MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efexp 16047
Description: The exponential of an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem efexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 12562 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 mulcom 11193 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
31, 2sylan2 592 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
43fveq2d 6886 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
5 oveq2 7410 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท 0))
65fveq2d 6886 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท 0)))
7 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
86, 7eqeq12d 2740 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0)))
9 oveq2 7410 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘˜))
109fveq2d 6886 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)))
11 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
1210, 11eqeq12d 2740 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
13 oveq2 7410 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)))
1413fveq2d 6886 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))))
15 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1614, 15eqeq12d 2740 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
17 oveq2 7410 . . . . . 6 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท -๐‘˜))
1817fveq2d 6886 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)))
19 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))
2018, 19eqeq12d 2740 . . . 4 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
21 oveq2 7410 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘))
2221fveq2d 6886 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)))
23 oveq2 7410 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
2422, 23eqeq12d 2740 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
25 ef0 16037 . . . . 5 (expโ€˜0) = 1
26 mul01 11392 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
2726fveq2d 6886 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = (expโ€˜0))
28 efcl 16028 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2928exp0d 14106 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
3025, 27, 293eqtr4a 2790 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
31 oveq1 7409 . . . . . . 7 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
3231adantl 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
33 nn0cn 12481 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
34 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
35 adddi 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
3634, 35mp3an3 1446 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
37 mulrid 11211 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3938oveq2d 7418 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4036, 39eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4133, 40sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4241fveq2d 6886 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)))
43 mulcl 11191 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4433, 43sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
45 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
46 efadd 16040 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4744, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4842, 47eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4948adantr 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
50 expp1 14035 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5128, 50sylan 579 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5251adantr 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5332, 49, 523eqtr4d 2774 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
5453exp31 419 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
55 oveq2 7410 . . . . . 6 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
56 nncn 12219 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
57 mulneg2 11650 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5856, 57sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5958fveq2d 6886 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)))
6056, 43sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
61 efneg 16044 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6359, 62eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
64 nnnn0 12478 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
65 expneg 14036 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6628, 64, 65syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6763, 66eqeq12d 2740 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) โ†” (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))))
6855, 67imbitrrid 245 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
6968ex 412 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))))
708, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 69zindd 12662 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
7170imp 406 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
724, 71eqtr3d 2766 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ†‘cexp 14028  expce 16007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013
This theorem is referenced by:  efzval  16048  efgt0  16049  tanval3  16080  demoivre  16146  ef2kpi  26354  efif1olem4  26420  explog  26469  reexplog  26470  relogexp  26471  tanarg  26494  root1eq1  26631  vtsprod  34170
  Copyright terms: Public domain W3C validator