Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prdsbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsbnd 34952
Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbnd.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbnd.v 𝑉 = (Base‘(𝑅𝑥))
prdsbnd.e 𝐸 = ((dist‘(𝑅𝑥)) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsbnd.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsbnd.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsbnd.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsbnd.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsbnd.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Bnd‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
prdsbnd (𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem prdsbnd
Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑔 𝑘 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 (𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥))) = (𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))
2 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥))))
3 prdsbnd.v . . . 4 𝑉 = (Base‘(𝑅𝑥))
4 prdsbnd.e . . . 4 𝐸 = ((dist‘(𝑅𝑥)) ↾ (𝑉 × 𝑉))
5 eqid 2818 . . . 4 (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥))))
6 prdsbnd.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑊)
7 prdsbnd.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
8 fvexd 6678 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ V)
9 prdsbnd.m . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Bnd‘𝑉))
10 bndmet 34940 . . . . 5 (𝐸 ∈ (Bnd‘𝑉) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsmet 22907 . . 3 (𝜑 → (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥))))))
13 prdsbnd.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑌)
14 prdsbnd.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
15 prdsbnd.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
16 dffn5 6717 . . . . . . . 8 (𝑅 Fn 𝐼𝑅 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))
1715, 16sylib 219 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))
1817oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥))))
1914, 18syl5eq 2865 . . . . 5 (𝜑𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥))))
2019fveq2d 6667 . . . 4 (𝜑 → (dist‘𝑌) = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))))
2113, 20syl5eq 2865 . . 3 (𝜑𝐷 = (dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))))
22 prdsbnd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
2319fveq2d 6667 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))))
2422, 23syl5eq 2865 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))))
2524fveq2d 6667 . . 3 (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥))))))
2612, 21, 253eltr4d 2925 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
27 isbnd3 34943 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (Bnd‘𝑉) ↔ (𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,]𝑤)))
2827simprbi 497 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (Bnd‘𝑉) → ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,]𝑤))
299, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,]𝑤))
3029ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑤 ∈ ℝ 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,]𝑤))
31 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘𝑥) → (0[,]𝑤) = (0[,](𝑘𝑥)))
3231feq3d 6494 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘𝑥) → (𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,]𝑤) ↔ 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥))))
3332ac6sfi 8750 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐼𝑤 ∈ ℝ 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,]𝑤)) → ∃𝑘(𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥))))
347, 30, 33syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘(𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥))))
35 frn 6513 . . . . . . . 8 (𝑘:𝐼⟶ℝ → ran 𝑘 ⊆ ℝ)
3635adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘:𝐼⟶ℝ) → ran 𝑘 ⊆ ℝ)
37 0red 10632 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3837snssd 4734 . . . . . . . 8 (𝜑 → {0} ⊆ ℝ)
3938adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘:𝐼⟶ℝ) → {0} ⊆ ℝ)
4036, 39unssd 4159 . . . . . 6 ((𝜑𝑘:𝐼⟶ℝ) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ⊆ ℝ)
41 ffn 6507 . . . . . . . . . 10 (𝑘:𝐼⟶ℝ → 𝑘 Fn 𝐼)
42 dffn4 6589 . . . . . . . . . 10 (𝑘 Fn 𝐼𝑘:𝐼onto→ran 𝑘)
4341, 42sylib 219 . . . . . . . . 9 (𝑘:𝐼⟶ℝ → 𝑘:𝐼onto→ran 𝑘)
44 fofi 8798 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘:𝐼onto→ran 𝑘) → ran 𝑘 ∈ Fin)
457, 43, 44syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘:𝐼⟶ℝ) → ran 𝑘 ∈ Fin)
46 snfi 8582 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
47 unfi 8773 . . . . . . . 8 ((ran 𝑘 ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ∈ Fin)
4845, 46, 47sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘:𝐼⟶ℝ) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ∈ Fin)
49 ssun2 4146 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (ran 𝑘 ∪ {0})
50 c0ex 10623 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
5150snid 4591 . . . . . . . . 9 0 ∈ {0}
5249, 51sselii 3961 . . . . . . . 8 0 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})
53 ne0i 4297 . . . . . . . 8 (0 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0}) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ≠ ∅)
5452, 53mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘:𝐼⟶ℝ) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ≠ ∅)
55 ltso 10709 . . . . . . . 8 < Or ℝ
56 fisupcl 8921 . . . . . . . 8 (( < Or ℝ ∧ ((ran 𝑘 ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran 𝑘 ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran 𝑘 ∪ {0}) ⊆ ℝ)) → sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ (ran 𝑘 ∪ {0}))
5755, 56mpan 686 . . . . . . 7 (((ran 𝑘 ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran 𝑘 ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran 𝑘 ∪ {0}) ⊆ ℝ) → sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ (ran 𝑘 ∪ {0}))
