Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnrrext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrrext 33520
Description: The field of the complex numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnrrext fld ∈ ℝExt

Proof of Theorem cnrrext
StepHypRef Expression
1 cnnrg 24648 . . 3 fld ∈ NrmRing
2 cndrng 21283 . . 3 fld ∈ DivRing
31, 2pm3.2i 470 . 2 (ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing)
4 cnzh 33480 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
5 df-refld 21494 . . . . 5 fld = (ℂflds ℝ)
65fveq2i 6887 . . . 4 (chr‘ℝfld) = (chr‘(ℂflds ℝ))
7 reofld 32962 . . . . 5 fld ∈ oField
8 ofldchr 32935 . . . . 5 (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (chr‘ℝfld) = 0
10 resubdrg 21497 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
1110simpli 483 . . . . 5 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12 subrgchr 32888 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (chr‘(ℂflds ℝ)) = (chr‘ℂfld))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 (chr‘(ℂflds ℝ)) = (chr‘ℂfld)
146, 9, 133eqtr3ri 2763 . . 3 (chr‘ℂfld) = 0
154, 14pm3.2i 470 . 2 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0)
16 cnfldcusp 25236 . . 3 fld ∈ CUnifSp
17 eqid 2726 . . . 4 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
1817cnflduss 25235 . . 3 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
1916, 18pm3.2i 470 . 2 (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))
20 cnfldbas 21240 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
21 cnmet 24639 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
22 metf 24187 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
23 ffn 6710 . . . . . 6 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
25 fnresdm 6662 . . . . 5 ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
2624, 25ax-mp 5 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
27 cnfldds 21248 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
2827reseq1i 5970 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
2926, 28eqtr3i 2756 . . 3 (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
30 eqid 2726 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
3120, 29, 30isrrext 33510 . 2 (ℂfld ∈ ℝExt ↔ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0) ∧ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))))
323, 15, 19, 31mpbir3an 1338 1 fld ∈ ℝExt
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   × cxp 5667  cres 5671  ccom 5673   Fn wfn 6531  wf 6532  cfv 6536  (class class class)co 7404  cc 11107  cr 11108  0cc0 11109  cmin 11445  abscabs 15185  s cress 17180  distcds 17213  SubRingcsubrg 20467  DivRingcdr 20585  Metcmet 21222  metUnifcmetu 21227  fldccnfld 21236  ℤModczlm 21383  chrcchr 21384  fldcrefld 21493  UnifStcuss 24109  CUnifSpccusp 24153  NrmRingcnrg 24439  NrmModcnlm 24440  oFieldcofld 32917   ℝExt crrext 33504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-toset 18380  df-ps 18529  df-tsr 18530  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-od 19446  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-drng 20587  df-field 20588  df-abv 20658  df-lmod 20706  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-metu 21235  df-cnfld 21237  df-zring 21330  df-zlm 21387  df-chr 21388  df-refld 21494  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-cmp 23242  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-flim 23794  df-fcls 23796  df-ust 24056  df-utop 24087  df-uss 24112  df-usp 24113  df-cfilu 24143  df-cusp 24154  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-nm 24442  df-ngp 24443  df-nrg 24445  df-nlm 24446  df-cncf 24749  df-cfil 25134  df-cmet 25136  df-cms 25214  df-omnd 32721  df-ogrp 32722  df-orng 32918  df-ofld 32919  df-rrext 33509
This theorem is referenced by:  sitgclcn  33873
  Copyright terms: Public domain W3C validator