Theorem xmetcl 24705

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24703	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7623	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   × cxp 5656  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381  ∞Metcxmet 21714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887  df-xr 11386  df-xmet 21722

This theorem is used by:  xmetge0  24718  xmetlecl  24720  xmetsym  24721  xmetrtri  24729  xmetrtri2  24730  xmetgt0  24732  prdsdsf  24741  prdsxmetlem  24742  imasdsf1olem  24747  imasf1oxmet  24749  xpsdsval  24755  xblpnf  24770  bldisj  24772  blgt0  24773  xblss2  24776  blhalf  24779  xbln0  24788  blin  24795  blss  24799  xmscl  24836  prdsbl  24865  blsscls2  24878  blcld  24879  blcls  24880  comet  24887  stdbdxmet  24889  stdbdmet  24890  stdbdbl  24891  tmsxpsval2  24913  metcnpi3  24920  txmetcnp  24921  xrsmopn  25187  metdcnlem  25211  metdsf  25223  metdsge  25224  metdstri  25226  metdsle  25227  metdscnlem  25230  metnrmlem1  25234  metnrmlem3  25236  lmnn  25639  iscfil2  25642  iscau3  25654  dvlip2  26370  heicant  38841