Theorem xmetcl 24541

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24539	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7590	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝ^*cxr 11259  ∞Metcxmet 21559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-xr 11264  df-xmet 21567

This theorem is used by:  xmetge0  24554  xmetlecl  24556  xmetsym  24557  xmetrtri  24565  xmetrtri2  24566  xmetgt0  24568  prdsdsf  24577  prdsxmetlem  24578  imasdsf1olem  24583  imasf1oxmet  24585  xpsdsval  24591  xblpnf  24606  bldisj  24608  blgt0  24609  xblss2  24612  blhalf  24615  xbln0  24624  blin  24631  blss  24635  xmscl  24672  prdsbl  24701  blsscls2  24714  blcld  24715  blcls  24716  comet  24723  stdbdxmet  24725  stdbdmet  24726  stdbdbl  24727  tmsxpsval2  24749  metcnpi3  24756  txmetcnp  24757  xrsmopn  25023  metdcnlem  25047  metdsf  25059  metdsge  25060  metdstri  25062  metdsle  25063  metdscnlem  25066  metnrmlem1  25070  metnrmlem3  25072  lmnn  25475  iscfil2  25478  iscau3  25490  dvlip2  26207  heicant  38365