MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngpim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngngpim 24046
Description: The induced metric of a normed group is a function. (Contributed by AV, 19-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngpim.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngpim.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
tngngpim.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tngngpim.d 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
tngngpim (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)

Proof of Theorem tngngpim
StepHypRef Expression
1 tngngpim.x . . 3 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tngngpim.n . . 3 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
31, 2nmf 23994 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
4 tngngpim.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
52oveq2i 7372 . . . . . 6 (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = (𝐺 toNrmGrp (normβ€˜πΊ))
64, 5eqtri 2761 . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (normβ€˜πΊ))
76nrmtngnrm 24045 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜πΊ)))
8 tngngpim.d . . . . . . . 8 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
94, 1, 8tngngp2 24039 . . . . . . 7 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))))
10 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
119, 10syl6bi 253 . . . . . 6 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
1211com12 32 . . . . 5 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
1312adantr 482 . . . 4 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
147, 13syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
15 metf 23706 . . 3 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
1614, 15syl6 35 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
173, 16mpd 15 1 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  Basecbs 17091  distcds 17150  Grpcgrp 18756  Metcmet 20805  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956   toNrmGrp ctng 23957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-tng 23963
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator