Theorem xmetcl 24558

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24556	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7585	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   × cxp 5653  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11267  ∞Metcxmet 21571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8829  df-xr 11272  df-xmet 21579

This theorem is used by:  xmetge0  24571  xmetlecl  24573  xmetsym  24574  xmetrtri  24582  xmetrtri2  24583  xmetgt0  24585  prdsdsf  24594  prdsxmetlem  24595  imasdsf1olem  24600  imasf1oxmet  24602  xpsdsval  24608  xblpnf  24623  bldisj  24625  blgt0  24626  xblss2  24629  blhalf  24632  xbln0  24641  blin  24648  blss  24652  xmscl  24689  prdsbl  24718  blsscls2  24731  blcld  24732  blcls  24733  comet  24740  stdbdxmet  24742  stdbdmet  24743  stdbdbl  24744  tmsxpsval2  24766  metcnpi3  24773  txmetcnp  24774  xrsmopn  25040  metdcnlem  25064  metdsf  25076  metdsge  25077  metdstri  25079  metdsle  25080  metdscnlem  25083  metnrmlem1  25087  metnrmlem3  25089  lmnn  25492  iscfil2  25495  iscau3  25507  dvlip2  26223  heicant  38405