Theorem ipasslem2 28759

Description: Lemma for ipassi 28768. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 11979	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	negcld 11055	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 28743	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ipasslem1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
6		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	6, 7	dipcl 28639	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 5, 8	mp3an13 1453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
10		mulcl 10692	. . . 4 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
12		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13	6, 12	nvscl 28553	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
14	4, 13	mp3an1 1449	. . . . 5 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15	2, 14	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
16	6, 7	dipcl 28639	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17	4, 5, 16	mp3an13 1453	. . . 4 ⊢ ((-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
19		ax-1cn 10666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		mulneg2 11148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
21	19, 20	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
22		mulid1 10710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
23	22	negeqd 10951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 · 1) = -𝑁)
24	21, 23	eqtr2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 = (𝑁 · -1))
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 = (𝑁 · -1))
26	25	oveq1d 7179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 · -1)𝑆𝐴))
27		neg1cn 11823	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
28	6, 12	nvsass 28555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
29	4, 28	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
30	27, 29	mp3an2 1450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
31	26, 30	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
32	1, 31	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
33	32	oveq1d 7179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
34	6, 12	nvscl 28553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
35	4, 27, 34	mp3an12 1452	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36		ip1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
37	6, 36, 12, 7, 3, 5	ipasslem1 28758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
38	35, 37	sylan2 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
39	33, 38	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
40	39	oveq2d 7180	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
41	6, 7	dipcl 28639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
42	4, 5, 41	mp3an13 1453	. . . . . . 7 ⊢ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
43	35, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
44		mulcl 10692	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
45	1, 43, 44	syl2an 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
46	11, 45	negsubd 11074	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
47		mulneg1 11147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
48	1, 43, 47	syl2an 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
49	48	oveq2d 7180	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
50	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 ∈ ℂ)
51	9	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
52	43	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
53	50, 51, 52	adddid 10736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
54	6, 36, 12, 7, 3	ipdiri 28757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
55	5, 54	mp3an3 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
56	35, 55	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
57		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
58	6, 36, 12, 57	nvrinv 28578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
59	4, 58	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
60	59	oveq1d 7179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵))
61	6, 57, 7	dip0l 28645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
62	4, 5, 61	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
63	60, 62	eqtrdi 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0)
64	56, 63	eqtr3d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
65	64	oveq2d 7180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (-𝑁 · 0))
66	2	mul01d 10910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-𝑁 · 0) = 0)
67	65, 66	sylan9eqr 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
68	53, 67	eqtr3d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
69	49, 68	eqtr3d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
70	40, 46, 69	3eqtr2d 2779	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
71	11, 18, 70	subeq0d 11076	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
72	71	eqcomd 2744	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℂcc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613   − cmin 10941  -cneg 10942  ℕ₀cn0 11969  NrmCVeccnv 28511   +_𝑣 cpv 28512  BaseSetcba 28513   ·_𝑠OLD cns 28514  0_veccn0v 28515  ·_𝑖OLDcdip 28627  CPreHil_OLDccphlo 28739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-sum 15129  df-grpo 28420  df-gid 28421  df-ginv 28422  df-ablo 28472  df-vc 28486  df-nv 28519  df-va 28522  df-ba 28523  df-sm 28524  df-0v 28525  df-nmcv 28527  df-dip 28628  df-ph 28740

This theorem is referenced by:  ipasslem3  28760