Theorem tngngpim 24594

Description: The induced metric of a normed group is a function. (Contributed by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngpim.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngpim.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tngngpim.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngpim.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
tngngpim	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Proof of Theorem tngngpim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpim.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		tngngpim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3	1, 2	nmf 24550	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
4		tngngpim.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
5	2	oveq2i 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
6	4, 5	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
7	6	nrmtngnrm 24593	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)))
8		tngngpim.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
9	4, 1, 8	tngngp2 24587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
11	9, 10	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
12	11	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) = (norm‘𝐺)) → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
14	7, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
15		metf 24265	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
16	14, 15	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
17	3, 16	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5619  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  Basecbs 17127  distcds 17177  Grpcgrp 18854  Metcmet 21286  normcnm 24511  NrmGrpcngp 24512   toNrmGrp ctng 24513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-tset 17187  df-ds 17190  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-topgen 17354  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-xms 24255  df-ms 24256  df-nm 24517  df-ngp 24518  df-tng 24519

This theorem is referenced by: (None)