MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipasslem2 30085
Description: Lemma for ipassi 30094. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Proof of Theorem ipasslem2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12482 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
21negcld 11558 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ -𝑁 ∈ β„‚)
3 ip1i.9 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30069 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
5 ipasslem1.b . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
6 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
7 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
86, 7dipcl 29965 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
94, 5, 8mp3an13 1453 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
10 mulcl 11194 . . . 4 ((-𝑁 ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
112, 9, 10syl2an 597 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
12 ip1i.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
136, 12nvscl 29879 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
144, 13mp3an1 1449 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
152, 14sylan 581 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
166, 7dipcl 29965 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
174, 5, 16mp3an13 1453 . . . 4 ((-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
1815, 17syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
19 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
20 mulneg2 11651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 Β· -1) = -(𝑁 Β· 1))
2119, 20mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ (𝑁 Β· -1) = -(𝑁 Β· 1))
22 mulrid 11212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ (𝑁 Β· 1) = 𝑁)
2322negeqd 11454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ -(𝑁 Β· 1) = -𝑁)
2421, 23eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ -𝑁 = (𝑁 Β· -1))
2524adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ -𝑁 = (𝑁 Β· -1))
2625oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴))
27 neg1cn 12326 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
286, 12nvsass 29881 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
294, 28mpan 689 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3027, 29mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3126, 30eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
321, 31sylan 581 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3332oveq1d 7424 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡))
346, 12nvscl 29879 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
354, 27, 34mp3an12 1452 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
376, 36, 12, 7, 3, 5ipasslem1 30084 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
3835, 37sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
3933, 38eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4039oveq2d 7425 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
416, 7dipcl 29965 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
424, 5, 41mp3an13 1453 . . . . . . 7 ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
4335, 42syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
44 mulcl 11194 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
451, 43, 44syl2an 597 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
4611, 45negsubd 11577 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
47 mulneg1 11650 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
481, 43, 47syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4948oveq2d 7425 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
502adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ -𝑁 ∈ β„‚)
519adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
5243adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
5350, 51, 52adddid 11238 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
546, 36, 12, 7, 3ipdiri 30083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
555, 54mp3an3 1451 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
5635, 55mpdan 686 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
586, 36, 12, 57nvrinv 29904 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
594, 58mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
6059oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡))
616, 57, 7dip0l 29971 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0)
624, 5, 61mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0
6360, 62eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = 0)
6456, 63eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = 0)
6564oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (-𝑁 Β· ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = (-𝑁 Β· 0))
662mul01d 11413 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (-𝑁 Β· 0) = 0)
6765, 66sylan9eqr 2795 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = 0)
6853, 67eqtr3d 2775 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = 0)
6949, 68eqtr3d 2775 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = 0)
7040, 46, 693eqtr2d 2779 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = 0)
7111, 18, 70subeq0d 11579 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡))
7271eqcomd 2739 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•0cn0 12472  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  0veccn0v 29841  Β·π‘–OLDcdip 29953  CPreHilOLDccphlo 30065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-dip 29954  df-ph 30066
This theorem is referenced by:  ipasslem3  30086
  Copyright terms: Public domain W3C validator