Theorem tngngpim 24816

Description: The induced metric of a normed group is a function. (Contributed by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngpim.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngpim.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tngngpim.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngpim.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
tngngpim	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem tngngpim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpim.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		tngngpim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3	1, 2	nmf 24772	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4		tngngpim.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
5	2	oveq2i 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
6	4, 5	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
7	6	nrmtngnrm 24815	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))
8		tngngpim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
9	4, 1, 8	tngngp2 24809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))
10		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11	9, 10	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
12	11	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)) → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
14	7, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
15		metf 24487	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
16	14, 15	syl6 36	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
17	3, 16	mpd 16	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  Basecbs 17264  distcds 17314  Grpcgrp 18995  Metcmet 21508  normcnm 24733  NrmGrpcngp 24734   toNrmGrp ctng 24735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-tset 17324  df-ds 17327  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-topgen 17491  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-xms 24477  df-ms 24478  df-nm 24739  df-ngp 24740  df-tng 24741

This theorem is referenced by: (None)