Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd3b 36956
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3b (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isbnd3b
StepHypRef Expression
1 isbnd3 36955 . 2 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)))
2 metf 24056 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
4 ffn 6717 . . . . . 6 (𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ β†’ 𝑀 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
5 ffnov 7537 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯)))
65baib 536 . . . . . 6 (𝑀 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯)))
73, 4, 63syl 18 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯)))
8 0red 11221 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ∈ ℝ)
9 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10 metcl 24058 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
11103expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
1211adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
13 metge0 24071 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧))
14133expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧))
1514adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧))
16 elicc2 13393 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯)))
17 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
1816, 17bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯)))
1918baibd 540 . . . . . . 7 (((0 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑦𝑀𝑧))) β†’ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
208, 9, 12, 15, 19syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
21202ralbidva 3216 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
227, 21bitrd 278 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
2322rexbidva 3176 . . 3 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
2423pm5.32i 575 . 2 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 Γ— 𝑋)⟢(0[,]π‘₯)) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
251, 24bitri 274 1 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π‘‹) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≀ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112   ≀ cle 11253  [,]cicc 13331  Metcmet 21130  Bndcbnd 36938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-bnd 36950
This theorem is referenced by:  equivbnd  36961  iccbnd  37011
  Copyright terms: Public domain W3C validator