Theorem 0dp2dp 32876

Description: Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
0dp2dp.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
0dp2dp.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
0dp2dp	⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem 0dp2dp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0dp2dp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0dp2dp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		0p1e1 12386	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
4		0z 12622	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1z 12645	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	1, 2, 3, 4, 5	dpexpp1 32875	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1))
7		10nn0 12749	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12536	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
9		exp0 14103	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑0) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑0) = 1
11	10	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((𝐴.𝐵) · 1)
12		exp1 14105	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑1) = ;10)
13	8, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑1) = ;10
14	13	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1)) = ((0._𝐴𝐵) · ;10)
15	6, 11, 14	3eqtr3ri 2772	. 2 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = ((𝐴.𝐵) · 1)
16	1, 2	rpdpcl 32870	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℝ+
17		rpcn 13043	. . . 4 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴.𝐵) ∈ ℂ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
19		mulrid 11257	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵)
21	15, 20	eqtri 2763	1 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  ℕ₀cn0 12524  ;cdc 12731  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14099  _cdp2 32838  .cdp 32855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-dp2 32839  df-dp 32856

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34645