MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsre Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrsdsre 24744
Description: The metric on the extended reals coincides with the usual metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsre (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Proof of Theorem xrsdsre
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrsxmet.1 . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
21xrsdsreval 21349 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
3 ovres 7591 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
4 eqid 2727 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
54remetdval 24723 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
62, 3, 53eqtr4d 2777 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦))
76rgen2 3193 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)
81xrsxmet 24743 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
9 xmetf 24253 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„*) β†’ 𝐷:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„*)
10 ffn 6725 . . . . 5 (𝐷:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
12 rexpssxrxp 11295 . . . 4 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
13 fnssres 6681 . . . 4 ((𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
1411, 12, 13mp2an 690 . . 3 (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)
15 cnmet 24706 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
16 metf 24254 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„)
17 ffn 6725 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚)
19 ax-resscn 11201 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
20 xpss12 5695 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
2119, 19, 20mp2an 690 . . . 4 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
22 fnssres 6681 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
2318, 21, 22mp2an 690 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)
24 eqfnov2 7555 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ) ∧ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)))
2514, 23, 24mp2an 690 . 2 ((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦))
267, 25mpbir 230 1 (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5678   β†Ύ cres 5682   ∘ ccom 5684   Fn wfn 6546  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„‚cc 11142  β„cr 11143  β„*cxr 11283   βˆ’ cmin 11480  abscabs 15219  distcds 17247  β„*𝑠cxrs 17487  βˆžMetcxmet 21269  Metcmet 21270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-icc 13369  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-xrs 17489  df-xmet 21277  df-met 21278
This theorem is referenced by:  xrsmopn  24746  metdscn2  24791
  Copyright terms: Public domain W3C validator