Theorem xrsdsre 25021

Description: The metric on the extended reals coincides with the usual metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsxmet.1	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsdsre	⊢ (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem xrsdsre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsxmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsdsreval 21614	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
3		ovres 7585	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5	4	remetdval 24999	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
6	2, 3, 5	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
7	6	rgen2 3207	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)
8	1	xrsxmet 25020	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
9		xmetf 24539	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
10		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . 4 ⊢ 𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*)
12		rexpssxrxp 11271	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
13		fnssres 6662	. . . 4 ⊢ ((𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
15		cnmet 24981	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
16		metf 24540	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
17		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
19		ax-resscn 11174	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
20		xpss12 5678	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
21	19, 19, 20	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
22		fnssres 6662	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
23	18, 21, 22	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
24		eqfnov2 7549	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)) → ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)))
25	14, 23, 24	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
26	7, 25	mpbir 234	1 ⊢ (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906   × cxp 5661   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  ℝ^*cxr 11259   − cmin 11458  abscabs 15311  distcds 17343  ℝ^*_𝑠cxrs 17578  ∞Metcxmet 21559  Metcmet 21560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-icc 13397  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-xrs 17580  df-xmet 21567  df-met 21568

This theorem is used by:  xrsmopn  25023  metdscn2  25068