Theorem ipasslem2 31443

Description: Lemma for ipassi 31452. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12623	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	negcld 11663	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 31427	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ipasslem1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
6		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	6, 7	dipcl 31323	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 5, 8	mp3an13 1481	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
10		mulcl 11291	. . . 4 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
12		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13	6, 12	nvscl 31237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
14	4, 13	mp3an1 1477	. . . . 5 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15	2, 14	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
16	6, 7	dipcl 31323	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17	4, 5, 16	mp3an13 1481	. . . 4 ⊢ (( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
18	15, 17	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		mulneg2 11760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
21	19, 20	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
22		mulrid 11313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
23	22	negeqd 11558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 · 1) = -𝑁)
24	21, 23	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 = (𝑁 · -1))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 = (𝑁 · -1))
26	25	oveq1d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 · -1)𝑆𝐴))
27		neg1cn 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
28	6, 12	nvsass 31239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
29	4, 28	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
30	27, 29	mp3an2 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
31	26, 30	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
32	1, 31	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
33	32	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
34	6, 12	nvscl 31237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
35	4, 27, 34	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36		ip1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
37	6, 36, 12, 7, 3, 5	ipasslem1 31442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
38	35, 37	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
39	33, 38	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
40	39	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
41	6, 7	dipcl 31323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
42	4, 5, 41	mp3an13 1481	. . . . . . 7 ⊢ (( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
43	35, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
44		mulcl 11291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
45	1, 43, 44	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
46	11, 45	negsubd 11682	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
47		mulneg1 11759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
48	1, 43, 47	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
49	48	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
50	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 ∈ ℂ)
51	9	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
52	43	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
53	50, 51, 52	adddid 11340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
54	6, 36, 12, 7, 3	ipdiri 31441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
55	5, 54	mp3an3 1479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
56	35, 55	mpdan 700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
57		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
58	6, 36, 12, 57	nvrinv 31262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺( -1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
59	4, 58	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝐺( -1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
60	59	oveq1d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵))
61	6, 57, 7	dip0l 31329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
62	4, 5, 61	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
63	60, 62	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0)
64	56, 63	eqtr3d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
65	64	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ( -𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ( -𝑁 · 0))
66	2	mul01d 11516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( -𝑁 · 0) = 0)
67	65, 66	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
68	53, 67	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
69	49, 68	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
70	40, 46, 69	3eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
71	11, 18, 70	subeq0d 11685	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
72	71	eqcomd 2766	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548   -cneg 11549  ℕ₀cn0 12613  NrmCVeccnv 31195   +_𝑣 cpv 31196  BaseSetcba 31197   ·_𝑠OLD cns 31198  0_veccn0v 31199  ·_𝑖OLDcdip 31311  CPreHil_OLDccphlo 31423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-grpo 31104  df-gid 31105  df-ginv 31106  df-ablo 31156  df-vc 31170  df-nv 31203  df-va 31206  df-ba 31207  df-sm 31208  df-0v 31209  df-nmcv 31211  df-dip 31312  df-ph 31424

This theorem is used by:  ipasslem3  31444