Theorem xmetcl 23087

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 23085	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovrn 7337	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2114   × cxp 5524  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173  ℝ^*cxr 10755  ∞Metcxmet 20205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-fv 6348  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-map 8442  df-xr 10760  df-xmet 20213

This theorem is referenced by:  xmetge0  23100  xmetlecl  23102  xmetsym  23103  xmetrtri  23111  xmetrtri2  23112  xmetgt0  23114  prdsdsf  23123  prdsxmetlem  23124  imasdsf1olem  23129  imasf1oxmet  23131  xpsdsval  23137  xblpnf  23152  bldisj  23154  blgt0  23155  xblss2  23158  blhalf  23161  xbln0  23170  blin  23177  blss  23181  xmscl  23218  prdsbl  23247  blsscls2  23260  blcld  23261  blcls  23262  comet  23269  stdbdxmet  23271  stdbdmet  23272  stdbdbl  23273  tmsxpsval2  23295  metcnpi3  23302  txmetcnp  23303  xrsmopn  23567  metdcnlem  23591  metdsf  23603  metdsge  23604  metdstri  23606  metdsle  23607  metdscnlem  23610  metnrmlem1  23614  metnrmlem3  23616  lmnn  24018  iscfil2  24021  iscau3  24033  dvlip2  24750  heicant  35458