Theorem xmetcl 24281

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24279	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7591	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   × cxp 5676  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℝ^*cxr 11279  ∞Metcxmet 21281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8847  df-xr 11284  df-xmet 21289

This theorem is referenced by:  xmetge0  24294  xmetlecl  24296  xmetsym  24297  xmetrtri  24305  xmetrtri2  24306  xmetgt0  24308  prdsdsf  24317  prdsxmetlem  24318  imasdsf1olem  24323  imasf1oxmet  24325  xpsdsval  24331  xblpnf  24346  bldisj  24348  blgt0  24349  xblss2  24352  blhalf  24355  xbln0  24364  blin  24371  blss  24375  xmscl  24412  prdsbl  24444  blsscls2  24457  blcld  24458  blcls  24459  comet  24466  stdbdxmet  24468  stdbdmet  24469  stdbdbl  24470  tmsxpsval2  24492  metcnpi3  24499  txmetcnp  24500  xrsmopn  24772  metdcnlem  24796  metdsf  24808  metdsge  24809  metdstri  24811  metdsle  24812  metdscnlem  24815  metnrmlem1  24819  metnrmlem3  24821  lmnn  25235  iscfil2  25238  iscau3  25250  dvlip2  25972  heicant  37259