Theorem expmul 14145

Description: Product of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
expmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmul

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 0))
2	1	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 0)))
3		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴↑𝑀)↑0)))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴↑𝑀)↑0))))
6		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑘))
7	6	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)))
8		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘))))
11		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑁))
17	16	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
18		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))))
21		nn0cn 12534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	mul01d 11458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 · 0) = 0)
23	22	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = (𝐴↑0))
24		exp0 14103	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
25	23, 24	sylan9eqr 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = 1)
26		expcl 14117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
27		exp0 14103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑀)↑0) = 1)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑0) = 1)
29	25, 28	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴↑𝑀)↑0))
30		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀)))
31		nn0cn 12534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		adddi 11242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
34	32, 33	mp3an3 1449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
35		mulrid 11257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
37	36	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
38	34, 37	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
39	21, 31, 38	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
40	39	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
41	40	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)))
42		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43		nn0mulcl 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
44	43	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
46		expadd 14142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)))
47	42, 44, 45, 46	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)))
48	41, 47	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)))
49		expp1 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀)))
50	26, 49	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀)))
51	48, 50	eqeq12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑀)) = (((𝐴↑𝑀)↑𝑘) · (𝐴↑𝑀))))
52	30, 51	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1))))
53	52	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
54	53	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
55	5, 10, 15, 20, 29, 54	nn0ind 12711	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
56	55	expdcom 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))))
57	56	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  expmulz  14146  expmuld  14186  expnass  14244  mcubic  26905  quart1  26914  log2cnv  27002  log2ublem2  27005  log2ub  27007  basellem3  27141  bclbnd  27339  hgt750lemd  34642  hgt750lem  34645  fmtnoprmfac1lem  47489  41prothprmlem2  47543