Theorem xmetcl 24457

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24455	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7581	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1179	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   × cxp 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝ^*cxr 11242  ∞Metcxmet 21476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8826  df-xr 11247  df-xmet 21484

This theorem is referenced by:  xmetge0  24470  xmetlecl  24472  xmetsym  24473  xmetrtri  24481  xmetrtri2  24482  xmetgt0  24484  prdsdsf  24493  prdsxmetlem  24494  imasdsf1olem  24499  imasf1oxmet  24501  xpsdsval  24507  xblpnf  24522  bldisj  24524  blgt0  24525  xblss2  24528  blhalf  24531  xbln0  24540  blin  24547  blss  24551  xmscl  24588  prdsbl  24617  blsscls2  24630  blcld  24631  blcls  24632  comet  24639  stdbdxmet  24641  stdbdmet  24642  stdbdbl  24643  tmsxpsval2  24665  metcnpi3  24672  txmetcnp  24673  xrsmopn  24939  metdcnlem  24963  metdsf  24975  metdsge  24976  metdstri  24978  metdsle  24979  metdscnlem  24982  metnrmlem1  24986  metnrmlem3  24988  lmnn  25391  iscfil2  25394  iscau3  25406  dvlip2  26123  heicant  38194