MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem2 30861
Description: Lemma for ipassi 30870. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12534 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
21negcld 11605 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℂ)
3 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30845 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ipasslem1.b . . . . 5 𝐵𝑋
6 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
86, 7dipcl 30741 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
94, 5, 8mp3an13 1451 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
10 mulcl 11237 . . . 4 ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
112, 9, 10syl2an 596 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
12 ip1i.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
136, 12nvscl 30655 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
144, 13mp3an1 1447 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
152, 14sylan 580 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
166, 7dipcl 30741 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
174, 5, 16mp3an13 1451 . . . 4 ((-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
1815, 17syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
19 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
20 mulneg2 11698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
2119, 20mpan2 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
22 mulrid 11257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2322negeqd 11500 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 · 1) = -𝑁)
2421, 23eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 = (𝑁 · -1))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → -𝑁 = (𝑁 · -1))
2625oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 · -1)𝑆𝐴))
27 neg1cn 12378 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
286, 12nvsass 30657 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
294, 28mpan 690 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3027, 29mp3an2 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3126, 30eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
321, 31sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3332oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
346, 12nvscl 30655 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
354, 27, 34mp3an12 1450 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
376, 36, 12, 7, 3, 5ipasslem1 30860 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3835, 37sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3933, 38eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4039oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
416, 7dipcl 30741 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
424, 5, 41mp3an13 1451 . . . . . . 7 ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
4335, 42syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
44 mulcl 11237 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
451, 43, 44syl2an 596 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
4611, 45negsubd 11624 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
47 mulneg1 11697 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
481, 43, 47syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4948oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
502adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → -𝑁 ∈ ℂ)
519adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5243adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5350, 51, 52adddid 11283 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
546, 36, 12, 7, 3ipdiri 30859 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
555, 54mp3an3 1449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
5635, 55mpdan 687 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
57 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
586, 36, 12, 57nvrinv 30680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
594, 58mpan 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
6059oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec𝑈)𝑃𝐵))
616, 57, 7dip0l 30747 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0)
624, 5, 61mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0
6360, 62eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0)
6456, 63eqtr3d 2777 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
6564oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (-𝑁 · 0))
662mul01d 11458 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-𝑁 · 0) = 0)
6765, 66sylan9eqr 2797 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
6853, 67eqtr3d 2777 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
6949, 68eqtr3d 2777 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
7040, 46, 693eqtr2d 2781 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
7111, 18, 70subeq0d 11626 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
7271eqcomd 2741 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  0cn0 12524  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616  0veccn0v 30617  ·𝑖OLDcdip 30729  CPreHilOLDccphlo 30841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-dip 30730  df-ph 30842
This theorem is referenced by:  ipasslem3  30862
  Copyright terms: Public domain W3C validator