MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsdsre 23419
Description: The metric on the extended reals coincides with the usual metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsre (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem xrsdsre
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrsxmet.1 . . . . 5 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
21xrsdsreval 20140 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
3 ovres 7298 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
4 eqid 2801 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54remetdval 23398 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
62, 3, 53eqtr4d 2846 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
76rgen2 3171 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)
81xrsxmet 23418 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
9 xmetf 22940 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
10 ffn 6491 . . . . 5 (𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*))
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*)
12 rexpssxrxp 10679 . . . 4 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
13 fnssres 6446 . . . 4 ((𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
1411, 12, 13mp2an 691 . . 3 (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
15 cnmet 23381 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
16 metf 22941 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
17 ffn 6491 . . . . 5 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
19 ax-resscn 10587 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
20 xpss12 5538 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
2119, 19, 20mp2an 691 . . . 4 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
22 fnssres 6446 . . . 4 (((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
2318, 21, 22mp2an 691 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
24 eqfnov2 7264 . . 3 (((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)) → ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)))
2514, 23, 24mp2an 691 . 2 ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
267, 25mpbir 234 1 (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wss 3884   × cxp 5521  cres 5525  ccom 5527   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  *cxr 10667  cmin 10863  abscabs 14589  distcds 16570  *𝑠cxrs 16769  ∞Metcxmet 20080  Metcmet 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-icc 12737  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-xrs 16771  df-xmet 20088  df-met 20089
This theorem is referenced by:  xrsmopn  23421  metdscn2  23466
  Copyright terms: Public domain W3C validator