Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd3b 36522
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3b (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isbnd3b
StepHypRef Expression
1 isbnd3 36521 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
2 metf 23767 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
4 ffn 6705 . . . . . 6 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
5 ffnov 7520 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
65baib 536 . . . . . 6 (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
73, 4, 63syl 18 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
8 0red 11201 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
9 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 metcl 23769 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
11103expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
1211adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
13 metge0 23782 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
14133expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
1514adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
16 elicc2 13373 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
17 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
1816, 17bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
1918baibd 540 . . . . . . 7 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
208, 9, 12, 15, 19syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
21202ralbidva 3216 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
227, 21bitrd 278 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
2322rexbidva 3176 . . 3 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
2423pm5.32i 575 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
251, 24bitri 274 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5142   × cxp 5668   Fn wfn 6528  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7394  cr 11093  0cc0 11094  cle 11233  [,]cicc 13311  Metcmet 20866  Bndcbnd 36504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-er 8688  df-ec 8690  df-map 8807  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-2 12259  df-rp 12959  df-xneg 13076  df-xadd 13077  df-xmul 13078  df-icc 13315  df-psmet 20872  df-xmet 20873  df-met 20874  df-bl 20875  df-bnd 36516
This theorem is referenced by:  equivbnd  36527  iccbnd  36577
  Copyright terms: Public domain W3C validator