Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dp2dp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dp2dp 31162
Description: Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
0dp2dp.a 𝐴 ∈ ℕ0
0dp2dp.b 𝐵 ∈ ℝ+
Assertion
Ref Expression
0dp2dp ((0.𝐴𝐵) · 10) = (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem 0dp2dp
StepHypRef Expression
1 0dp2dp.a . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
2 0dp2dp.b . . . 4 𝐵 ∈ ℝ+
3 0p1e1 12078 . . . 4 (0 + 1) = 1
4 0z 12313 . . . 4 0 ∈ ℤ
5 1z 12333 . . . 4 1 ∈ ℤ
61, 2, 3, 4, 5dpexpp1 31161 . . 3 ((𝐴.𝐵) · (10↑0)) = ((0.𝐴𝐵) · (10↑1))
7 10nn0 12437 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
87nn0cni 12228 . . . . 5 10 ∈ ℂ
9 exp0 13767 . . . . 5 (10 ∈ ℂ → (10↑0) = 1)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (10↑0) = 1
1110oveq2i 7279 . . 3 ((𝐴.𝐵) · (10↑0)) = ((𝐴.𝐵) · 1)
12 exp1 13769 . . . . 5 (10 ∈ ℂ → (10↑1) = 10)
138, 12ax-mp 5 . . . 4 (10↑1) = 10
1413oveq2i 7279 . . 3 ((0.𝐴𝐵) · (10↑1)) = ((0.𝐴𝐵) · 10)
156, 11, 143eqtr3ri 2776 . 2 ((0.𝐴𝐵) · 10) = ((𝐴.𝐵) · 1)
161, 2rpdpcl 31156 . . . 4 (𝐴.𝐵) ∈ ℝ+
17 rpcn 12722 . . . 4 ((𝐴.𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴.𝐵) ∈ ℂ)
1816, 17ax-mp 5 . . 3 (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
19 mulid1 10957 . . 3 ((𝐴.𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵))
2018, 19ax-mp 5 . 2 ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵)
2115, 20eqtri 2767 1 ((0.𝐴𝐵) · 10) = (𝐴.𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2109  (class class class)co 7268  cc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   · cmul 10860  0cn0 12216  cdc 12419  +crp 12712  cexp 13763  cdp2 31124  .cdp 31141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-rp 12713  df-seq 13703  df-exp 13764  df-dp2 31125  df-dp 31142
This theorem is referenced by:  hgt750lem  32610
  Copyright terms: Public domain W3C validator