Theorem cnrrext 34409

Description: The field of the complex numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnrrext	⊢ ℂfld ∈ ℝExt

Proof of Theorem cnrrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24948	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		cndrng 21562	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	1, 2	pm3.2i 475	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing)
4		cnzh 34367	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
5		df-refld 21766	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = (chr‘(ℂfld ↾s ℝ))
7		reofld 33672	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ oField
8		ofldchr 21737	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = 0
10		resubdrg 21769	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
11	10	simpli 488	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12		subrgchr 33565	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld)
14	6, 9, 13	3eqtr3ri 2794	. . 3 ⊢ (chr‘ℂfld) = 0
15	4, 14	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0)
16		cnfldcusp 25527	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CUnifSp
17		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
18	17	cnflduss 25526	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
19	16, 18	pm3.2i 475	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))
20		cnfldbas 21537	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
21		cnmet 24939	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
22		metf 24498	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
23		ffn 6705	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
25		fnresdm 6654	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
27		cnfldds 21545	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
28	27	reseq1i 5973	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
29	26, 28	eqtr3i 2787	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
30		eqid 2762	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
31	20, 29, 30	isrrext 34399	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ ℝExt ↔ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0) ∧ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))))
32	3, 15, 19, 31	mpbir3an 1359	1 ⊢ ℂfld ∈ ℝExt

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   × cxp 5658   ↾ cres 5662   ∘ ccom 5664   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   − cmin 11447  abscabs 15292   ↾_s cress 17296  distcds 17325  SubRingcsubrg 20679  DivRingcdr 20838  oFieldcofld 20972  Metcmet 21519  metUnifcmetu 21524  ℂ_fldccnfld 21533  ℤModczlm 21661  chrcchr 21662  ℝ_fldcrefld 21765  UnifStcuss 24421  CUnifSpccusp 24464  NrmRingcnrg 24747  NrmModcnlm 24748   ℝExt crrext 34393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-toset 18477  df-ps 18628  df-tsr 18629  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-od 19604  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-omnd 20197  df-ogrp 20198  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-field 20841  df-abv 20923  df-orng 20973  df-ofld 20974  df-lmod 20994  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-metu 21532  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-zlm 21665  df-chr 21666  df-refld 21766  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-cmp 23555  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-flim 24107  df-fcls 24109  df-ust 24369  df-utop 24399  df-uss 24424  df-usp 24425  df-cfilu 24454  df-cusp 24465  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-nm 24750  df-ngp 24751  df-nrg 24753  df-nlm 24754  df-cncf 25048  df-cfil 25425  df-cmet 25427  df-cms 25505  df-rrext 34398

This theorem is used by:  sitgclcn  34743