MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsdsre 24196
Description: The metric on the extended reals coincides with the usual metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsre (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))

Proof of Theorem xrsdsre
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrsxmet.1 . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
21xrsdsreval 20865 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
3 ovres 7524 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
4 eqid 2733 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
54remetdval 24175 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
62, 3, 53eqtr4d 2783 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦))
76rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)
81xrsxmet 24195 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
9 xmetf 23705 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„*) β†’ 𝐷:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„*)
10 ffn 6672 . . . . 5 (𝐷:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
12 rexpssxrxp 11208 . . . 4 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
13 fnssres 6628 . . . 4 ((𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
1411, 12, 13mp2an 691 . . 3 (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)
15 cnmet 24158 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
16 metf 23706 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„)
17 ffn 6672 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚)
19 ax-resscn 11116 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
20 xpss12 5652 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
2119, 19, 20mp2an 691 . . . 4 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
22 fnssres 6628 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
2318, 21, 22mp2an 691 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)
24 eqfnov2 7490 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ) ∧ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)))
2514, 23, 24mp2an 691 . 2 ((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦))
267, 25mpbir 230 1 (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  β„*cxr 11196   βˆ’ cmin 11393  abscabs 15128  distcds 17150  β„*𝑠cxrs 17390  βˆžMetcxmet 20804  Metcmet 20805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-xrs 17392  df-xmet 20812  df-met 20813
This theorem is referenced by:  xrsmopn  24198  metdscn2  24243
  Copyright terms: Public domain W3C validator