Theorem tngngpim 25033

Description: The induced metric of a normed group is a function. (Contributed by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngpim.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngpim.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tngngpim.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngpim.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
tngngpim	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem tngngpim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpim.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		tngngpim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3	1, 2	nmf 24989	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4		tngngpim.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
5	2	oveq2i 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
6	4, 5	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
7	6	nrmtngnrm 25032	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))
8		tngngpim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
9	4, 1, 8	tngngp2 25026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))
10		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11	9, 10	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
12	11	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)) → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
14	7, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
15		metf 24704	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
16	14, 15	syl6 36	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
17	3, 16	mpd 16	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   × cxp 5656  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  Basecbs 17431  distcds 17481  Grpcgrp 19194  Metcmet 21715  normcnm 24950  NrmGrpcngp 24951   toNrmGrp ctng 24952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-tset 17492  df-ds 17495  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-topgen 17664  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-xms 24694  df-ms 24695  df-nm 24956  df-ngp 24957  df-tng 24958

This theorem is used by: (None)