Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssbnd 36276
Description: A subset of a metric space is bounded iff it is contained in a ball around 𝑃, for any 𝑃 in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ssbnd.2 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
ssbnd ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑑   𝑁,𝑑   𝑃,𝑑   𝑋,𝑑   π‘Œ,𝑑

Proof of Theorem ssbnd
Dummy variables π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11164 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
21ne0ii 4302 . . . . . 6 ℝ β‰  βˆ…
3 0ss 4361 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)
4 sseq1 3974 . . . . . . . 8 (π‘Œ = βˆ… β†’ (π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ↔ βˆ… βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
53, 4mpbiri 258 . . . . . . 7 (π‘Œ = βˆ… β†’ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
65ralrimivw 3148 . . . . . 6 (π‘Œ = βˆ… β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
7 r19.2z 4457 . . . . . 6 ((ℝ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
82, 6, 7sylancr 588 . . . . 5 (π‘Œ = βˆ… β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
98a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ = βˆ… β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
10 isbnd2 36271 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ↔ (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)))
11 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
12 ssbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
1312dmeqi 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom 𝑁 = dom (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
14 dmres 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((π‘Œ Γ— π‘Œ) ∩ dom 𝑀)
1513, 14eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom 𝑁 = ((π‘Œ Γ— π‘Œ) ∩ dom 𝑀)
16 xmetf 23698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑁:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆβ„*)
1716fdmd 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ dom 𝑁 = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
1815, 17eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) ∩ dom 𝑀) = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
19 df-ss 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom 𝑀 ↔ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) ∩ dom 𝑀) = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
2018, 19sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom 𝑀)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom 𝑀)
22 metf 23699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2322fdmd 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑋))
2423ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ dom 𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑋))
2521, 24sseqtrd 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
26 dmss 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ dom (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ dom (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
28 dmxpid 5890 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (π‘Œ Γ— π‘Œ) = π‘Œ
29 dmxpid 5890 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
3027, 28, 293sstr3g 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
31 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
3230, 31sseldd 3950 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
34 metcl 23701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ∈ ℝ)
3511, 32, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ∈ ℝ)
36 rpre 12930 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3736ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3835, 37readdcld 11191 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
39 metxmet 23703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4011, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4132, 31elind 4159 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
42 rpxr 12931 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
4342ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
4412blres 23800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) = ((𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∩ π‘Œ))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) = ((𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∩ π‘Œ))
46 inss1 4193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)
4735leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ≀ (𝑦𝑀𝑃))
4835recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ∈ β„‚)
4937recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
5048, 49pncand 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) βˆ’ π‘Ÿ) = (𝑦𝑀𝑃))
5147, 50breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦𝑀𝑃) ≀ (((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) βˆ’ π‘Ÿ))
52 blss2 23773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝑀𝑃) ≀ (((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) βˆ’ π‘Ÿ))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
5340, 32, 33, 37, 38, 51, 52syl33anc 1386 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
5446, 53sstrid 3960 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ∩ π‘Œ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
5545, 54eqsstrd 3987 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
56 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = ((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) β†’ (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) = (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ)))
5756sseq2d 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ↔ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ))))
5857rspcev 3584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)((𝑦𝑀𝑃) + π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
5938, 55, 58syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
60 sseq1 3974 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) β†’ (π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ↔ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6160rexbidv 3176 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6259, 61syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6362rexlimdvva 3206 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6463expimpd 455 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Œ = (𝑦(ballβ€˜π‘)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6510, 64biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
6665expdimp 454 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Œ β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
679, 66pm2.61dne 3032 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
6867ex 414 . 2 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
69 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))
70 xpss12 5653 . . . . . . 7 ((π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
7169, 69, 70syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
7271resabs1d 5973 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (𝑀 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
7372, 12eqtr4di 2795 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = 𝑁)
74 blbnd 36275 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
7539, 74syl3an1 1164 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
76753expa 1119 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
7776adantrr 716 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ (𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
78 bndss 36274 . . . . 5 (((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) ∈ (Bndβ€˜(𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)) ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))
7977, 69, 78syl2anc 585 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ ((𝑀 β†Ύ ((𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) Γ— (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))
8073, 79eqeltrrd 2839 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑))) β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ))
8180rexlimdvaa 3154 . 2 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑) β†’ 𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ)))
8268, 81impbid 211 1 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 ∈ (Bndβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ π‘Œ βŠ† (𝑃(ballβ€˜π‘€)𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„+crp 12922  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  Bndcbnd 36255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-ec 8657  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-bnd 36267
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  36283  cntotbnd  36284
  Copyright terms: Public domain W3C validator