Theorem xmetcl 24314

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24312	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7526	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1169	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11169  ∞Metcxmet 21332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8765  df-xr 11174  df-xmet 21340

This theorem is referenced by:  xmetge0  24327  xmetlecl  24329  xmetsym  24330  xmetrtri  24338  xmetrtri2  24339  xmetgt0  24341  prdsdsf  24350  prdsxmetlem  24351  imasdsf1olem  24356  imasf1oxmet  24358  xpsdsval  24364  xblpnf  24379  bldisj  24381  blgt0  24382  xblss2  24385  blhalf  24388  xbln0  24397  blin  24404  blss  24408  xmscl  24445  prdsbl  24474  blsscls2  24487  blcld  24488  blcls  24489  comet  24496  stdbdxmet  24498  stdbdmet  24499  stdbdbl  24500  tmsxpsval2  24522  metcnpi3  24529  txmetcnp  24530  xrsmopn  24796  metdcnlem  24820  metdsf  24832  metdsge  24833  metdstri  24835  metdsle  24836  metdscnlem  24839  metnrmlem1  24843  metnrmlem3  24845  lmnn  25248  iscfil2  25251  iscau3  25263  dvlip2  25980  heicant  38022