MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsre Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrsdsre 24677
Description: The metric on the extended reals coincides with the usual metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsre (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Proof of Theorem xrsdsre
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrsxmet.1 . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
21xrsdsreval 21301 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
3 ovres 7569 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
4 eqid 2726 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
54remetdval 24656 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
62, 3, 53eqtr4d 2776 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦))
76rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)
81xrsxmet 24676 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
9 xmetf 24186 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„*) β†’ 𝐷:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„*)
10 ffn 6710 . . . . 5 (𝐷:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
12 rexpssxrxp 11260 . . . 4 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
13 fnssres 6666 . . . 4 ((𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
1411, 12, 13mp2an 689 . . 3 (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)
15 cnmet 24639 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
16 metf 24187 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„)
17 ffn 6710 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚)
19 ax-resscn 11166 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
20 xpss12 5684 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
2119, 19, 20mp2an 689 . . . 4 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
22 fnssres 6666 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
2318, 21, 22mp2an 689 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)
24 eqfnov2 7534 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ) ∧ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)))
2514, 23, 24mp2an 689 . 2 ((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦))
267, 25mpbir 230 1 (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  β„*cxr 11248   βˆ’ cmin 11445  abscabs 15185  distcds 17213  β„*𝑠cxrs 17453  βˆžMetcxmet 21221  Metcmet 21222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-icc 13334  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-xrs 17455  df-xmet 21229  df-met 21230
This theorem is referenced by:  xrsmopn  24679  metdscn2  24724
  Copyright terms: Public domain W3C validator