MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmul 14069
Description: Product of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
expmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmul
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 0))
21oveq2d 7420 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 0)))
3 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑0))
42, 3eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0)))
54imbi2d 341 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0))))
6 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑘))
76oveq2d 7420 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)))
8 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘)))
109imbi2d 341 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘))))
11 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 7420 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 341 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑗) = (𝑀 · 𝑁))
1716oveq2d 7420 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
18 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑀)↑𝑗) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗) ↔ (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
2019imbi2d 341 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑗)) = ((𝐴𝑀)↑𝑗)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))))
21 nn0cn 12478 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
2221mul01d 11409 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 · 0) = 0)
2322oveq2d 7420 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = (𝐴↑0))
24 exp0 14027 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2523, 24sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = 1)
26 expcl 14041 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
27 exp0 14027 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ ℂ → ((𝐴𝑀)↑0) = 1)
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑0) = 1)
2925, 28eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 0)) = ((𝐴𝑀)↑0))
30 oveq1 7411 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
31 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
33 adddi 11195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
3432, 33mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)))
35 mulrid 11208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
3736oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3834, 37eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
3921, 31, 38syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4039adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑘 + 1)) = ((𝑀 · 𝑘) + 𝑀))
4140oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)))
42 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 nn0mulcl 12504 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
4443adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0)
45 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
46 expadd 14066 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 · 𝑘) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
4742, 44, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 · 𝑘) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
4841, 47eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)))
49 expp1 14030 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
5026, 49sylan 581 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀)))
5148, 50eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) · (𝐴𝑀)) = (((𝐴𝑀)↑𝑘) · (𝐴𝑀))))
5230, 51imbitrrid 245 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1))))
5352expcom 415 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
5453a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑘)) = ((𝐴𝑀)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀)↑(𝑘 + 1)))))
555, 10, 15, 20, 29, 54nn0ind 12653 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
5655expdcom 416 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))))
57563imp 1112 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  0cn0 12468  cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  expmulz  14070  expmuld  14110  expnass  14168  mcubic  26332  quart1  26341  log2cnv  26429  log2ublem2  26432  log2ub  26434  basellem3  26567  bclbnd  26763  hgt750lemd  33598  hgt750lem  33601  fmtnoprmfac1lem  46167  41prothprmlem2  46221
  Copyright terms: Public domain W3C validator