MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsre Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrsdsre 24325
Description: The metric on the extended reals coincides with the usual metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsre (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Proof of Theorem xrsdsre
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrsxmet.1 . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
21xrsdsreval 20989 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
3 ovres 7572 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
4 eqid 2732 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
54remetdval 24304 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
62, 3, 53eqtr4d 2782 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦))
76rgen2 3197 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)
81xrsxmet 24324 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„*)
9 xmetf 23834 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„*) β†’ 𝐷:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„*)
10 ffn 6717 . . . . 5 (𝐷:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
12 rexpssxrxp 11258 . . . 4 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
13 fnssres 6673 . . . 4 ((𝐷 Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
1411, 12, 13mp2an 690 . . 3 (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)
15 cnmet 24287 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
16 metf 23835 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„)
17 ffn 6717 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚)
19 ax-resscn 11166 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
20 xpss12 5691 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
2119, 19, 20mp2an 690 . . . 4 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
22 fnssres 6673 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
2318, 21, 22mp2an 690 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)
24 eqfnov2 7538 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ) ∧ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)))
2514, 23, 24mp2an 690 . 2 ((𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦))
267, 25mpbir 230 1 (𝐷 β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  β„*cxr 11246   βˆ’ cmin 11443  abscabs 15180  distcds 17205  β„*𝑠cxrs 17445  βˆžMetcxmet 20928  Metcmet 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-xrs 17447  df-xmet 20936  df-met 20937
This theorem is referenced by:  xrsmopn  24327  metdscn2  24372
  Copyright terms: Public domain W3C validator