Theorem mins2 27700

Description: The minimum of two surreals is less than or equal to the second. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mins2	⊢ (𝐵 ∈ No → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐵)

Proof of Theorem mins2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slerflex 27695	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ No → 𝐵 ≤s 𝐵)
2		iffalse 4538	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
3	2	breq1d 5158	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → (if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐵 ↔ 𝐵 ≤s 𝐵))
4	1, 3	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ No → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐵))
5		iftrue 4535	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐴 ≤s 𝐵)
7	5, 6	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐵)
8	4, 7	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝐵 ∈ No → if(𝐴 ≤s 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2099  ifcif 4529   class class class wbr 5148   No csur 27572   ≤s csle 27676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-1o 8486  df-2o 8487  df-no 27575  df-slt 27576  df-sle 27677

This theorem is referenced by: (None)