Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dp2dp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dp2dp 32578
Description: Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
0dp2dp.a ๐ด โˆˆ โ„•0
0dp2dp.b ๐ต โˆˆ โ„+
Assertion
Ref Expression
0dp2dp ((0.๐ด๐ต) ยท 10) = (๐ด.๐ต)

Proof of Theorem 0dp2dp
StepHypRef Expression
1 0dp2dp.a . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 0dp2dp.b . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„+
3 0p1e1 12335 . . . 4 (0 + 1) = 1
4 0z 12570 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
5 1z 12593 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
61, 2, 3, 4, 5dpexpp1 32577 . . 3 ((๐ด.๐ต) ยท (10โ†‘0)) = ((0.๐ด๐ต) ยท (10โ†‘1))
7 10nn0 12696 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„•0
87nn0cni 12485 . . . . 5 10 โˆˆ โ„‚
9 exp0 14034 . . . . 5 (10 โˆˆ โ„‚ โ†’ (10โ†‘0) = 1)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (10โ†‘0) = 1
1110oveq2i 7415 . . 3 ((๐ด.๐ต) ยท (10โ†‘0)) = ((๐ด.๐ต) ยท 1)
12 exp1 14036 . . . . 5 (10 โˆˆ โ„‚ โ†’ (10โ†‘1) = 10)
138, 12ax-mp 5 . . . 4 (10โ†‘1) = 10
1413oveq2i 7415 . . 3 ((0.๐ด๐ต) ยท (10โ†‘1)) = ((0.๐ด๐ต) ยท 10)
156, 11, 143eqtr3ri 2763 . 2 ((0.๐ด๐ต) ยท 10) = ((๐ด.๐ต) ยท 1)
161, 2rpdpcl 32572 . . . 4 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„+
17 rpcn 12987 . . . 4 ((๐ด.๐ต) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„‚)
1816, 17ax-mp 5 . . 3 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„‚
19 mulrid 11213 . . 3 ((๐ด.๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด.๐ต) ยท 1) = (๐ด.๐ต))
2018, 19ax-mp 5 . 2 ((๐ด.๐ต) ยท 1) = (๐ด.๐ต)
2115, 20eqtri 2754 1 ((0.๐ด๐ต) ยท 10) = (๐ด.๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„•0cn0 12473  cdc 12678  โ„+crp 12977  โ†‘cexp 14030  cdp2 32540  .cdp 32557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14031  df-dp2 32541  df-dp 32558
This theorem is referenced by:  hgt750lem  34192
  Copyright terms: Public domain W3C validator