MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem expmul 14080
Description: Product of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
expmul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
Proof of Theorem expmul
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘—) = (๐‘€ ยท 0))
21oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)))
3 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0))
42, 3eqeq12d 2747 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0)))
54imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0))))
6 oveq2 7420 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘—) = (๐‘€ ยท ๐‘˜))
76oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)))
8 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜))
97, 8eqeq12d 2747 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜)))
109imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜))))
11 oveq2 7420 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘—) = (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)))
1211oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))))
13 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1412, 13eqeq12d 2747 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
16 oveq2 7420 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘—) = (๐‘€ ยท ๐‘))
1716oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
18 oveq2 7420 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
1917, 18eqeq12d 2747 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
2019imbi2d 340 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘—)) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))))
21 nn0cn 12489 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2221mul01d 11420 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ ยท 0) = 0)
2322oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = (๐ดโ†‘0))
24 exp0 14038 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
2523, 24sylan9eqr 2793 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = 1)
26 expcl 14052 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
27 exp0 14038 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0) = 1)
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0) = 1)
2925, 28eqtr4d 2774 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘0))
30 oveq1 7419 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) = (((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
31 nn0cn 12489 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
32 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
33 adddi 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + (๐‘€ ยท 1)))
3432, 33mp3an3 1449 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + (๐‘€ ยท 1)))
35 mulrid 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘€ ยท 1) = ๐‘€)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท 1) = ๐‘€)
3736oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + (๐‘€ ยท 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€))
3834, 37eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€))
3921, 31, 38syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€))
4039adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€))
4140oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = (๐ดโ†‘((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€)))
42 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43 nn0mulcl 12515 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
4443adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
45 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
46 expadd 14077 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
4742, 44, 45, 46syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ ยท ๐‘˜) + ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
4841, 47eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
49 expp1 14041 . . . . . . . . 9 (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
5026, 49sylan 579 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
5148, 50eqeq12d 2747 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) = (((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘€))))
5230, 51imbitrrid 245 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
5352expcom 413 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
5453a2d 29 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘(๐‘˜ + 1)))))
555, 10, 15, 20, 29, 54nn0ind 12664 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
5655expdcom 414 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))))
57563imp 1110 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ยท cmul 11121  โ„•0cn0 12479  โ†‘cexp 14034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-exp 14035
This theorem is referenced by:  expmulz  14081  expmuld  14121  expnass  14179  mcubic  26693  quart1  26702  log2cnv  26790  log2ublem2  26793  log2ub  26795  basellem3  26929  bclbnd  27127  hgt750lemd  34125  hgt750lem  34128  fmtnoprmfac1lem  46693  41prothprmlem2  46747
  Copyright terms: Public domain W3C validator