Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd3b 37772
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3b (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isbnd3b
StepHypRef Expression
1 isbnd3 37771 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
2 metf 24356 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
4 ffn 6737 . . . . . 6 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
5 ffnov 7559 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
65baib 535 . . . . . 6 (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
73, 4, 63syl 18 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
8 0red 11262 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
9 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 metcl 24358 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
11103expb 1119 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
1211adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
13 metge0 24371 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
14133expb 1119 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
1514adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
16 elicc2 13449 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
17 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
1816, 17bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
1918baibd 539 . . . . . . 7 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
208, 9, 12, 15, 19syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
21202ralbidva 3217 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
227, 21bitrd 279 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
2322rexbidva 3175 . . 3 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
2423pm5.32i 574 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
251, 24bitri 275 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148   × cxp 5687   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  cle 11294  [,]cicc 13387  Metcmet 21368  Bndcbnd 37754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-ec 8746  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-bnd 37766
This theorem is referenced by:  equivbnd  37777  iccbnd  37827
  Copyright terms: Public domain W3C validator