MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem2 28601
Description: Lemma for ipassi 28610. Show the inner product associative law for nonpositive integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem1.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 11899 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
21negcld 10976 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℂ)
3 ip1i.9 . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 28585 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
5 ipasslem1.b . . . . 5 𝐵𝑋
6 ip1i.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 ip1i.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
86, 7dipcl 28481 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
94, 5, 8mp3an13 1446 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
10 mulcl 10613 . . . 4 ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
112, 9, 10syl2an 597 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
12 ip1i.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
136, 12nvscl 28395 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
144, 13mp3an1 1442 . . . . 5 ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
152, 14sylan 582 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
166, 7dipcl 28481 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
174, 5, 16mp3an13 1446 . . . 4 ((-𝑁𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
1815, 17syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
19 ax-1cn 10587 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
20 mulneg2 11069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
2119, 20mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · -1) = -(𝑁 · 1))
22 mulid1 10631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2322negeqd 10872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 · 1) = -𝑁)
2421, 23eqtr2d 2855 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 = (𝑁 · -1))
2524adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → -𝑁 = (𝑁 · -1))
2625oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = ((𝑁 · -1)𝑆𝐴))
27 neg1cn 11743 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
286, 12nvsass 28397 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
294, 28mpan 688 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3027, 29mp3an2 1443 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁 · -1)𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3126, 30eqtrd 2854 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
321, 31sylan 582 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁𝑆𝐴) = (𝑁𝑆(-1𝑆𝐴)))
3332oveq1d 7163 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
346, 12nvscl 28395 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
354, 27, 34mp3an12 1445 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
36 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
376, 36, 12, 7, 3, 5ipasslem1 28600 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3835, 37sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁𝑆(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
3933, 38eqtrd 2854 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4039oveq2d 7164 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
416, 7dipcl 28481 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
424, 5, 41mp3an13 1446 . . . . . . 7 ((-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
4335, 42syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
44 mulcl 10613 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
451, 43, 44syl2an 597 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
4611, 45negsubd 10995 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − (𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
47 mulneg1 11068 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
481, 43, 47syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
4948oveq2d 7164 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
502adantr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → -𝑁 ∈ ℂ)
519adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5243adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
5350, 51, 52adddid 10657 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))))
546, 36, 12, 7, 3ipdiri 28599 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
555, 54mp3an3 1444 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
5635, 55mpdan 685 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)))
57 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
586, 36, 12, 57nvrinv 28420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
594, 58mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋 → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec𝑈))
6059oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec𝑈)𝑃𝐵))
616, 57, 7dip0l 28487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0)
624, 5, 61mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((0vec𝑈)𝑃𝐵) = 0
6360, 62syl6eq 2870 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0)
6456, 63eqtr3d 2856 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
6564oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = (-𝑁 · 0))
662mul01d 10831 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-𝑁 · 0) = 0)
6765, 66sylan9eqr 2876 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · ((𝐴𝑃𝐵) + ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
6853, 67eqtr3d 2856 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + (-𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
6949, 68eqtr3d 2856 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) + -(𝑁 · ((-1𝑆𝐴)𝑃𝐵))) = 0)
7040, 46, 693eqtr2d 2860 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵)) = 0)
7111, 18, 70subeq0d 10997 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵))
7271eqcomd 2825 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((-𝑁𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (-𝑁 · (𝐴𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862  -cneg 10863  0cn0 11889  NrmCVeccnv 28353   +𝑣 cpv 28354  BaseSetcba 28355   ·𝑠OLD cns 28356  0veccn0v 28357  ·𝑖OLDcdip 28469  CPreHilOLDccphlo 28581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-nmcv 28369  df-dip 28470  df-ph 28582
This theorem is referenced by:  ipasslem3  28602
  Copyright terms: Public domain W3C validator