Theorem 0dp2dp 32770

Description: Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
0dp2dp.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
0dp2dp.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
0dp2dp	⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem 0dp2dp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0dp2dp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0dp2dp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		0p1e1 12377	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
4		0z 12612	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1z 12635	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	1, 2, 3, 4, 5	dpexpp1 32769	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1))
7		10nn0 12738	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12527	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
9		exp0 14076	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑0) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑0) = 1
11	10	oveq2i 7424	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((𝐴.𝐵) · 1)
12		exp1 14078	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑1) = ;10)
13	8, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑1) = ;10
14	13	oveq2i 7424	. . 3 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1)) = ((0._𝐴𝐵) · ;10)
15	6, 11, 14	3eqtr3ri 2763	. 2 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = ((𝐴.𝐵) · 1)
16	1, 2	rpdpcl 32764	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℝ+
17		rpcn 13029	. . . 4 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴.𝐵) ∈ ℂ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
19		mulrid 11250	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵)
21	15, 20	eqtri 2754	1 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7413  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151  ℕ₀cn0 12515  ;cdc 12720  ℝ⁺crp 13019  ↑cexp 14072  _cdp2 32732  .cdp 32749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-rp 13020  df-seq 14013  df-exp 14073  df-dp2 32733  df-dp 32750

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34507