5848, 54, 40, 57syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑𝑘:𝐼⟶ℝ) → sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ (ran 𝑘 ∪ {0}))
5940, 58sseldd 3965 . . . . 5 ((𝜑𝑘:𝐼⟶ℝ) → sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ ℝ)
6059adantrr 713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ ℝ)
61 metf 22867 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ)
62 ffn 6507 . . . . . . 7 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
6326, 61, 623syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
6463adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
6526ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝐵))
66 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
6766adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 𝑓𝐵)
68 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
6968adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 𝑔𝐵)
70 metcl 22869 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
7165, 67, 69, 70syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ)
72 metge0 22882 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ∧ 𝑓𝐵𝑔𝐵) → 0 ≤ (𝑓𝐷𝑔))
7365, 67, 69, 72syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 0 ≤ (𝑓𝐷𝑔))
7421oveqdr 7173 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥))))𝑔))
756adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑆𝑊)
767adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼 ∈ Fin)
77 fvexd 6678 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ V)
7877ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑅𝑥) ∈ V)
7924adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))))
8066, 79eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))))
8168, 79eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥)))))
821, 2, 75, 76, 78, 80, 81, 3, 4, 5prdsdsval3 16746 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(dist‘(𝑆Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅𝑥))))𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
8374, 82eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
8483adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
8511adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (Met‘𝑉))
861, 2, 75, 76, 78, 3, 80prdsbascl 16744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
8786r19.21bi 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
881, 2, 75, 76, 78, 3, 81prdsbascl 16744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
8988r19.21bi 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
90 metcl 22869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸 ∈ (Met‘𝑉) ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
9185, 87, 89, 90syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
9291ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
93 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘𝑥) ∈ ℝ)
9493ad2ant2lr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ ℝ)
9559adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) → sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ ℝ)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ ℝ)
97 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))
9887ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
9989ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
10097, 98, 99fovrnd 7309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ (0[,](𝑘𝑥)))
101 0re 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
102 elicc2 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ (0[,](𝑘𝑥)) ↔ (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∧ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (𝑘𝑥))))
103101, 94, 102sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ (0[,](𝑘𝑥)) ↔ (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∧ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (𝑘𝑥))))
104100, 103mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∧ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (𝑘𝑥)))
105104simp3d 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (𝑘𝑥))
10640adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ⊆ ℝ)
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ⊆ ℝ)
10852, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ≠ ∅)
109 fimaxre2 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ran 𝑘 ∪ {0}) ⊆ ℝ ∧ (ran 𝑘 ∪ {0}) ∈ Fin) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})𝑤𝑧)
11040, 48, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘:𝐼⟶ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})𝑤𝑧)
111110adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})𝑤𝑧)
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})𝑤𝑧)
113 ssun1 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran 𝑘 ⊆ (ran 𝑘 ∪ {0})
11441ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 𝑘 Fn 𝐼)
115 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 𝑥𝐼)
116 fnfvelrn 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 Fn 𝐼𝑥𝐼) → (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑘)
117114, 115, 116syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑘)
118113, 117sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ (ran 𝑘 ∪ {0}))
119 suprub 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ran 𝑘 ∪ {0}) ⊆ ℝ ∧ (ran 𝑘 ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})𝑤𝑧) ∧ (𝑘𝑥) ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})) → (𝑘𝑥) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
120107, 108, 112, 118, 119syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑘𝑥) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
12192, 94, 96, 105, 120letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ (𝑥𝐼𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
122121expr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
123122ralimdva 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑘:𝐼⟶ℝ) → (∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
124123impr 455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
125 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ V
126125rgenw 3147 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ V
