Theorem expmul 14243

Description: Product of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
expmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmul

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 0))
2	1	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 0)))
3		oveq2 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴↑𝑀)↑0)))
5	4	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴↑𝑀)↑0))))
6		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑘))
7	6	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)))
8		oveq2 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘))))
11		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑁))
17	16	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
18		oveq2 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))))
21		nn0cn 12609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	mul01d 11502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 · 0) = 0)
23	22	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = (𝐴↑0))
24		exp0 14201	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
25	23, 24	sylan9eqr 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = 1)
26		expcl 14215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
27		exp0 14201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑀)↑0) = 1)
28	26, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑0) = 1)
29	25, 28	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴↑𝑀)↑0))
30		oveq1 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀)))
31		nn0cn 12609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		adddi 11282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
34	32, 33	mp3an3 1479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
35		mulrid 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
37	36	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
38	34, 37	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
39	21, 31, 38	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
40	39	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
41	40	oveq2d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)))
42		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43		nn0mulcl 12635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
44	43	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
46		expadd 14240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)))
47	42, 44, 45, 46	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)))
48	41, 47	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)))
49		expp1 14204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀)))
50	26, 49	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀)))
51	48, 50	eqeq12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀))))
52	30, 51	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1))))
53	52	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
54	53	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
55	5, 10, 15, 20, 29, 54	nn0ind 12787	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
56	55	expdcom 420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))))
57	56	3imp 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  ℕ₀cn0 12599  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  expmulz  14244  expmuld  14285  expnass  14345  mcubic  27168  quart1  27177  log2cnv  27265  log2ublem2  27268  log2ub  27270  basellem3  27403  bclbnd  27600  cos9thpiminplylem4  34410  cos9thpiminplylem5  34411  hgt750lemd  35270  hgt750lem  35273  fmtnoprmfac1lem  48618  41prothprmlem2  48672