Theorem tngngpim 24690

Description: The induced metric of a normed group is a function. (Contributed by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngpim.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngpim.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tngngpim.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngpim.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
tngngpim	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem tngngpim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpim.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		tngngpim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3	1, 2	nmf 24638	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4		tngngpim.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
5	2	oveq2i 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
6	4, 5	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
7	6	nrmtngnrm 24689	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))
8		tngngpim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
9	4, 1, 8	tngngp2 24683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))
10		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11	9, 10	biimtrdi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
12	11	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
13	12	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)) → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
14	7, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
15		metf 24350	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
16	14, 15	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
17	3, 16	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   × cxp 5684  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  ℝcr 11164  Basecbs 17234  distcds 17296  Grpcgrp 18949  Metcmet 21351  normcnm 24599  NrmGrpcngp 24600   toNrmGrp ctng 24601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-pre-sup 11243

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8742  df-map 8865  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-sup 9492  df-inf 9493  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-div 11929  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-4 12339  df-5 12340  df-6 12341  df-7 12342  df-8 12343  df-9 12344  df-n0 12535  df-z 12621  df-dec 12740  df-uz 12885  df-q 12995  df-rp 13039  df-xneg 13156  df-xadd 13157  df-xmul 13158  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-plusg 17300  df-tset 17306  df-ds 17309  df-rest 17458  df-topn 17459  df-0g 17477  df-topgen 17479  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-top 22910  df-topon 22927  df-topsp 22949  df-bases 22963  df-xms 24340  df-ms 24341  df-nm 24605  df-ngp 24606  df-tng 24607

This theorem is referenced by: (None)