Theorem mulid1 11153

Description: The number 1 is an identity element for multiplication. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mulid1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		recn 11141	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3		ax-icn 11110	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 11141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5		mulcl 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11109	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		adddir 11146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
9	7, 8	mp3an3 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
10	2, 6, 9	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)))
11		ax-1rid 11121	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
12		mulass 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
13	3, 7, 12	mp3an13 1452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
14	4, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · (𝑦 · 1)))
15		ax-1rid 11121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
16	15	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 · 1)) = (i · 𝑦))
17	14, 16	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) · 1) = (i · 𝑦))
18	11, 17	oveqan12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 1) + ((i · 𝑦) · 1)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
19	10, 18	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
20		oveq1 7364	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1))
21		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
22	20, 21	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) · 1) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
23	19, 22	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴))
24	23	rexlimivv 3196	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
25	1, 24	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-mulcl 11113  ax-mulcom 11115  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-1rid 11121  ax-cnre 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-iota 6448  df-fv 6504  df-ov 7360

This theorem is referenced by:  mulid2  11154  mulid1i  11159  mulid1d  11172  muleqadd  11799  divdiv1  11866  conjmul  11872  expmul  14013  binom21  14122  binom2sub1  14124  sq01  14128  bernneq  14132  hashiun  15707  fprodcvg  15813  prodmolem2a  15817  efexp  15983  cncrng  20818  cnfld1  20822  0dgr  25606  ecxp  26028  dvcxp1  26093  dvcncxp1  26096  efrlim  26319  lgsdilem2  26681  axcontlem7  27919  ipasslem2  29774  addltmulALT  31388  0dp2dp  31765  zrhnm  32550  2even  46221