MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efexp 15983
Description: The exponential of an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · 𝐴)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem efexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 12504 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 mulcom 11137 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
31, 2sylan2 593 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
43fveq2d 6846 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = (exp‘(𝑁 · 𝐴)))
5 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
65fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
7 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑0))
86, 7eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 0)) = ((exp‘𝐴)↑0)))
9 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
109fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 𝑘)))
11 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑𝑘))
1210, 11eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
13 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
1413fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))))
15 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1614, 15eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
17 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑗 = -𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · -𝑘))
1817fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑗 = -𝑘 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · -𝑘)))
19 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑗 = -𝑘 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘))
2018, 19eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑗 = -𝑘 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘)))
21 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
2221fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 𝑁)))
23 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
2422, 23eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁)))
25 ef0 15973 . . . . 5 (exp‘0) = 1
26 mul01 11334 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
2726fveq2d 6846 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
28 efcl 15965 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2928exp0d 14045 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴)↑0) = 1)
3025, 27, 293eqtr4a 2802 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 0)) = ((exp‘𝐴)↑0))
31 oveq1 7364 . . . . . . 7 ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
3231adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
33 nn0cn 12423 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
35 adddi 11140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
3634, 35mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
37 mulid1 11153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3938oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
4036, 39eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
4133, 40sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
4241fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
43 mulcl 11135 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
4433, 43sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
45 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
46 efadd 15976 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
4842, 47eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
4948adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
50 expp1 13974 . . . . . . . 8 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
5128, 50sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
5251adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
5332, 49, 523eqtr4d 2786 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
5453exp31 420 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
55 oveq2 7365 . . . . . 6 ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
56 nncn 12161 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
57 mulneg2 11592 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝑘) = -(𝐴 · 𝑘))
5856, 57sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · -𝑘) = -(𝐴 · 𝑘))
5958fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = (exp‘-(𝐴 · 𝑘)))
6056, 43sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
61 efneg 15980 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 · 𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘-(𝐴 · 𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
6359, 62eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
64 nnnn0 12420 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
65 expneg 13975 . . . . . . . 8 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑-𝑘) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
6628, 64, 65syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘𝐴)↑-𝑘) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
6763, 66eqeq12d 2752 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘) ↔ (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘))))
6855, 67syl5ibr 245 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘)))
6968ex 413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘))))
708, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 69zindd 12604 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℤ → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁)))
7170imp 407 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
724, 71eqtr3d 2778 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · 𝐴)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cexp 13967  expce 15944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950
This theorem is referenced by:  efzval  15984  efgt0  15985  tanval3  16016  demoivre  16082  ef2kpi  25835  efif1olem4  25901  explog  25949  reexplog  25950  relogexp  25951  tanarg  25974  root1eq1  26108  vtsprod  33252
  Copyright terms: Public domain W3C validator