Theorem cncms 25261

Description: The field of complex numbers is a complete metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncms	⊢ ℂfld ∈ CMetSp

Proof of Theorem cncms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldms 24669	. 2 ⊢ ℂfld ∈ MetSp
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3	2	cncmet 25228	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (CMet‘ℂ)
4		cnfldbas 21274	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5		cnmet 24665	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
6		metf 24224	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
8		ffn 6690	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
9		fnresdm 6639	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
11		cnfldds 21282	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
12	11	reseq1i 5948	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
13	10, 12	eqtr3i 2755	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
14	4, 13	iscms 25251	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ CMetSp ↔ (ℂfld ∈ MetSp ∧ (abs ∘ − ) ∈ (CMet‘ℂ)))
15	1, 3, 14	mpbir2an 711	1 ⊢ ℂfld ∈ CMetSp

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5638   ↾ cres 5642   ∘ ccom 5644   Fn wfn 6508  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  ℂcc 11072  ℝcr 11073   − cmin 11411  abscabs 15206  distcds 17235  Metcmet 21256  ℂ_fldccnfld 21270  MetSpcms 24212  CMetccmet 25160  CMetSpccms 25238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-haus 23208  df-cmp 23280  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-flim 23832  df-fcls 23834  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cncf 24777  df-cfil 25161  df-cmet 25163  df-cms 25241

This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25263  resscdrg  25264  ishl2  25276  csschl  25282  recms  25286