Theorem xmetcl 24275

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24273	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7528	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11165  ∞Metcxmet 21294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-xr 11170  df-xmet 21302

This theorem is referenced by:  xmetge0  24288  xmetlecl  24290  xmetsym  24291  xmetrtri  24299  xmetrtri2  24300  xmetgt0  24302  prdsdsf  24311  prdsxmetlem  24312  imasdsf1olem  24317  imasf1oxmet  24319  xpsdsval  24325  xblpnf  24340  bldisj  24342  blgt0  24343  xblss2  24346  blhalf  24349  xbln0  24358  blin  24365  blss  24369  xmscl  24406  prdsbl  24435  blsscls2  24448  blcld  24449  blcls  24450  comet  24457  stdbdxmet  24459  stdbdmet  24460  stdbdbl  24461  tmsxpsval2  24483  metcnpi3  24490  txmetcnp  24491  xrsmopn  24757  metdcnlem  24781  metdsf  24793  metdsge  24794  metdstri  24796  metdsle  24797  metdscnlem  24800  metnrmlem1  24804  metnrmlem3  24806  lmnn  25219  iscfil2  25222  iscau3  25234  dvlip2  25956  heicant  37856