Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssbnd 37261
Description: A subset of a metric space is bounded iff it is contained in a ball around 𝑃, for any 𝑃 in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ssbnd.2 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
ssbnd ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑑   𝑁,𝑑   𝑃,𝑑   𝑋,𝑑   π‘Œ,𝑑

Proof of Theorem ssbnd
Dummy variables π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11247 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
21ne0ii 4338 . . . . . 6 ℝ β‰  βˆ…
3 0ss 4397 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)
4 sseq1 4005 . . . . . . . 8 (π‘Œ = βˆ… β†’ (π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ↔ βˆ… βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
53, 4mpbiri 258 . . . . . . 7 (π‘Œ = βˆ… β†’ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
65ralrimivw 3147 . . . . . 6 (π‘Œ = βˆ… β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
7 r19.2z 4495 . . . . . 6 ((ℝ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
82, 6, 7sylancr 586 . . . . 5 (π‘Œ = βˆ… β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
98a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ = βˆ… β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
10 isbnd2 37256 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ↔ (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
11 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
12 ssbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
1312dmeqi 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom 𝑁 = dom (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
14 dmres 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((π‘Œ Γ— π‘Œ) ∩ dom 𝑀)
1513, 14eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom 𝑁 = ((π‘Œ Γ— π‘Œ) ∩ dom 𝑀)
16 xmetf 24248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑁:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆβ„*)
1716fdmd 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ dom 𝑁 = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
1815, 17eqtr3id 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) ∩ dom 𝑀) = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
19 df-ss 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom 𝑀 ↔ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) ∩ dom 𝑀) = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
2018, 19sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom 𝑀)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom 𝑀)
22 metf 24249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2322fdmd 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑋))
2423ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ dom 𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑋))
2521, 24sseqtrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
26 dmss 5905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ dom (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ dom (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
28 dmxpid 5932 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (π‘Œ Γ— π‘Œ) = π‘Œ
29 dmxpid 5932 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
3027, 28, 293sstr3g 4024 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
31 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
3230, 31sseldd 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
34 metcl 24251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ∈ ℝ)
3511, 32, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ∈ ℝ)
36 rpre 13015 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3736ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3835, 37readdcld 11274 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
39 metxmet 24253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4011, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4132, 31elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
42 rpxr 13016 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
4342ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
4412blres 24350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) = ((𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∩ π‘Œ))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) = ((𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∩ π‘Œ))
46 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)
4735leidd 11811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ≀ (𝑦𝑀𝑃))
4835recnd 11273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ∈ β„‚)
4937recnd 11273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
5048, 49pncand 11603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) βˆ’ π‘Ÿ) = (𝑦𝑀𝑃))
5147, 50breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ≀ (((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) βˆ’ π‘Ÿ))
52 blss2 24323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝑀𝑃) ≀ (((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) βˆ’ π‘Ÿ))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
5340, 32, 33, 37, 38, 51, 52syl33anc 1383 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
5446, 53sstrid 3991 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
5545, 54eqsstrd 4018 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
56 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = ((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) β†’ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) = (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
5756sseq2d 4012 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ↔ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ))))
5857rspcev 3609 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
5938, 55, 58syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
60 sseq1 4005 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) β†’ (π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ↔ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6160rexbidv 3175 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6259, 61syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6362rexlimdvva 3208 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6463expimpd 453 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6510, 64biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6665expdimp 452 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
679, 66pm2.61dne 3025 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
6867ex 412 . 2 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
69 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
70 xpss12 5693 . . . . . . 7 ((π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
7169, 69, 70syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
7271resabs1d 6016 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
7372, 12eqtr4di 2786 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝑁)
74 blbnd 37260 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
7539, 74syl3an1 1161 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
76753expa 1116 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
7776adantrr 716 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ (𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
78 bndss 37259 . . . . 5 (((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)) ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))
7977, 69, 78syl2anc 583 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))
8073, 79eqeltrrd 2830 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))
8180rexlimdvaa 3153 . 2 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
8268, 81impbid 211 1 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142  β„*cxr 11278   ≀ cle 11280   βˆ’ cmin 11475  β„+crp 13007  βˆžMetcxmet 21264  Metcmet 21265  ballcbl 21266  Bndcbnd 37240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-ec 8727  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-2 12306  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-bnd 37252
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  37268  cntotbnd  37269
  Copyright terms: Public domain W3C validator