Theorem xmetcl 24563

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24561	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7588	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝ^*cxr 11270  ∞Metcxmet 21576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-map 8832  df-xr 11275  df-xmet 21584

This theorem is used by:  xmetge0  24576  xmetlecl  24578  xmetsym  24579  xmetrtri  24587  xmetrtri2  24588  xmetgt0  24590  prdsdsf  24599  prdsxmetlem  24600  imasdsf1olem  24605  imasf1oxmet  24607  xpsdsval  24613  xblpnf  24628  bldisj  24630  blgt0  24631  xblss2  24634  blhalf  24637  xbln0  24646  blin  24653  blss  24657  xmscl  24694  prdsbl  24723  blsscls2  24736  blcld  24737  blcls  24738  comet  24745  stdbdxmet  24747  stdbdmet  24748  stdbdbl  24749  tmsxpsval2  24771  metcnpi3  24778  txmetcnp  24779  xrsmopn  25045  metdcnlem  25069  metdsf  25081  metdsge  25082  metdstri  25084  metdsle  25085  metdscnlem  25088  metnrmlem1  25092  metnrmlem3  25094  lmnn  25497  iscfil2  25500  iscau3  25512  dvlip2  26229  heicant  38412