Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd3 36243
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isbnd3
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndmet 36240 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
2 0re 11157 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
32ne0ii 4297 . . . . 5 ℝ ≠ ∅
4 metf 23683 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
54ffnd 6669 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
76ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
81, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
98fdmd 6679 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → dom 𝑀 = (𝑋 × 𝑋))
10 xpeq2 5654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × ∅))
11 xp0 6110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 × ∅) = ∅
1210, 11eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = ∅)
139, 12sylan9eq 2796 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → dom 𝑀 = ∅)
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → dom 𝑀 = ∅)
15 dm0rn0 5880 . . . . . . . . 9 (dom 𝑀 = ∅ ↔ ran 𝑀 = ∅)
1614, 15sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 = ∅)
17 0ss 4356 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (0[,]𝑥)
1816, 17eqsstrdi 3998 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥))
19 df-f 6500 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥)))
207, 18, 19sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
2120ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
22 r19.2z 4452 . . . . 5 ((ℝ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
233, 21, 22sylancr 587 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
24 isbnd2 36242 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
2524simprbi 497 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
26 2re 12227 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
27 simprlr 778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2827rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
29 remulcl 11136 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
3026, 28, 29sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
315adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
32 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
33 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥𝑋)
34 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧𝑋)
35 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
37 metge0 23698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
3832, 33, 34, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
3930adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
40 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑦𝑋)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑦𝑋)
42 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
4332, 41, 33, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
44 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4532, 41, 34, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) ∈ ℝ)
47 mettri2 23694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
4832, 41, 33, 34, 47syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
4928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
50 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
5133, 50eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
52 metxmet 23687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5332, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
54 rpxr 12924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
5554ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
5655ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
57 elbl2 23743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
5853, 56, 41, 33, 57syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
5951, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟)
6034, 50eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
61 elbl2 23743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
6253, 56, 41, 34, 61syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟)
6443, 45, 49, 49, 59, 63lt2addd 11778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (𝑟 + 𝑟))
6549recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℂ)
66652timesd 12396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (2 · 𝑟) = (𝑟 + 𝑟))
6764, 66breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (2 · 𝑟))
6836, 46, 39, 48, 67lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) < (2 · 𝑟))
6936, 39, 68ltled 11303 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))
70 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
712, 39, 70sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
7236, 38, 69, 71mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
7372ralrimivva 3197 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
74 ffnov 7483 . . . . . . . . . . 11 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟))))
7531, 73, 74sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)))
76 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (2 · 𝑟) → (0[,]𝑥) = (0[,](2 · 𝑟)))
7776feq3d 6655 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (2 · 𝑟) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))))
7877rspcev 3581 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
7930, 75, 78syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
8079expr 457 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8180rexlimdvva 3205 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
821, 81syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8382adantr 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8425, 83mpd 15 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
8523, 84pm2.61dane 3032 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
861, 85jca 512 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
87 simpll 765 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
88 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
8987adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
90 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
91 met0 23696 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
9289, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
93 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
9493, 90, 90fovcdmd 7526 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥))
95 elicc2 13329 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
962, 88, 95sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
9794, 96mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥))
9897simp3d 1144 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)
9992, 98eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ 𝑥)
10088, 99ge0p1rpd 12987 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
101 fovcdm 7524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
1021013expa 1118 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
103102adantlll 716 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
104 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
1052, 88, 104sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
107103, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
108107simp1d 1142 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
10988adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
110 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
11188, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
112111adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
113107simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)
114109ltp1d 12085 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
115108, 109, 112, 113, 114lelttrd 11313 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
116115ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
117 rabid2 3436 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)} ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
118116, 117sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
11989, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
120111rexrd 11205 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
121 blval 23739 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
122119, 90, 120, 121syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
123118, 122eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
124 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑥 + 1) → (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
125124rspceeqv 3595 . . . . . 6 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ+𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
126100, 123, 125syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
127126ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
128 isbnd 36239 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
12987, 127, 128sylanbrc 583 . . 3 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
130129r19.29an 3155 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
13186, 130impbii 208 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  2c2 12208  +crp 12915  [,]cicc 13267  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  Bndcbnd 36226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-bnd 36238
This theorem is referenced by:  isbnd3b  36244  prdsbnd  36252
  Copyright terms: Public domain W3C validator