Theorem xmetcl 24226

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24224	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7562	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝ^*cxr 11214  ∞Metcxmet 21256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-xr 11219  df-xmet 21264

This theorem is referenced by:  xmetge0  24239  xmetlecl  24241  xmetsym  24242  xmetrtri  24250  xmetrtri2  24251  xmetgt0  24253  prdsdsf  24262  prdsxmetlem  24263  imasdsf1olem  24268  imasf1oxmet  24270  xpsdsval  24276  xblpnf  24291  bldisj  24293  blgt0  24294  xblss2  24297  blhalf  24300  xbln0  24309  blin  24316  blss  24320  xmscl  24357  prdsbl  24386  blsscls2  24399  blcld  24400  blcls  24401  comet  24408  stdbdxmet  24410  stdbdmet  24411  stdbdbl  24412  tmsxpsval2  24434  metcnpi3  24441  txmetcnp  24442  xrsmopn  24708  metdcnlem  24732  metdsf  24744  metdsge  24745  metdstri  24747  metdsle  24748  metdscnlem  24751  metnrmlem1  24755  metnrmlem3  24757  lmnn  25170  iscfil2  25173  iscau3  25185  dvlip2  25907  heicant  37656