Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngpim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngngpim 23268
 Description: The induced metric of a normed group is a function. (Contributed by AV, 19-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngpim.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngpim.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
tngngpim.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngpim.d 𝐷 = (dist‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
tngngpim (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem tngngpim
StepHypRef Expression
1 tngngpim.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 tngngpim.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
31, 2nmf 23224 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4 tngngpim.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
52oveq2i 7160 . . . . . 6 (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
64, 5eqtri 2847 . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
76nrmtngnrm 23267 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))
8 tngngpim.d . . . . . . . 8 𝐷 = (dist‘𝑇)
94, 1, 8tngngp2 23261 . . . . . . 7 (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))
10 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
119, 10syl6bi 256 . . . . . 6 (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
1211com12 32 . . . . 5 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
1312adantr 484 . . . 4 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)) → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
147, 13syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
15 metf 22940 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
1614, 15syl6 35 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
173, 16mpd 15 1 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   × cxp 5540  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  Basecbs 16483  distcds 16574  Grpcgrp 18103  Metcmet 20531  normcnm 23186  NrmGrpcngp 23187   toNrmGrp ctng 23188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-ds 16587  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-xms 22930  df-ms 22931  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-tng 23194 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator