Theorem xmetcl 22943

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 22941	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovrn 7320	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1159	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   × cxp 5555  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝ^*cxr 10676  ∞Metcxmet 20532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-map 8410  df-xr 10681  df-xmet 20540

This theorem is referenced by:  xmetge0  22956  xmetlecl  22958  xmetsym  22959  xmetrtri  22967  xmetrtri2  22968  xmetgt0  22970  prdsdsf  22979  prdsxmetlem  22980  imasdsf1olem  22985  imasf1oxmet  22987  xpsdsval  22993  xblpnf  23008  bldisj  23010  blgt0  23011  xblss2  23014  blhalf  23017  xbln0  23026  blin  23033  blss  23037  xmscl  23074  prdsbl  23103  blsscls2  23116  blcld  23117  blcls  23118  comet  23125  stdbdxmet  23127  stdbdmet  23128  stdbdbl  23129  tmsxpsval2  23151  metcnpi3  23158  txmetcnp  23159  xrsmopn  23422  metdcnlem  23446  metdsf  23458  metdsge  23459  metdstri  23461  metdsle  23462  metdscnlem  23465  metnrmlem1  23469  metnrmlem3  23471  lmnn  23868  iscfil2  23871  iscau3  23883  dvlip2  24594  heicant  34929