MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efexp 16078
Description: The exponential of an integer power. Corollary 15-4.4 of [Gleason] p. 309, restricted to integers. (Contributed by NM, 13-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
efexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem efexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 12594 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 mulcom 11225 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
31, 2sylan2 592 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ด))
43fveq2d 6901 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
5 oveq2 7428 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท 0))
65fveq2d 6901 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท 0)))
7 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
86, 7eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0)))
9 oveq2 7428 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘˜))
109fveq2d 6901 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)))
11 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
1210, 11eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
13 oveq2 7428 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)))
1413fveq2d 6901 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))))
15 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1614, 15eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
17 oveq2 7428 . . . . . 6 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท -๐‘˜))
1817fveq2d 6901 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)))
19 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))
2018, 19eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘— = -๐‘˜ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
21 oveq2 7428 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘—) = (๐ด ยท ๐‘))
2221fveq2d 6901 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)))
23 oveq2 7428 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
2422, 23eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘—)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
25 ef0 16068 . . . . 5 (expโ€˜0) = 1
26 mul01 11424 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
2726fveq2d 6901 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = (expโ€˜0))
28 efcl 16059 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2928exp0d 14137 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
3025, 27, 293eqtr4a 2794 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท 0)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘0))
31 oveq1 7427 . . . . . . 7 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
3231adantl 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
33 nn0cn 12513 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
34 ax-1cn 11197 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
35 adddi 11228 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
3634, 35mp3an3 1447 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)))
37 mulrid 11243 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3938oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘˜) + (๐ด ยท 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4036, 39eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4133, 40sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด))
4241fveq2d 6901 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)))
43 mulcl 11223 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4433, 43sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
45 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
46 efadd 16071 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4744, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท ๐‘˜) + ๐ด)) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4842, 47eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
4948adantr 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) ยท (expโ€˜๐ด)))
50 expp1 14066 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5128, 50sylan 579 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5251adantr 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (expโ€˜๐ด)))
5332, 49, 523eqtr4d 2778 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
5453exp31 419 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (๐‘˜ + 1))) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
55 oveq2 7428 . . . . . 6 ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
56 nncn 12251 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
57 mulneg2 11682 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5856, 57sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท -๐‘˜) = -(๐ด ยท ๐‘˜))
5958fveq2d 6901 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)))
6056, 43sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
61 efneg 16075 . . . . . . . . 9 ((๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜-(๐ด ยท ๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
6359, 62eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))))
64 nnnn0 12510 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
65 expneg 14067 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6628, 64, 65syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6763, 66eqeq12d 2744 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜) โ†” (1 / (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜))) = (1 / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))))
6855, 67imbitrrid 245 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜)))
6968ex 412 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท ๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท -๐‘˜)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘-๐‘˜))))
708, 12, 16, 20, 24, 30, 54, 69zindd 12694 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
7170imp 406 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท ๐‘)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
724, 71eqtr3d 2770 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144  -cneg 11476   / cdiv 11902  โ„•cn 12243  โ„•0cn0 12503  โ„คcz 12589  โ†‘cexp 14059  expce 16038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044
This theorem is referenced by:  efzval  16079  efgt0  16080  tanval3  16111  demoivre  16177  ef2kpi  26426  efif1olem4  26492  explog  26541  reexplog  26542  relogexp  26543  tanarg  26566  root1eq1  26703  vtsprod  34271
  Copyright terms: Public domain W3C validator