Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd3 33937
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isbnd3
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndmet 33934 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
2 0re 10295 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
32ne0ii 4088 . . . . 5 ℝ ≠ ∅
4 metf 22414 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
54ffnd 6224 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
76ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
81, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
98fdmd 6232 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → dom 𝑀 = (𝑋 × 𝑋))
10 xpeq2 5298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × ∅))
11 xp0 5735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 × ∅) = ∅
1210, 11syl6eq 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = ∅)
139, 12sylan9eq 2819 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → dom 𝑀 = ∅)
1413adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → dom 𝑀 = ∅)
15 dm0rn0 5510 . . . . . . . . 9 (dom 𝑀 = ∅ ↔ ran 𝑀 = ∅)
1614, 15sylib 209 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 = ∅)
17 0ss 4134 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (0[,]𝑥)
1816, 17syl6eqss 3815 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥))
19 df-f 6072 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥)))
207, 18, 19sylanbrc 578 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
2120ralrimiva 3113 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
22 r19.2z 4219 . . . . 5 ((ℝ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
233, 21, 22sylancr 581 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
24 isbnd2 33936 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
2524simprbi 490 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
26 2re 11346 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
27 simprlr 798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2827rpred 12070 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
29 remulcl 10274 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
3026, 28, 29sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
315adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
32 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
33 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥𝑋)
34 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧𝑋)
35 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
37 metge0 22429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
3832, 33, 34, 37syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
3930adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
40 simprll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑦𝑋)
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑦𝑋)
42 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
4332, 41, 33, 42syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
44 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4532, 41, 34, 44syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) ∈ ℝ)
47 mettri2 22425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
4832, 41, 33, 34, 47syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
4928adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
50 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
5133, 50eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
52 metxmet 22418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5332, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
54 rpxr 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
5554ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
5655ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
57 elbl2 22474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
5853, 56, 41, 33, 57syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
5951, 58mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟)
6034, 50eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
61 elbl2 22474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
6253, 56, 41, 34, 61syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
6360, 62mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟)
6443, 45, 49, 49, 59, 63lt2addd 10904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (𝑟 + 𝑟))
6549recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℂ)
66652timesd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (2 · 𝑟) = (𝑟 + 𝑟))
6764, 66breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (2 · 𝑟))
6836, 46, 39, 48, 67lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) < (2 · 𝑟))
6936, 39, 68ltled 10439 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))
70 elicc2 12440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
712, 39, 70sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
7236, 38, 69, 71mpbir3and 1442 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
7372ralrimivva 3118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
74 ffnov 6962 . . . . . . . . . . 11 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟))))
7531, 73, 74sylanbrc 578 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)))
76 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (2 · 𝑟) → (0[,]𝑥) = (0[,](2 · 𝑟)))
7776feq3d 6210 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (2 · 𝑟) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))))
7877rspcev 3461 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
7930, 75, 78syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
8079expr 448 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8180rexlimdvva 3185 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
821, 81syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8382adantr 472 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8425, 83mpd 15 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
8523, 84pm2.61dane 3024 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
861, 85jca 507 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
87 simpll 783 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
88 simpllr 793 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
8987adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
90 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
91 met0 22427 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
9289, 90, 91syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
93 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
9493, 90, 90fovrnd 7004 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥))
95 elicc2 12440 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
962, 88, 95sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
9794, 96mpbid 223 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥))
9897simp3d 1174 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)
9992, 98eqbrtrrd 4833 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ 𝑥)
10088, 99ge0p1rpd 12100 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
101 fovrn 7002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
1021013expa 1147 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
103102adantlll 709 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
104 elicc2 12440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
1052, 88, 104sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
106105adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
107103, 106mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
108107simp1d 1172 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
10988adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
110 peano2re 10463 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
11188, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
112111adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
113107simp3d 1174 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)
114109ltp1d 11208 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
115108, 109, 112, 113, 114lelttrd 10449 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
116115ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
117 rabid2 3266 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)} ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
118116, 117sylibr 225 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
11989, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
120111rexrd 10343 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
121 blval 22470 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
122119, 90, 120, 121syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
123118, 122eqtr4d 2802 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
124 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑥 + 1) → (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
125124rspceeqv 3479 . . . . . 6 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ+𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
126100, 123, 125syl2anc 579 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
127126ralrimiva 3113 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
128 isbnd 33933 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
12987, 127, 128sylanbrc 578 . . 3 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
130129r19.29an 3224 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
13186, 130impbii 200 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809   × cxp 5275  dom cdm 5277  ran crn 5278   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  2c2 11327  +crp 12028  [,]cicc 12380  ∞Metcxmet 20004  Metcmet 20005  ballcbl 20006  Bndcbnd 33920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-er 7947  df-ec 7949  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-2 11335  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-icc 12384  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-bnd 33932
This theorem is referenced by:  isbnd3b  33938  prdsbnd  33946
  Copyright terms: Public domain W3C validator