MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetcl 22875
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 22873 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 fovrn 7312 . 2 ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
31, 2syl3an1 1157 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081  wcel 2107   × cxp 5552  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  *cxr 10668  ∞Metcxmet 20465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8403  df-xr 10673  df-xmet 20473
This theorem is referenced by:  xmetge0  22888  xmetlecl  22890  xmetsym  22891  xmetrtri  22899  xmetrtri2  22900  xmetgt0  22902  prdsdsf  22911  prdsxmetlem  22912  imasdsf1olem  22917  imasf1oxmet  22919  xpsdsval  22925  xblpnf  22940  bldisj  22942  blgt0  22943  xblss2  22946  blhalf  22949  xbln0  22958  blin  22965  blss  22969  xmscl  23006  prdsbl  23035  blsscls2  23048  blcld  23049  blcls  23050  comet  23057  stdbdxmet  23059  stdbdmet  23060  stdbdbl  23061  tmsxpsval2  23083  metcnpi3  23090  txmetcnp  23091  xrsmopn  23354  metdcnlem  23378  metdsf  23390  metdsge  23391  metdstri  23393  metdsle  23394  metdscnlem  23397  metnrmlem1  23401  metnrmlem3  23403  lmnn  23800  iscfil2  23803  iscau3  23815  dvlip2  24526  heicant  34813
  Copyright terms: Public domain W3C validator