Theorem xmetcl 23484

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 23482	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovrn 7442	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1162	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   × cxp 5587  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝ^*cxr 11008  ∞Metcxmet 20582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-xr 11013  df-xmet 20590

This theorem is referenced by:  xmetge0  23497  xmetlecl  23499  xmetsym  23500  xmetrtri  23508  xmetrtri2  23509  xmetgt0  23511  prdsdsf  23520  prdsxmetlem  23521  imasdsf1olem  23526  imasf1oxmet  23528  xpsdsval  23534  xblpnf  23549  bldisj  23551  blgt0  23552  xblss2  23555  blhalf  23558  xbln0  23567  blin  23574  blss  23578  xmscl  23615  prdsbl  23647  blsscls2  23660  blcld  23661  blcls  23662  comet  23669  stdbdxmet  23671  stdbdmet  23672  stdbdbl  23673  tmsxpsval2  23695  metcnpi3  23702  txmetcnp  23703  xrsmopn  23975  metdcnlem  23999  metdsf  24011  metdsge  24012  metdstri  24014  metdsle  24015  metdscnlem  24018  metnrmlem1  24022  metnrmlem3  24024  lmnn  24427  iscfil2  24430  iscau3  24442  dvlip2  25159  heicant  35812