MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efexp 15988
Description: The exponential of an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem efexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 12509 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 mulcom 11142 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
31, 2sylan2 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
43fveq2d 6847 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
5 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท 0))
65fveq2d 6847 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท 0)))
7 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
86, 7eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0)))
9 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘˜))
109fveq2d 6847 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)))
11 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
1210, 11eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
13 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)))
1413fveq2d 6847 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))))
15 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1614, 15eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
17 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท -๐‘˜))
1817fveq2d 6847 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)))
19 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))
2018, 19eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
21 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘))
2221fveq2d 6847 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)))
23 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
2422, 23eqeq12d 2749 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
25 ef0 15978 . . . . 5 (expโ€˜0) = 1
26 mul01 11339 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
2726fveq2d 6847 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = (expโ€˜0))
28 efcl 15970 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2928exp0d 14051 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
3025, 27, 293eqtr4a 2799 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
31 oveq1 7365 . . . . . . 7 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
3231adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
33 nn0cn 12428 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
34 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
35 adddi 11145 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
3634, 35mp3an3 1451 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
37 mulid1 11158 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3938oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4036, 39eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4133, 40sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4241fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)))
43 mulcl 11140 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4433, 43sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
45 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
46 efadd 15981 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4744, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4842, 47eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4948adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
50 expp1 13980 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5128, 50sylan 581 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5251adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5332, 49, 523eqtr4d 2783 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
5453exp31 421 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
55 oveq2 7366 . . . . . 6 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
56 nncn 12166 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
57 mulneg2 11597 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5856, 57sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5958fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)))
6056, 43sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
61 efneg 15985 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6359, 62eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
64 nnnn0 12425 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
65 expneg 13981 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6628, 64, 65syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6763, 66eqeq12d 2749 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) โ†” (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))))
6855, 67syl5ibr 246 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
6968ex 414 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))))
708, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 69zindd 12609 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
7170imp 408 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
724, 71eqtr3d 2775 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  -cneg 11391   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ†‘cexp 13973  expce 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955
This theorem is referenced by:  efzval  15989  efgt0  15990  tanval3  16021  demoivre  16087  ef2kpi  25851  efif1olem4  25917  explog  25965  reexplog  25966  relogexp  25967  tanarg  25990  root1eq1  26124  vtsprod  33309
  Copyright terms: Public domain W3C validator