Theorem 0dp2dp 33265

Description: Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
0dp2dp.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
0dp2dp.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
0dp2dp	⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem 0dp2dp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0dp2dp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0dp2dp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		0p1e1 12379	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
4		0z 12620	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1z 12642	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	1, 2, 3, 4, 5	dpexpp1 33264	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1))
7		10nn0 12751	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12534	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
9		exp0 14121	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑0) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑0) = 1
11	10	oveq2i 7434	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((𝐴.𝐵) · 1)
12		exp1 14123	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑1) = ;10)
13	8, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑1) = ;10
14	13	oveq2i 7434	. . 3 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1)) = ((0._𝐴𝐵) · ;10)
15	6, 11, 14	3eqtr3ri 2798	. 2 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = ((𝐴.𝐵) · 1)
16	1, 2	rpdpcl 33259	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℝ+
17		rpcn 13045	. . . 4 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴.𝐵) ∈ ℂ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
19		mulrid 11224	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵)
21	15, 20	eqtri 2789	1 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123  ℕ₀cn0 12522  ;cdc 12729  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117  _cdp2 33227  .cdp 33244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-dp2 33228  df-dp 33245

This theorem is used by:  hgt750lem  35070