Theorem xmetcl 24488

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24486	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7580	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11237  ∞Metcxmet 21507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-xr 11242  df-xmet 21515

This theorem is referenced by:  xmetge0  24501  xmetlecl  24503  xmetsym  24504  xmetrtri  24512  xmetrtri2  24513  xmetgt0  24515  prdsdsf  24524  prdsxmetlem  24525  imasdsf1olem  24530  imasf1oxmet  24532  xpsdsval  24538  xblpnf  24553  bldisj  24555  blgt0  24556  xblss2  24559  blhalf  24562  xbln0  24571  blin  24578  blss  24582  xmscl  24619  prdsbl  24648  blsscls2  24661  blcld  24662  blcls  24663  comet  24670  stdbdxmet  24672  stdbdmet  24673  stdbdbl  24674  tmsxpsval2  24696  metcnpi3  24703  txmetcnp  24704  xrsmopn  24970  metdcnlem  24994  metdsf  25006  metdsge  25007  metdstri  25009  metdsle  25010  metdscnlem  25013  metnrmlem1  25017  metnrmlem3  25019  lmnn  25422  iscfil2  25425  iscau3  25437  dvlip2  26154  heicant  38326