Theorem tngngpim 23729

Description: The induced metric of a normed group is a function. (Contributed by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngpim.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngpim.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tngngpim.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngpim.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
tngngpim	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem tngngpim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpim.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		tngngpim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3	1, 2	nmf 23677	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4		tngngpim.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
5	2	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
6	4, 5	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
7	6	nrmtngnrm 23728	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))
8		tngngpim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
9	4, 1, 8	tngngp2 23722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11	9, 10	syl6bi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
12	11	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)) → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
14	7, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
15		metf 23391	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
16	14, 15	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
17	3, 16	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  Basecbs 16840  distcds 16897  Grpcgrp 18492  Metcmet 20496  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639   toNrmGrp ctng 23640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-ds 16910  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-tng 23646

This theorem is referenced by: (None)