MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipasslem2 30352
Description: Lemma for ipassi 30361. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Proof of Theorem ipasslem2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12486 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
21negcld 11562 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ -𝑁 ∈ β„‚)
3 ip1i.9 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30336 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
5 ipasslem1.b . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
6 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
7 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
86, 7dipcl 30232 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
94, 5, 8mp3an13 1450 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
10 mulcl 11196 . . . 4 ((-𝑁 ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
112, 9, 10syl2an 594 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
12 ip1i.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
136, 12nvscl 30146 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
144, 13mp3an1 1446 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
152, 14sylan 578 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
166, 7dipcl 30232 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
174, 5, 16mp3an13 1450 . . . 4 ((-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
1815, 17syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
19 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
20 mulneg2 11655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 Β· -1) = -(𝑁 Β· 1))
2119, 20mpan2 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ (𝑁 Β· -1) = -(𝑁 Β· 1))
22 mulrid 11216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ (𝑁 Β· 1) = 𝑁)
2322negeqd 11458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ -(𝑁 Β· 1) = -𝑁)
2421, 23eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ -𝑁 = (𝑁 Β· -1))
2524adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ -𝑁 = (𝑁 Β· -1))
2625oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴))
27 neg1cn 12330 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
286, 12nvsass 30148 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
294, 28mpan 686 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3027, 29mp3an2 1447 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3126, 30eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
321, 31sylan 578 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3332oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡))
346, 12nvscl 30146 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
354, 27, 34mp3an12 1449 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
376, 36, 12, 7, 3, 5ipasslem1 30351 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
3835, 37sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
3933, 38eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4039oveq2d 7427 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
416, 7dipcl 30232 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
424, 5, 41mp3an13 1450 . . . . . . 7 ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
4335, 42syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
44 mulcl 11196 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
451, 43, 44syl2an 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
4611, 45negsubd 11581 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
47 mulneg1 11654 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
481, 43, 47syl2an 594 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4948oveq2d 7427 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
502adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ -𝑁 ∈ β„‚)
519adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
5243adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
5350, 51, 52adddid 11242 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
546, 36, 12, 7, 3ipdiri 30350 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
555, 54mp3an3 1448 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
5635, 55mpdan 683 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
57 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
586, 36, 12, 57nvrinv 30171 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
594, 58mpan 686 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
6059oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡))
616, 57, 7dip0l 30238 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0)
624, 5, 61mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0
6360, 62eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = 0)
6456, 63eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = 0)
6564oveq2d 7427 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (-𝑁 Β· ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = (-𝑁 Β· 0))
662mul01d 11417 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (-𝑁 Β· 0) = 0)
6765, 66sylan9eqr 2792 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = 0)
6853, 67eqtr3d 2772 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = 0)
6949, 68eqtr3d 2772 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = 0)
7040, 46, 693eqtr2d 2776 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = 0)
7111, 18, 70subeq0d 11583 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡))
7271eqcomd 2736 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•0cn0 12476  NrmCVeccnv 30104   +𝑣 cpv 30105  BaseSetcba 30106   ·𝑠OLD cns 30107  0veccn0v 30108  Β·π‘–OLDcdip 30220  CPreHilOLDccphlo 30332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120  df-dip 30221  df-ph 30333
This theorem is referenced by:  ipasslem3  30353
  Copyright terms: Public domain W3C validator