Theorem xrsdsre 25038

Description: The metric on the extended reals coincides with the usual metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsxmet.1	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsdsre	⊢ (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem xrsdsre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsxmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsdsreval 21626	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
3		ovres 7580	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5	4	remetdval 25016	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
6	2, 3, 5	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
7	6	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)
8	1	xrsxmet 25037	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
9		xmetf 24556	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
10		ffn 6703	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ 𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*)
12		rexpssxrxp 11279	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
13		fnssres 6656	. . . 4 ⊢ ((𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
15		cnmet 24998	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
16		metf 24557	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
17		ffn 6703	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
19		ax-resscn 11182	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20		xpss12 5670	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
21	19, 19, 20	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
22		fnssres 6656	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
23	18, 21, 22	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
24		eqfnov2 7544	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)) → ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)))
25	14, 23, 24	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
26	7, 25	mpbir 234	1 ⊢ (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899   × cxp 5653   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124  ℝ^*cxr 11267   − cmin 11466  abscabs 15322  distcds 17352  ℝ^*_𝑠cxrs 17587  ∞Metcxmet 21571  Metcmet 21572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-icc 13406  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-xrs 17589  df-xmet 21579  df-met 21580

This theorem is used by:  xrsmopn  25040  metdscn2  25085