Theorem cnrrext 34261

Description: The field of the complex numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnrrext	⊢ ℂfld ∈ ℝExt

Proof of Theorem cnrrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24813	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		cndrng 21426	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
3	1, 2	pm3.2i 473	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing)
4		cnzh 34219	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
5		df-refld 21630	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	fveq2i 6859	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = (chr‘(ℂfld ↾s ℝ))
7		reofld 33483	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ oField
8		ofldchr 21601	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘ℝfld) = 0
10		resubdrg 21633	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
11	10	simpli 486	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12		subrgchr 33371	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (chr‘(ℂfld ↾s ℝ)) = (chr‘ℂfld)
14	6, 9, 13	3eqtr3ri 2788	. . 3 ⊢ (chr‘ℂfld) = 0
15	4, 14	pm3.2i 473	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0)
16		cnfldcusp 25392	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CUnifSp
17		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
18	17	cnflduss 25391	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
19	16, 18	pm3.2i 473	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))
20		cnfldbas 21401	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
21		cnmet 24804	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
22		metf 24363	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
23		ffn 6680	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
25		fnresdm 6629	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
27		cnfldds 21409	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
28	27	reseq1i 5954	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
29	26, 28	eqtr3i 2781	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
30		eqid 2756	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
31	20, 29, 30	isrrext 34251	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ ℝExt ↔ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℂfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℂfld) = 0) ∧ (ℂfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − )))))
32	3, 15, 19, 31	mpbir3an 1351	1 ⊢ ℂfld ∈ ℝExt

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   × cxp 5638   ↾ cres 5642   ∘ ccom 5644   Fn wfn 6505  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062  0cc0 11063   − cmin 11404  abscabs 15237   ↾_s cress 17242  distcds 17271  SubRingcsubrg 20591  DivRingcdr 20751  oFieldcofld 20880  Metcmet 21383  metUnifcmetu 21388  ℂ_fldccnfld 21397  ℤModczlm 21525  chrcchr 21526  ℝ_fldcrefld 21629  UnifStcuss 24286  CUnifSpccusp 24329  NrmRingcnrg 24612  NrmModcnlm 24613   ℝExt crrext 34245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142  ax-mulf 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-proset 18302  df-poset 18321  df-plt 18336  df-toset 18423  df-ps 18574  df-tsr 18575  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19333  df-od 19544  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-omnd 20137  df-ogrp 20138  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-drng 20753  df-field 20754  df-abv 20831  df-orng 20881  df-ofld 20882  df-lmod 20902  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-fbas 21394  df-fg 21395  df-metu 21396  df-cnfld 21398  df-zring 21472  df-zlm 21529  df-chr 21530  df-refld 21630  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cld 23052  df-ntr 23053  df-cls 23054  df-nei 23131  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-haus 23348  df-cmp 23420  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-fil 23879  df-flim 23972  df-fcls 23974  df-ust 24234  df-utop 24264  df-uss 24289  df-usp 24290  df-cfilu 24319  df-cusp 24330  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-nm 24615  df-ngp 24616  df-nrg 24618  df-nlm 24619  df-cncf 24913  df-cfil 25290  df-cmet 25292  df-cms 25370  df-rrext 34250

This theorem is referenced by:  sitgclcn  34595