MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipasslem2 30072
Description: Lemma for ipassi 30081. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Proof of Theorem ipasslem2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12478 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
21negcld 11554 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ -𝑁 ∈ β„‚)
3 ip1i.9 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
43phnvi 30056 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
5 ipasslem1.b . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
6 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
7 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
86, 7dipcl 29952 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
94, 5, 8mp3an13 1452 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
10 mulcl 11190 . . . 4 ((-𝑁 ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
112, 9, 10syl2an 596 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
12 ip1i.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
136, 12nvscl 29866 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
144, 13mp3an1 1448 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
152, 14sylan 580 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
166, 7dipcl 29952 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
174, 5, 16mp3an13 1452 . . . 4 ((-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
1815, 17syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
19 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
20 mulneg2 11647 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 Β· -1) = -(𝑁 Β· 1))
2119, 20mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ (𝑁 Β· -1) = -(𝑁 Β· 1))
22 mulrid 11208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ (𝑁 Β· 1) = 𝑁)
2322negeqd 11450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ -(𝑁 Β· 1) = -𝑁)
2421, 23eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ -𝑁 = (𝑁 Β· -1))
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ -𝑁 = (𝑁 Β· -1))
2625oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴))
27 neg1cn 12322 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
286, 12nvsass 29868 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
294, 28mpan 688 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3027, 29mp3an2 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁 Β· -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3126, 30eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
321, 31sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3332oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡))
346, 12nvscl 29866 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
354, 27, 34mp3an12 1451 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
376, 36, 12, 7, 3, 5ipasslem1 30071 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
3835, 37sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
3933, 38eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4039oveq2d 7421 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
416, 7dipcl 29952 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
424, 5, 41mp3an13 1452 . . . . . . 7 ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
4335, 42syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
44 mulcl 11190 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
451, 43, 44syl2an 596 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
4611, 45negsubd 11573 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ (𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
47 mulneg1 11646 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
481, 43, 47syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
4948oveq2d 7421 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
502adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ -𝑁 ∈ β„‚)
519adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
5243adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
5350, 51, 52adddid 11234 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))))
546, 36, 12, 7, 3ipdiri 30070 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
555, 54mp3an3 1450 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
5635, 55mpdan 685 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)))
57 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
586, 36, 12, 57nvrinv 29891 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
594, 58mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vecβ€˜π‘ˆ))
6059oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡))
616, 57, 7dip0l 29958 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0)
624, 5, 61mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((0vecβ€˜π‘ˆ)𝑃𝐡) = 0
6360, 62eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐡) = 0)
6456, 63eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = 0)
6564oveq2d 7421 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (-𝑁 Β· ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = (-𝑁 Β· 0))
662mul01d 11409 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (-𝑁 Β· 0) = 0)
6765, 66sylan9eqr 2794 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· ((𝐴𝑃𝐡) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = 0)
6853, 67eqtr3d 2774 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + (-𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = 0)
6949, 68eqtr3d 2774 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) + -(𝑁 Β· ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐡))) = 0)
7040, 46, 693eqtr2d 2778 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) βˆ’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡)) = 0)
7111, 18, 70subeq0d 11575 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡))
7271eqcomd 2738 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (-𝑁 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  β„•0cn0 12468  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  0veccn0v 29828  Β·π‘–OLDcdip 29940  CPreHilOLDccphlo 30052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-nmcv 29840  df-dip 29941  df-ph 30053
This theorem is referenced by:  ipasslem3  30073
  Copyright terms: Public domain W3C validator