Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isbnd3 36700
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑋
Proof of Theorem isbnd3
Dummy variables π‘Ÿ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndmet 36697 . . 3 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 0re 11216 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
32ne0ii 4338 . . . . 5 ℝ β‰  βˆ…
4 metf 23836 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
54ffnd 6719 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
76ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑀 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
81, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
98fdmd 6729 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝑀 = (𝑋 Γ— 𝑋))
10 xpeq2 5698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) = (𝑋 Γ— βˆ…))
11 xp0 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 Γ— βˆ…) = βˆ…
1210, 11eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = βˆ… β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) = βˆ…)
139, 12sylan9eq 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ dom 𝑀 = βˆ…)
1413adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ dom 𝑀 = βˆ…)
15 dm0rn0 5925 . . . . . . . . 9 (dom 𝑀 = βˆ… ↔ ran 𝑀 = βˆ…)
1614, 15sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ran 𝑀 = βˆ…)
17 0ss 4397 . . . . . . . 8 βˆ… βŠ† (0[,]π‘₯)
1816, 17eqsstrdi 4037 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ran 𝑀 βŠ† (0[,]π‘₯))
19 df-f 6548 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ ran 𝑀 βŠ† (0[,]π‘₯)))
207, 18, 19sylanbrc 584 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯))
2120ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯))
22 r19.2z 4495 . . . . 5 ((ℝ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯))
233, 21, 22sylancr 588 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯))
24 isbnd2 36699 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ↔ (𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
2524simprbi 498 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
26 2re 12286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
27 simprlr 779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2827rpred 13016 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
29 remulcl 11195 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (2 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ)
3026, 28, 29sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) β†’ (2 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ)
315adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) β†’ 𝑀 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
32 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
33 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
34 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
35 metcl 23838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑀𝑧) ∈ ℝ)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑧) ∈ ℝ)
37 metge0 23851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝑀𝑧))
3832, 33, 34, 37syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝑀𝑧))
3930adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (2 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ)
40 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
42 metcl 23838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀π‘₯) ∈ ℝ)
4332, 41, 33, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦𝑀π‘₯) ∈ ℝ)
44 metcl 23838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4532, 41, 34, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦𝑀π‘₯) + (𝑦𝑀𝑧)) ∈ ℝ)
47 mettri2 23847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑧) ≀ ((𝑦𝑀π‘₯) + (𝑦𝑀𝑧)))
4832, 41, 33, 34, 47syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑧) ≀ ((𝑦𝑀π‘₯) + (𝑦𝑀𝑧)))
4928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
50 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
5133, 50eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
52 metxmet 23840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5332, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
54 rpxr 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
57 elbl2 23896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ (𝑦𝑀π‘₯) < π‘Ÿ))
5853, 56, 41, 33, 57syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ (𝑦𝑀π‘₯) < π‘Ÿ))
5951, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦𝑀π‘₯) < π‘Ÿ)
6034, 50eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
61 elbl2 23896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < π‘Ÿ))
6253, 56, 41, 34, 61syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < π‘Ÿ))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦𝑀𝑧) < π‘Ÿ)
6443, 45, 49, 49, 59, 63lt2addd 11837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦𝑀π‘₯) + (𝑦𝑀𝑧)) < (π‘Ÿ + π‘Ÿ))
6549recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
66652timesd 12455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (2 Β· π‘Ÿ) = (π‘Ÿ + π‘Ÿ))
6764, 66breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦𝑀π‘₯) + (𝑦𝑀𝑧)) < (2 Β· π‘Ÿ))
6836, 46, 39, 48, 67lelttrd 11372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑧) < (2 Β· π‘Ÿ))
6936, 39, 68ltled 11362 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑧) ≀ (2 Β· π‘Ÿ))
70 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 Β· π‘Ÿ)) ↔ ((π‘₯𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯𝑀𝑧) ∧ (π‘₯𝑀𝑧) ≀ (2 Β· π‘Ÿ))))
712, 39, 70sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 Β· π‘Ÿ)) ↔ ((π‘₯𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯𝑀𝑧) ∧ (π‘₯𝑀𝑧) ≀ (2 Β· π‘Ÿ))))
7236, 38, 69, 71mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 Β· π‘Ÿ)))
7372ralrimivva 3201 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 Β· π‘Ÿ)))
74 ffnov 7535 . . . . . . . . . . 11 (𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,](2 Β· π‘Ÿ)) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 Β· π‘Ÿ))))
7531, 73, 74sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,](2 Β· π‘Ÿ)))
76 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (2 Β· π‘Ÿ) β†’ (0[,]π‘₯) = (0[,](2 Β· π‘Ÿ)))
7776feq3d 6705 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (2 Β· π‘Ÿ) β†’ (𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯) ↔ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,](2 Β· π‘Ÿ))))
7877rspcev 3613 . . . . . . . . . 10 (((2 Β· π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,](2 Β· π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯))
7930, 75, 78syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯))
8079expr 458 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)))
8180rexlimdvva 3212 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)))
821, 81syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)))
8382adantr 482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)))
8425, 83mpd 15 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯))
8523, 84pm2.61dane 3030 . . 3 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯))
861, 85jca 513 . 2 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) β†’ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)))
87 simpll 766 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
88 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8987adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
90 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
91 met0 23849 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑦) = 0)
9289, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑦) = 0)
93 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯))
9493, 90, 90fovcdmd 7579 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]π‘₯))
95 elicc2 13389 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≀ π‘₯)))
962, 88, 95sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≀ π‘₯)))
9794, 96mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≀ π‘₯))
9897simp3d 1145 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑦) ≀ π‘₯)
9992, 98eqbrtrrd 5173 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ π‘₯)
10088, 99ge0p1rpd 13046 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ+)
101 fovcdm 7577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯))
1021013expa 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯))
103102adantlll 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯))
104 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯)))
1052, 88, 104sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯)))
106105adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯)))
107103, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
108107simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
10988adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
110 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
11188, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
112111adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
113107simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯)
114109ltp1d 12144 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + 1))
115108, 109, 112, 113, 114lelttrd 11372 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑧) < (π‘₯ + 1))
116115ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (π‘₯ + 1))
117 rabid2 3465 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (π‘₯ + 1)} ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (π‘₯ + 1))
118116, 117sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (π‘₯ + 1)})
11989, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
120111rexrd 11264 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
121 blval 23892 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)(π‘₯ + 1)) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (π‘₯ + 1)})
122119, 90, 120, 121syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)(π‘₯ + 1)) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (π‘₯ + 1)})
123118, 122eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)(π‘₯ + 1)))
124 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (π‘₯ + 1) β†’ (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π‘€)(π‘₯ + 1)))
125124rspceeqv 3634 . . . . . 6 (((π‘₯ + 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)(π‘₯ + 1))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
126100, 123, 125syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
127126ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ))
128 isbnd 36696 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ballβ€˜π‘€)π‘Ÿ)))
12987, 127, 128sylanbrc 584 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
130129r19.29an 3159 . 2 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹))
13186, 130impbii 208 1 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  2c2 12267  β„+crp 12974  [,]cicc 13327  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  Bndcbnd 36683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-bnd 36695
This theorem is referenced by:  isbnd3b  36701  prdsbnd  36709
  Copyright terms: Public domain W3C validator