Theorem xmetcl 24217

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24215	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7519	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   × cxp 5617  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝ^*cxr 11148  ∞Metcxmet 21246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-map 8755  df-xr 11153  df-xmet 21254

This theorem is referenced by:  xmetge0  24230  xmetlecl  24232  xmetsym  24233  xmetrtri  24241  xmetrtri2  24242  xmetgt0  24244  prdsdsf  24253  prdsxmetlem  24254  imasdsf1olem  24259  imasf1oxmet  24261  xpsdsval  24267  xblpnf  24282  bldisj  24284  blgt0  24285  xblss2  24288  blhalf  24291  xbln0  24300  blin  24307  blss  24311  xmscl  24348  prdsbl  24377  blsscls2  24390  blcld  24391  blcls  24392  comet  24399  stdbdxmet  24401  stdbdmet  24402  stdbdbl  24403  tmsxpsval2  24425  metcnpi3  24432  txmetcnp  24433  xrsmopn  24699  metdcnlem  24723  metdsf  24735  metdsge  24736  metdstri  24738  metdsle  24739  metdscnlem  24742  metnrmlem1  24746  metnrmlem3  24748  lmnn  25161  iscfil2  25164  iscau3  25176  dvlip2  25898  heicant  37639