Theorem isbnd3b 37809

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3b	⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isbnd3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd3 37808	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
2		metf 24269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
4		ffn 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
5		ffnov 7533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
6	5	baib 535	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
8		0red 11238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
9		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		metcl 24271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
11	10	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
13		metge0 24284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
14	13	3expb 1120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
15	14	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
16		elicc2 13428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
17		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
18	16, 17	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
19	18	baibd 539	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
20	8, 9, 12, 15, 19	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
21	20	2ralbidva 3203	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
22	7, 21	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
23	22	rexbidva 3162	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
24	23	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
25	1, 24	bitri 275	1 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119   × cxp 5652   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   ≤ cle 11270  [,]cicc 13365  Metcmet 21301  Bndcbnd 37791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-ec 8721  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13369  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-bnd 37803

This theorem is referenced by:  equivbnd  37814  iccbnd  37864