Theorem 0dp2dp 32983

Description: Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
0dp2dp.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
0dp2dp.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
0dp2dp	⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem 0dp2dp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0dp2dp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0dp2dp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		0p1e1 12289	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
4		0z 12526	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1z 12548	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	1, 2, 3, 4, 5	dpexpp1 32982	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1))
7		10nn0 12653	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12440	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
9		exp0 14018	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑0) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑0) = 1
11	10	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((𝐴.𝐵) · 1)
12		exp1 14020	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑1) = ;10)
13	8, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑1) = ;10
14	13	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1)) = ((0._𝐴𝐵) · ;10)
15	6, 11, 14	3eqtr3ri 2769	. 2 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = ((𝐴.𝐵) · 1)
16	1, 2	rpdpcl 32977	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℝ+
17		rpcn 12944	. . . 4 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴.𝐵) ∈ ℂ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
19		mulrid 11133	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵)
21	15, 20	eqtri 2760	1 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635  ℝ⁺crp 12933  ↑cexp 14014  _cdp2 32945  .cdp 32962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-dp2 32946  df-dp 32963

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34811