Theorem xmetcl 24391

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24389	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7566	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1176	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142   × cxp 5645  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝ^*cxr 11215  ∞Metcxmet 21409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810  df-xr 11220  df-xmet 21417

This theorem is referenced by:  xmetge0  24404  xmetlecl  24406  xmetsym  24407  xmetrtri  24415  xmetrtri2  24416  xmetgt0  24418  prdsdsf  24427  prdsxmetlem  24428  imasdsf1olem  24433  imasf1oxmet  24435  xpsdsval  24441  xblpnf  24456  bldisj  24458  blgt0  24459  xblss2  24462  blhalf  24465  xbln0  24474  blin  24481  blss  24485  xmscl  24522  prdsbl  24551  blsscls2  24564  blcld  24565  blcls  24566  comet  24573  stdbdxmet  24575  stdbdmet  24576  stdbdbl  24577  tmsxpsval2  24599  metcnpi3  24606  txmetcnp  24607  xrsmopn  24873  metdcnlem  24897  metdsf  24909  metdsge  24910  metdstri  24912  metdsle  24913  metdscnlem  24916  metnrmlem1  24920  metnrmlem3  24922  lmnn  25325  iscfil2  25328  iscau3  25340  dvlip2  26057  heicant  38154