Theorem 0dp2dp 33000

Description: Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
0dp2dp.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
0dp2dp.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
0dp2dp	⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

Proof of Theorem 0dp2dp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0dp2dp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0dp2dp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		0p1e1 12274	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
4		0z 12511	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1z 12533	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	1, 2, 3, 4, 5	dpexpp1 32999	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1))
7		10nn0 12637	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12425	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
9		exp0 14000	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑0) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑0) = 1
11	10	oveq2i 7379	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) · (;10↑0)) = ((𝐴.𝐵) · 1)
12		exp1 14002	. . . . 5 ⊢ (;10 ∈ ℂ → (;10↑1) = ;10)
13	8, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (;10↑1) = ;10
14	13	oveq2i 7379	. . 3 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · (;10↑1)) = ((0._𝐴𝐵) · ;10)
15	6, 11, 14	3eqtr3ri 2769	. 2 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = ((𝐴.𝐵) · 1)
16	1, 2	rpdpcl 32994	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℝ+
17		rpcn 12928	. . . 4 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℝ+ → (𝐴.𝐵) ∈ ℂ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
19		mulrid 11142	. . 3 ⊢ ((𝐴.𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐴.𝐵) · 1) = (𝐴.𝐵)
21	15, 20	eqtri 2760	1 ⊢ ((0._𝐴𝐵) · ;10) = (𝐴.𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619  ℝ⁺crp 12917  ↑cexp 13996  _cdp2 32962  .cdp 32979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-dp2 32963  df-dp 32980

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34828