Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd3 35942
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isbnd3
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndmet 35939 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
2 0re 10977 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
32ne0ii 4271 . . . . 5 ℝ ≠ ∅
4 metf 23483 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
54ffnd 6601 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
76ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
81, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
98fdmd 6611 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → dom 𝑀 = (𝑋 × 𝑋))
10 xpeq2 5610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × ∅))
11 xp0 6061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 × ∅) = ∅
1210, 11eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = ∅)
139, 12sylan9eq 2798 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → dom 𝑀 = ∅)
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → dom 𝑀 = ∅)
15 dm0rn0 5834 . . . . . . . . 9 (dom 𝑀 = ∅ ↔ ran 𝑀 = ∅)
1614, 15sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 = ∅)
17 0ss 4330 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ (0[,]𝑥)
1816, 17eqsstrdi 3975 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥))
19 df-f 6437 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥)))
207, 18, 19sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
2120ralrimiva 3103 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
22 r19.2z 4425 . . . . 5 ((ℝ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
233, 21, 22sylancr 587 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
24 isbnd2 35941 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
2524simprbi 497 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
26 2re 12047 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
27 simprlr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2827rpred 12772 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
29 remulcl 10956 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
3026, 28, 29sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
315adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
32 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
33 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥𝑋)
34 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧𝑋)
35 metcl 23485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
37 metge0 23498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑧𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
3832, 33, 34, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
3930adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
40 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑦𝑋)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑦𝑋)
42 metcl 23485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
4332, 41, 33, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
44 metcl 23485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4532, 41, 34, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) ∈ ℝ)
47 mettri2 23494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
4832, 41, 33, 34, 47syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
4928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
50 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
5133, 50eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
52 metxmet 23487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5332, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
54 rpxr 12739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
5554ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
5655ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
57 elbl2 23543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦𝑋𝑥𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
5853, 56, 41, 33, 57syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
5951, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟)
6034, 50eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
61 elbl2 23543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
6253, 56, 41, 34, 61syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟)
6443, 45, 49, 49, 59, 63lt2addd 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (𝑟 + 𝑟))
6549recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → 𝑟 ∈ ℂ)
66652timesd 12216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (2 · 𝑟) = (𝑟 + 𝑟))
6764, 66breqtrrd 5102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (2 · 𝑟))
6836, 46, 39, 48, 67lelttrd 11133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) < (2 · 𝑟))
6936, 39, 68ltled 11123 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))
70 elicc2 13144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
712, 39, 70sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
7236, 38, 69, 71mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
7372ralrimivva 3123 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
74 ffnov 7401 . . . . . . . . . . 11 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟))))
7531, 73, 74sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)))
76 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (2 · 𝑟) → (0[,]𝑥) = (0[,](2 · 𝑟)))
7776feq3d 6587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (2 · 𝑟) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))))
7877rspcev 3561 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
7930, 75, 78syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
8079expr 457 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8180rexlimdvva 3223 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
821, 81syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8382adantr 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
8425, 83mpd 15 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
8523, 84pm2.61dane 3032 . . 3 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
861, 85jca 512 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
87 simpll 764 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
88 simpllr 773 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
8987adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
90 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
91 met0 23496 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
9289, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
93 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
9493, 90, 90fovrnd 7444 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥))
95 elicc2 13144 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
962, 88, 95sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
9794, 96mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥))
9897simp3d 1143 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)
9992, 98eqbrtrrd 5098 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ 𝑥)
10088, 99ge0p1rpd 12802 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
101 fovrn 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
1021013expa 1117 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
103102adantlll 715 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
104 elicc2 13144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
1052, 88, 104sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
107103, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
108107simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
10988adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
110 peano2re 11148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
11188, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
112111adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
113107simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)
114109ltp1d 11905 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
115108, 109, 112, 113, 114lelttrd 11133 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
116115ralrimiva 3103 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
117 rabid2 3314 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)} ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
118116, 117sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
11989, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
120111rexrd 11025 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
121 blval 23539 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
122119, 90, 120, 121syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
123118, 122eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
124 oveq2 7283 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑥 + 1) → (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
125124rspceeqv 3575 . . . . . 6 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ+𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
126100, 123, 125syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
127126ralrimiva 3103 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
128 isbnd 35938 . . . 4 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
12987, 127, 128sylanbrc 583 . . 3 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
130129r19.29an 3217 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
13186, 130impbii 208 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  wss 3887  c0 4256   class class class wbr 5074   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  2c2 12028  +crp 12730  [,]cicc 13082  ∞Metcxmet 20582  Metcmet 20583  ballcbl 20584  Bndcbnd 35925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-ec 8500  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-icc 13086  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-bnd 35937
This theorem is referenced by:  isbnd3b  35943  prdsbnd  35951
  Copyright terms: Public domain W3C validator