Theorem isbnd3 35869

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3	⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋

Proof of Theorem isbnd3

Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndmet 35866	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
2		0re 10908	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	2	ne0ii 4268	. . . . 5 ⊢ ℝ ≠ ∅
4		metf 23391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
5	4	ffnd 6585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
7	6	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
8	1, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
9	8	fdmd 6595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → dom 𝑀 = (𝑋 × 𝑋))
10		xpeq2 5601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = (𝑋 × ∅))
11		xp0 6050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 × ∅) = ∅
12	10, 11	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 × 𝑋) = ∅)
13	9, 12	sylan9eq 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → dom 𝑀 = ∅)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → dom 𝑀 = ∅)
15		dm0rn0 5823	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom 𝑀 = ∅ ↔ ran 𝑀 = ∅)
16	14, 15	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 = ∅)
17		0ss 4327	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ (0[,]𝑥)
18	16, 17	eqsstrdi 3971	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥))
19		df-f 6422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ran 𝑀 ⊆ (0[,]𝑥)))
20	7, 18, 19	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
21	20	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
22		r19.2z 4422	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
23	3, 21, 22	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
24		isbnd2 35868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
25	24	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
26		2re 11977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
27		simprlr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
28	27	rpred 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
29		remulcl 10887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
30	26, 28, 29	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
31	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
32		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
33		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
34		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
35		metcl 23393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ)
37		metge0 23406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
38	32, 33, 34, 37	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧))
39	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (2 · 𝑟) ∈ ℝ)
40		simprll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
42		metcl 23393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
43	32, 41, 33, 42	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) ∈ ℝ)
44		metcl 23393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
45	32, 41, 34, 44	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
46	43, 45	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) ∈ ℝ)
47		mettri2 23402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
48	32, 41, 33, 34, 47	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)))
49	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
50		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
51	33, 50	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
52		metxmet 23395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
53	32, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
54		rpxr 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
55	54	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
56	55	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
57		elbl2 23451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
58	53, 56, 41, 33, 57	syl22anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟))
59	51, 58	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝑀𝑥) < 𝑟)
60	34, 50	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
61		elbl2 23451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
62	53, 56, 41, 34, 61	syl22anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) ↔ (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟))
63	60, 62	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) < 𝑟)
64	43, 45, 49, 49, 59, 63	lt2addd 11528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (𝑟 + 𝑟))
65	49	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℂ)
66	65	2timesd 12146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (2 · 𝑟) = (𝑟 + 𝑟))
67	64, 66	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑥) + (𝑦𝑀𝑧)) < (2 · 𝑟))
68	36, 46, 39, 48, 67	lelttrd 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) < (2 · 𝑟))
69	36, 39, 68	ltled 11053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))
70		elicc2 13073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
71	2, 39, 70	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)) ↔ ((𝑥𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀𝑧) ∧ (𝑥𝑀𝑧) ≤ (2 · 𝑟))))
72	36, 38, 69, 71	mpbir3and 1340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
73	72	ralrimivva 3114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟)))
74		ffnov 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑧) ∈ (0[,](2 · 𝑟))))
75	31, 73, 74	sylanbrc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟)))
76		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑟) → (0[,]𝑥) = (0[,](2 · 𝑟)))
77	76	feq3d 6571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (2 · 𝑟) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))))
78	77	rspcev 3552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑟) ∈ ℝ ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,](2 · 𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
79	30, 75, 78	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
80	79	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
81	80	rexlimdvva 3222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
82	1, 81	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
83	82	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
84	25, 83	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
85	23, 84	pm2.61dane 3031	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
86	1, 85	jca 511	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
87		simpll 763	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
88		simpllr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
89	87	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
90		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
91		met0 23404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
92	89, 90, 91	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) = 0)
93		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥))
94	93, 90, 90	fovrnd 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥))
95		elicc2 13073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
96	2, 88, 95	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)))
97	94, 96	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑦𝑀𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑦) ∧ (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥))
98	97	simp3d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑦) ≤ 𝑥)
99	92, 98	eqbrtrrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ 𝑥)
100	88, 99	ge0p1rpd 12731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ+)
101		fovrn 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
102	101	3expa 1116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
103	102	adantlll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥))
104		elicc2 13073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
105	2, 88, 104	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
107	103, 106	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
108	107	simp1d 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
109	88	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
110		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
111	88, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
113	107	simp3d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)
114	109	ltp1d 11835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
115	108, 109, 112, 113, 114	lelttrd 11063	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
116	115	ralrimiva 3107	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
117		rabid2 3307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)} ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1))
118	116, 117	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
119	89, 52	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
120	111	rexrd 10956	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
121		blval 23447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
122	119, 90, 120, 121	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝑀𝑧) < (𝑥 + 1)})
123	118, 122	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
124		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (𝑥 + 1) → (𝑦(ball‘𝑀)𝑟) = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1)))
125	124	rspceeqv 3567	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)(𝑥 + 1))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
126	100, 123, 125	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
127	126	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟))
128		isbnd 35865	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑦(ball‘𝑀)𝑟)))
129	87, 127, 128	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
130	129	r19.29an 3216	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋))
131	86, 130	impbii 208	1 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   × cxp 5578  dom cdm 5580  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  [,]cicc 13011  ∞Metcxmet 20495  Metcmet 20496  ballcbl 20497  Bndcbnd 35852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-ec 8458  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-bnd 35864

This theorem is referenced by:  isbnd3b  35870  prdsbnd  35878