MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efexp 16040
Description: The exponential of an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem efexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 12559 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 mulcom 11192 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
31, 2sylan2 593 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
43fveq2d 6892 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
5 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท 0))
65fveq2d 6892 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท 0)))
7 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
86, 7eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0)))
9 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘˜))
109fveq2d 6892 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)))
11 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
1210, 11eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
13 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)))
1413fveq2d 6892 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))))
15 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1614, 15eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
17 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท -๐‘˜))
1817fveq2d 6892 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)))
19 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))
2018, 19eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
21 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘))
2221fveq2d 6892 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)))
23 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
2422, 23eqeq12d 2748 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
25 ef0 16030 . . . . 5 (expโ€˜0) = 1
26 mul01 11389 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
2726fveq2d 6892 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = (expโ€˜0))
28 efcl 16022 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2928exp0d 14101 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
3025, 27, 293eqtr4a 2798 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
31 oveq1 7412 . . . . . . 7 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
3231adantl 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
33 nn0cn 12478 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
34 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
35 adddi 11195 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
3634, 35mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
37 mulrid 11208 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3938oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4036, 39eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4133, 40sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4241fveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)))
43 mulcl 11190 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4433, 43sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
45 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
46 efadd 16033 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4842, 47eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4948adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
50 expp1 14030 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5128, 50sylan 580 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5251adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5332, 49, 523eqtr4d 2782 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
5453exp31 420 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
55 oveq2 7413 . . . . . 6 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
56 nncn 12216 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
57 mulneg2 11647 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5856, 57sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5958fveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)))
6056, 43sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
61 efneg 16037 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6359, 62eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
64 nnnn0 12475 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
65 expneg 14031 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6628, 64, 65syl2an 596 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6763, 66eqeq12d 2748 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) โ†” (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))))
6855, 67imbitrrid 245 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
6968ex 413 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))))
708, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 69zindd 12659 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
7170imp 407 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
724, 71eqtr3d 2774 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111  -cneg 11441   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ†‘cexp 14023  expce 16001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007
This theorem is referenced by:  efzval  16041  efgt0  16042  tanval3  16073  demoivre  16139  ef2kpi  25979  efif1olem4  26045  explog  26093  reexplog  26094  relogexp  26095  tanarg  26118  root1eq1  26252  vtsprod  33639
  Copyright terms: Public domain W3C validator