Theorem ipasslem2 30761

Description: Lemma for ipassi 30770. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12452	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	negcld 11520	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30745	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ipasslem1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
6		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	6, 7	dipcl 30641	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 5, 8	mp3an13 1454	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
10		mulcl 11152	. . . 4 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
12		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13	6, 12	nvscl 30555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
14	4, 13	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15	2, 14	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
16	6, 7	dipcl 30641	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17	4, 5, 16	mp3an13 1454	. . . 4 ⊢ ((-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		mulneg2 11615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
21	19, 20	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
22		mulrid 11172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
23	22	negeqd 11415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 · 1) = -𝑁)
24	21, 23	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 = (𝑁 · -1))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 = (𝑁 · -1))
26	25	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 · -1)𝑆𝐴))
27		neg1cn 12171	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
28	6, 12	nvsass 30557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
29	4, 28	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
30	27, 29	mp3an2 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
31	26, 30	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
32	1, 31	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
33	32	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
34	6, 12	nvscl 30555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
35	4, 27, 34	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36		ip1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
37	6, 36, 12, 7, 3, 5	ipasslem1 30760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
38	35, 37	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
39	33, 38	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
40	39	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
41	6, 7	dipcl 30641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
42	4, 5, 41	mp3an13 1454	. . . . . . 7 ⊢ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
43	35, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
44		mulcl 11152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
45	1, 43, 44	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
46	11, 45	negsubd 11539	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
47		mulneg1 11614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
48	1, 43, 47	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
49	48	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
50	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 ∈ ℂ)
51	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
52	43	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
53	50, 51, 52	adddid 11198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
54	6, 36, 12, 7, 3	ipdiri 30759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
55	5, 54	mp3an3 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
56	35, 55	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
57		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
58	6, 36, 12, 57	nvrinv 30580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
59	4, 58	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
60	59	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵))
61	6, 57, 7	dip0l 30647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
62	4, 5, 61	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
63	60, 62	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0)
64	56, 63	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
65	64	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (-𝑁 · 0))
66	2	mul01d 11373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-𝑁 · 0) = 0)
67	65, 66	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
68	53, 67	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
69	49, 68	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
70	40, 46, 69	3eqtr2d 2770	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
71	11, 18, 70	subeq0d 11541	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
72	71	eqcomd 2735	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406  ℕ₀cn0 12442  NrmCVeccnv 30513   +_𝑣 cpv 30514  BaseSetcba 30515   ·_𝑠OLD cns 30516  0_veccn0v 30517  ·_𝑖OLDcdip 30629  CPreHil_OLDccphlo 30741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-nmcv 30529  df-dip 30630  df-ph 30742

This theorem is referenced by:  ipasslem3  30762