Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dp2dp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dp2dp 32650
Description: Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
0dp2dp.a ๐ด โˆˆ โ„•0
0dp2dp.b ๐ต โˆˆ โ„+
Assertion
Ref Expression
0dp2dp ((0.๐ด๐ต) ยท 10) = (๐ด.๐ต)

Proof of Theorem 0dp2dp
StepHypRef Expression
1 0dp2dp.a . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 0dp2dp.b . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„+
3 0p1e1 12370 . . . 4 (0 + 1) = 1
4 0z 12605 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
5 1z 12628 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
61, 2, 3, 4, 5dpexpp1 32649 . . 3 ((๐ด.๐ต) ยท (10โ†‘0)) = ((0.๐ด๐ต) ยท (10โ†‘1))
7 10nn0 12731 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„•0
87nn0cni 12520 . . . . 5 10 โˆˆ โ„‚
9 exp0 14068 . . . . 5 (10 โˆˆ โ„‚ โ†’ (10โ†‘0) = 1)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (10โ†‘0) = 1
1110oveq2i 7435 . . 3 ((๐ด.๐ต) ยท (10โ†‘0)) = ((๐ด.๐ต) ยท 1)
12 exp1 14070 . . . . 5 (10 โˆˆ โ„‚ โ†’ (10โ†‘1) = 10)
138, 12ax-mp 5 . . . 4 (10โ†‘1) = 10
1413oveq2i 7435 . . 3 ((0.๐ด๐ต) ยท (10โ†‘1)) = ((0.๐ด๐ต) ยท 10)
156, 11, 143eqtr3ri 2764 . 2 ((0.๐ด๐ต) ยท 10) = ((๐ด.๐ต) ยท 1)
161, 2rpdpcl 32644 . . . 4 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„+
17 rpcn 13022 . . . 4 ((๐ด.๐ต) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„‚)
1816, 17ax-mp 5 . . 3 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„‚
19 mulrid 11248 . . 3 ((๐ด.๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด.๐ต) ยท 1) = (๐ด.๐ต))
2018, 19ax-mp 5 . 2 ((๐ด.๐ต) ยท 1) = (๐ด.๐ต)
2115, 20eqtri 2755 1 ((0.๐ด๐ต) ยท 10) = (๐ด.๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   ยท cmul 11149  โ„•0cn0 12508  cdc 12713  โ„+crp 13012  โ†‘cexp 14064  cdp2 32612  .cdp 32629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-dp2 32613  df-dp 32630
This theorem is referenced by:  hgt750lem  34288
  Copyright terms: Public domain W3C validator