Theorem xrsdsre 23025

Description: The metric on the extended reals coincides with the usual metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsxmet.1	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsdsre	⊢ (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem xrsdsre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsxmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsdsreval 20191	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
3		ovres 7079	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
4		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5	4	remetdval 23004	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
6	2, 3, 5	3eqtr4d 2824	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
7	6	rgen2a 3159	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)
8	1	xrsxmet 23024	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
9		xmetf 22546	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
10		ffn 6293	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ 𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*)
12		rexpssxrxp 10423	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
13		fnssres 6252	. . . 4 ⊢ ((𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
14	11, 12, 13	mp2an 682	. . 3 ⊢ (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
15		cnmet 22987	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
16		metf 22547	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
17		ffn 6293	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
19		ax-resscn 10331	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20		xpss12 5372	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
21	19, 19, 20	mp2an 682	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
22		fnssres 6252	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
23	18, 21, 22	mp2an 682	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
24		eqfnov2 7046	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)) → ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)))
25	14, 23, 24	mp2an 682	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
26	7, 25	mpbir 223	1 ⊢ (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090   ⊆ wss 3792   × cxp 5355   ↾ cres 5359   ∘ ccom 5361   Fn wfn 6132  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  ℝ^*cxr 10412   − cmin 10608  abscabs 14385  distcds 16351  ℝ^*_𝑠cxrs 16550  ∞Metcxmet 20131  Metcmet 20132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-icc 12498  df-fz 12648  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-xrs 16552  df-xmet 20139  df-met 20140

This theorem is referenced by:  xrsmopn  23027  metdscn2  23072