Theorem ipasslem2 30856

Description: Lemma for ipassi 30865. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12409	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	negcld 11477	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℂ)
3		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
4	3	phnvi 30840	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
5		ipasslem1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
6		ip1i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
8	6, 7	dipcl 30736	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 5, 8	mp3an13 1454	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
10		mulcl 11108	. . . 4 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
11	2, 9, 10	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
12		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
13	6, 12	nvscl 30650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
14	4, 13	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
15	2, 14	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
16	6, 7	dipcl 30736	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
17	4, 5, 16	mp3an13 1454	. . . 4 ⊢ ((-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		mulneg2 11572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
21	19, 20	mpan2 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
22		mulrid 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
23	22	negeqd 11372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 · 1) = -𝑁)
24	21, 23	eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 = (𝑁 · -1))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 = (𝑁 · -1))
26	25	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 · -1)𝑆𝐴))
27		neg1cn 12128	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
28	6, 12	nvsass 30652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
29	4, 28	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
30	27, 29	mp3an2 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
31	26, 30	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
32	1, 31	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
33	32	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
34	6, 12	nvscl 30650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
35	4, 27, 34	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36		ip1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
37	6, 36, 12, 7, 3, 5	ipasslem1 30855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
38	35, 37	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
39	33, 38	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
40	39	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
41	6, 7	dipcl 30736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
42	4, 5, 41	mp3an13 1454	. . . . . . 7 ⊢ ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
43	35, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
44		mulcl 11108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
45	1, 43, 44	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
46	11, 45	negsubd 11496	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
47		mulneg1 11571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
48	1, 43, 47	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
49	48	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
50	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → -𝑁 ∈ ℂ)
51	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
52	43	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
53	50, 51, 52	adddid 11154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
54	6, 36, 12, 7, 3	ipdiri 30854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
55	5, 54	mp3an3 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
56	35, 55	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
57		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
58	6, 36, 12, 57	nvrinv 30675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
59	4, 58	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
60	59	oveq1d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵))
61	6, 57, 7	dip0l 30742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
62	4, 5, 61	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
63	60, 62	eqtrdi 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0)
64	56, 63	eqtr3d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
65	64	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (-𝑁 · 0))
66	2	mul01d 11330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-𝑁 · 0) = 0)
67	65, 66	sylan9eqr 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
68	53, 67	eqtr3d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
69	49, 68	eqtr3d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
70	40, 46, 69	3eqtr2d 2775	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
71	11, 18, 70	subeq0d 11498	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
72	71	eqcomd 2740	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  -cneg 11363  ℕ₀cn0 12399  NrmCVeccnv 30608   +_𝑣 cpv 30609  BaseSetcba 30610   ·_𝑠OLD cns 30611  0_veccn0v 30612  ·_𝑖OLDcdip 30724  CPreHil_OLDccphlo 30836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ginv 30519  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-nmcv 30624  df-dip 30725  df-ph 30837

This theorem is referenced by:  ipasslem3  30857