Theorem ipasslem2 31491

Description: Lemma for ipassi 31500. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12656	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	negcld 11695	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 31475	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ipasslem1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
6		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	6, 7	dipcl 31371	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 5, 8	mp3an13 1482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
10		mulcl 11323	. . . 4 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
12		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13	6, 12	nvscl 31285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
14	4, 13	mp3an1 1478	. . . . 5 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15	2, 14	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
16	6, 7	dipcl 31371	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17	4, 5, 16	mp3an13 1482	. . . 4 ⊢ (( -𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
18	15, 17	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		mulneg2 11792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
21	19, 20	mpan2 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
22		mulrid 11345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
23	22	negeqd 11590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 · 1) = -𝑁)
24	21, 23	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 = (𝑁 · -1))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 = (𝑁 · -1))
26	25	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 · -1)𝑆𝐴))
27		neg1cn 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
28	6, 12	nvsass 31287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
29	4, 28	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
30	27, 29	mp3an2 1479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
31	26, 30	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
32	1, 31	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆( -1𝑆𝐴)))
33	32	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
34	6, 12	nvscl 31285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
35	4, 27, 34	mp3an12 1481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36		ip1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
37	6, 36, 12, 7, 3, 5	ipasslem1 31490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
38	35, 37	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
39	33, 38	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
40	39	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
41	6, 7	dipcl 31371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
42	4, 5, 41	mp3an13 1482	. . . . . . 7 ⊢ (( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
43	35, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
44		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
45	1, 43, 44	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
46	11, 45	negsubd 11714	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
47		mulneg1 11791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
48	1, 43, 47	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
49	48	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
50	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 ∈ ℂ)
51	9	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
52	43	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
53	50, 51, 52	adddid 11372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
54	6, 36, 12, 7, 3	ipdiri 31489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
55	5, 54	mp3an3 1480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
56	35, 55	mpdan 700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
57		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
58	6, 36, 12, 57	nvrinv 31310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺( -1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
59	4, 58	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝐺( -1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
60	59	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵))
61	6, 57, 7	dip0l 31377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
62	4, 5, 61	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
63	60, 62	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺( -1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0)
64	56, 63	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
65	64	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ( -𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ( -𝑁 · 0))
66	2	mul01d 11548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( -𝑁 · 0) = 0)
67	65, 66	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
68	53, 67	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + ( -𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
69	49, 68	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · (( -1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
70	40, 46, 69	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
71	11, 18, 70	subeq0d 11717	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
72	71	eqcomd 2769	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (( -𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ( -𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581  ℕ₀cn0 12646  NrmCVeccnv 31243   +_𝑣 cpv 31244  BaseSetcba 31245   ·_𝑠OLD cns 31246  0_veccn0v 31247  ·_𝑖OLDcdip 31359  CPreHil_OLDccphlo 31471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ginv 31154  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-nmcv 31259  df-dip 31360  df-ph 31472

This theorem is used by:  ipasslem3  31492