127 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
128 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) → (𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ↔ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
129127, 128ralrnmptw 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
130126, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
131124, 130sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
13240ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ⊆ ℝ)
13352, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (ran 𝑘 ∪ {0}) ≠ ∅)
134110ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})𝑤𝑧)
13552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 0 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0}))
136 suprub 11590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ran 𝑘 ∪ {0}) ⊆ ℝ ∧ (ran 𝑘 ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})𝑤𝑧) ∧ 0 ∈ (ran 𝑘 ∪ {0})) → 0 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
137132, 133, 134, 135, 136syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 0 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
138 elsni 4574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {0} → 𝑤 = 0)
139138breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ {0} → (𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ↔ 0 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
140137, 139syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑤 ∈ {0} → 𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
141140ralrimiv 3178 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ∀𝑤 ∈ {0}𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
142 ralunb 4164 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑤 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ↔ (∀𝑤 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∧ ∀𝑤 ∈ {0}𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
143131, 141, 142sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ∀𝑤 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
14491fmpttd 6871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ)
145144frnd 6514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ⊆ ℝ)
146 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
147146snssd 4734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → {0} ⊆ ℝ)
148145, 147unssd 4159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ)
149 ressxr 10673 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
150148, 149sstrdi 3976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
151150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
15260adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ ℝ)
153152rexrd 10679 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
154 supxrleub 12707 . . . . . . . . . . 11 (((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
155151, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑤 ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
156143, 155mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
15784, 156eqbrtrd 5079 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑓𝐷𝑔) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))
158 elicc2 12789 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((𝑓𝐷𝑔) ∈ (0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )) ↔ ((𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓𝐷𝑔) ∧ (𝑓𝐷𝑔) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))))
159101, 152, 158sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ((𝑓𝐷𝑔) ∈ (0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )) ↔ ((𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓𝐷𝑔) ∧ (𝑓𝐷𝑔) ≤ sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))))
16071, 73, 157, 159mpbir3and 1334 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ (0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
161160an32s 648 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ (0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
162161ralrimivva 3188 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ (0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
163 ffnov 7267 . . . . 5 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )) ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑓𝐵𝑔𝐵 (𝑓𝐷𝑔) ∈ (0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))))
16464, 162, 163sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
165 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑚 = sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) → (0[,]𝑚) = (0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < )))
166165feq3d 6494 . . . . 5 (𝑚 = sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) → (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]𝑚) ↔ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))))
167166rspcev 3620 . . . 4 ((sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]sup((ran 𝑘 ∪ {0}), ℝ, < ))) → ∃𝑚 ∈ ℝ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]𝑚))
16860, 164, 167syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘:𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝐼 𝐸:(𝑉 × 𝑉)⟶(0[,](𝑘𝑥)))) → ∃𝑚 ∈ ℝ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]𝑚))
16934, 168exlimddv 1927 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]𝑚))
170 isbnd3 34943 . 2 (𝐷 ∈ (Bnd‘𝐵) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ ℝ 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]𝑚)))
17126, 169, 170sylanbrc 583 1 (𝜑𝐷 ∈ (Bnd‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137   Or wor 5466   × cxp 5546  ran crn 5549  cres 5550   Fn wfn 6343  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  supcsup 8892  cr 10524  0cc0 10525  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  [,]cicc 12729  Basecbs 16471  distcds 16562  Xscprds 16707  Metcmet 20459  Bndcbnd 34926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-prds 16709  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-bnd 34938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator