Theorem xmetcl 23837

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 23835	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7577	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   × cxp 5675  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11247  ∞Metcxmet 20929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-xr 11252  df-xmet 20937

This theorem is referenced by:  xmetge0  23850  xmetlecl  23852  xmetsym  23853  xmetrtri  23861  xmetrtri2  23862  xmetgt0  23864  prdsdsf  23873  prdsxmetlem  23874  imasdsf1olem  23879  imasf1oxmet  23881  xpsdsval  23887  xblpnf  23902  bldisj  23904  blgt0  23905  xblss2  23908  blhalf  23911  xbln0  23920  blin  23927  blss  23931  xmscl  23968  prdsbl  24000  blsscls2  24013  blcld  24014  blcls  24015  comet  24022  stdbdxmet  24024  stdbdmet  24025  stdbdbl  24026  tmsxpsval2  24048  metcnpi3  24055  txmetcnp  24056  xrsmopn  24328  metdcnlem  24352  metdsf  24364  metdsge  24365  metdstri  24367  metdsle  24368  metdscnlem  24371  metnrmlem1  24375  metnrmlem3  24377  lmnn  24780  iscfil2  24783  iscau3  24795  dvlip2  25512  heicant  36571