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Theorem efexp 16137
Description: The exponential of an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · 𝐴)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem efexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 12618 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 mulcom 11241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
31, 2sylan2 593 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐴))
43fveq2d 6910 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = (exp‘(𝑁 · 𝐴)))
5 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 0))
65fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
7 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑0))
86, 7eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 0)) = ((exp‘𝐴)↑0)))
9 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑘))
109fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 𝑘)))
11 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑𝑘))
1210, 11eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
13 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑘 + 1)))
1413fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))))
15 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1614, 15eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
17 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑗 = -𝑘 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · -𝑘))
1817fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑗 = -𝑘 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · -𝑘)))
19 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑗 = -𝑘 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘))
2018, 19eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = -𝑘 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘)))
21 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑁))
2221fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (exp‘(𝐴 · 𝑗)) = (exp‘(𝐴 · 𝑁)))
23 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((exp‘𝐴)↑𝑗) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
2422, 23eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((exp‘(𝐴 · 𝑗)) = ((exp‘𝐴)↑𝑗) ↔ (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁)))
25 ef0 16127 . . . . 5 (exp‘0) = 1
26 mul01 11440 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
2726fveq2d 6910 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
28 efcl 16118 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2928exp0d 14180 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴)↑0) = 1)
3025, 27, 293eqtr4a 2803 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 0)) = ((exp‘𝐴)↑0))
31 oveq1 7438 . . . . . . 7 ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
3231adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
33 nn0cn 12536 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
35 adddi 11244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
3634, 35mp3an3 1452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)))
37 mulrid 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3938oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑘) + (𝐴 · 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
4036, 39eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
4133, 40sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · (𝑘 + 1)) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐴))
4241fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)))
43 mulcl 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
4433, 43sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
45 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
46 efadd 16130 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘((𝐴 · 𝑘) + 𝐴)) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
4842, 47eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
4948adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) · (exp‘𝐴)))
50 expp1 14109 . . . . . . . 8 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
5128, 50sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
5251adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((exp‘𝐴)↑𝑘) · (exp‘𝐴)))
5332, 49, 523eqtr4d 2787 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘)) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
5453exp31 419 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · (𝑘 + 1))) = ((exp‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
55 oveq2 7439 . . . . . 6 ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
56 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
57 mulneg2 11700 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝑘) = -(𝐴 · 𝑘))
5856, 57sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · -𝑘) = -(𝐴 · 𝑘))
5958fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = (exp‘-(𝐴 · 𝑘)))
6056, 43sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
61 efneg 16134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 · 𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘-(𝐴 · 𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
6359, 62eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))))
64 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
65 expneg 14110 . . . . . . . 8 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((exp‘𝐴)↑-𝑘) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
6628, 64, 65syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘𝐴)↑-𝑘) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘)))
6763, 66eqeq12d 2753 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘) ↔ (1 / (exp‘(𝐴 · 𝑘))) = (1 / ((exp‘𝐴)↑𝑘))))
6855, 67imbitrrid 246 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘)))
6968ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ → ((exp‘(𝐴 · 𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑𝑘) → (exp‘(𝐴 · -𝑘)) = ((exp‘𝐴)↑-𝑘))))
708, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 69zindd 12719 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℤ → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁)))
7170imp 406 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐴 · 𝑁)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
724, 71eqtr3d 2779 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · 𝐴)) = ((exp‘𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cexp 14102  expce 16097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103
This theorem is referenced by:  efzval  16138  efgt0  16139  tanval3  16170  demoivre  16236  ef2kpi  26520  efif1olem4  26587  explog  26636  reexplog  26637  relogexp  26638  tanarg  26661  root1eq1  26798  vtsprod  34654
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