2 (ℂfld ∈ ℝExt ↔ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0) ∧ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))))
323, 15, 19, 31mpbir3an 1322 1 fld ∈ ℝExt
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051   × cxp 5409  cres 5413  ccom 5415   Fn wfn 6188  wf 6189  cfv 6193  (class class class)co 6982  cc 10339  cr 10340  0cc0 10341  cmin 10676  abscabs 14460  s cress 16346  distcds 16436  DivRingcdr 19237  SubRingcsubrg 19266  Metcmet 20248  metUnifcmetu 20253  fldccnfld 20262  ℤModczlm 20365  chrcchr 20366  fldcrefld 20465  UnifStcuss 22580  CUnifSpccusp 22624  NrmRingcnrg 22907  NrmModcnlm 22908  oFieldcofld 30580   ℝExt crrext 30911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419  ax-addf 10420  ax-mulf 10421
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-iin 4800  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-of 7233  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-supp 7640  df-tpos 7701  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-2o 7912  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-ixp 8266  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-fsupp 8635  df-fi 8676  df-sup 8707  df-inf 8708  df-oi 8775  df-card 9168  df-cda 9394  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-q 12169  df-rp 12211  df-xneg 12330  df-xadd 12331  df-xmul 12332  df-ioo 12564  df-ico 12566  df-icc 12567  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-seq 13191  df-exp 13251  df-hash 13512  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-struct 16347  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-sets 16352  df-ress 16353  df-plusg 16440  df-mulr 16441  df-starv 16442  df-sca 16443  df-vsca 16444  df-ip 16445  df-tset 16446  df-ple 16447  df-ds 16449  df-unif 16450  df-hom 16451  df-cco 16452  df-rest 16558  df-topn 16559  df-0g 16577  df-gsum 16578  df-topgen 16579  df-pt 16580  df-prds 16583  df-xrs 16637  df-qtop 16642  df-imas 16643  df-xps 16645  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-toset 17514  df-ps 17680  df-tsr 17681  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-mulg 18024  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-od 18430  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-cring 19035  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-drng 19239  df-field 19240  df-subrg 19268  df-abv 19322  df-lmod 19370  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-metu 20261  df-cnfld 20263  df-zring 20335  df-zlm 20369  df-chr 20370  df-refld 20466  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-haus 21642  df-cmp 21714  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-flim 22266  df-fcls 22268  df-ust 22527  df-utop 22558  df-uss 22583  df-usp 22584  df-cfilu 22614  df-cusp 22625  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-nm 22910  df-ngp 22911  df-nrg 22913  df-nlm 22914  df-cncf 23204  df-cfil 23576  df-cmet 23578  df-cms 23656  df-omnd 30444  df-ogrp 30445  df-orng 30581  df-ofld 30582  df-rrext 30916
This theorem is referenced by:  sitgclcn  31279
  Copyright terms: Public domain W3C validator