MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmolem2a 14881
Description: Lemma for prodmo 14883. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmo.3 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
prodmolem2.4 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵)
prodmolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prodmolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodmolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
prodmolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
prodmolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
prodmolem2a (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑓,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑗)   𝐺(𝑓,𝑘)   𝐻(𝑓,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem prodmolem2a
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodmo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2 prodmo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 prodmolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 prodmolem2.9 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
5 prodmolem2.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
6 ovex 6902 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
76f1oen 8209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑁) ≈ 𝐴)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑁) ≈ 𝐴)
9 fzfid 12992 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
108ensymd 8239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≈ (1...𝑁))
11 enfii 8412 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
129, 10, 11syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 hashen 13351 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝑁)) = (♯‘𝐴) ↔ (1...𝑁) ≈ 𝐴))
149, 12, 13syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) = (♯‘𝐴) ↔ (1...𝑁) ≈ 𝐴))
158, 14mpbird 248 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = (♯‘𝐴))
16 prodmolem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1716nnnn0d 11613 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
18 hashfz1 13350 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2015, 19eqtr3d 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑁)
2120oveq2d 6886 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁))
22 isoeq4 6790 . . . . . . . 8 ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
244, 23mpbid 223 . . . . . 6 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
25 isof1o 6793 . . . . . 6 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
26 f1of 6349 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
2724, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
28 nnuz 11937 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2916, 28syl6eleq 2895 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
30 eluzfz2 12568 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
3227, 31ffvelrnd 6578 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
333, 32sseldd 3799 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
343sselda 3798 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
3524, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
36 f1ocnvfv2 6753 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) = 𝑗)
3735, 36sylan 571 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) = 𝑗)
38 f1ocnv 6361 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
39 f1of 6349 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
4035, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
4140ffvelrnda 6577 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁))
42 elfzle2 12564 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑗) ≤ 𝑁)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑗) ≤ 𝑁)
4424adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
45 fzssuz 12601 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
46 uzssz 11920 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
47 zssre 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4846, 47sstri 3807 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4945, 48sstri 3807 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
50 ressxr 10364 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
5149, 50sstri 3807 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
53 uzssz 11920 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
5453, 47sstri 3807 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
5554, 50sstri 3807 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ*
563, 55syl6ss 3810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
5756adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5831adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
59 leisorel 13457 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑗) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁)))
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1491 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐾𝑗) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁)))
6143, 60mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁))
6237, 61eqbrtrrd 4868 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ≤ (𝐾𝑁))
633, 53syl6ss 3810 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
6463sselda 3798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
65 eluzelz 11910 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6633, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6766adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
68 eluz 11914 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐾𝑁)))
6964, 67, 68syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐾𝑁)))
7062, 69mpbird 248 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
71 elfzuzb 12555 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗)))
7234, 70, 71sylanbrc 574 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
7372ex 399 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐴𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
7473ssrdv 3804 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
751, 2, 33, 74fprodcvg 14877 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
76 mulid2 10320 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (1 · 𝑚) = 𝑚)
7776adantl 469 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (1 · 𝑚) = 𝑚)
78 mulid1 10319 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
7978adantl 469 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
80 mulcl 10301 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
8180adantl 469 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
82 1cnd 10316 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8331, 21eleqtrrd 2888 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
84 iftrue 4285 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
8584adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
8685, 2eqeltrd 2885 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
8786ex 399 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
88 iffalse 4288 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
89 ax-1cn 10275 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
9088, 89syl6eqel 2893 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
9187, 90pm2.61d1 172 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
9291adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
9392, 1fmptd 6602 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
94 elfzelz 12561 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℤ)
95 ffvelrn 6575 . . . . 5 ((𝐹:ℤ⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
9693, 94, 95syl2an 585 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴)))) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
97 fveqeq2 6413 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑚) = 1))
98 fzssuz 12601 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ⊆ (ℤ𝑀)
9998, 53sstri 3807 . . . . . . . . 9 (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ⊆ ℤ
100 eldifi 3931 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))))
10199, 100sseldi 3796 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
102 eldifn 3932 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
103102, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
104103, 89syl6eqel 2893 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1051fvmpt2 6508 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
106101, 104, 105syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
107106, 103eqtrd 2840 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
10897, 107vtoclga 3465 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 1)
109108adantl 469 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 1)
110 isof1o 6793 . . . . . . . 8 (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → 𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
111 f1of 6349 . . . . . . . 8 (𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1124, 110, 1113syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
113112ffvelrnda 6577 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
114113iftrued 4287 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
11563adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℤ)
116115, 113sseldd 3799 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
117 nfv 2005 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
118 nfv 2005 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
119 nfcsb1v 3744 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
120 nfcv 2948 . . . . . . . . . . 11 𝑘1
121118, 119, 120nfif 4308 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1)
122121nfel1 2963 . . . . . . . . 9 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ
123117, 122nfim 1987 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
124 fvex 6417 . . . . . . . 8 (𝐾𝑥) ∈ V
125 eleq1 2873 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
126 csbeq1a 3737 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
127125, 126ifbieq1d 4302 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
128127eleq1d 2870 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
129128imbi2d 331 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → ((𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)))
130123, 124, 129, 91vtoclf 3451 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
131130adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
132 eleq1 2873 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → (𝑛𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
133 csbeq1 3731 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → 𝑛 / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
134132, 133ifbieq1d 4302 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐾𝑥) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
135 nfcv 2948 . . . . . . . . 9 𝑛if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)
136 nfv 2005 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛𝐴
137 nfcsb1v 3744 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
138136, 137, 120nfif 4308 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1)
139 eleq1 2873 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
140 csbeq1a 3737 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
141139, 140ifbieq1d 4302 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
142135, 138, 141cbvmpt 4943 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
1431, 142eqtri 2828 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
144134, 143fvmptg 6497 . . . . . 6 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
145116, 131, 144syl2anc 575 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
146 elfznn 12589 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
147146adantl 469 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℕ)
148114, 131eqeltrrd 2886 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
149 fveq2 6404 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑥))
150149csbeq1d 3735 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑥(𝐾𝑗) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
151 prodmolem2.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵)
152150, 151fvmptg 6497 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
153147, 148, 152syl2anc 575 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
154114, 145, 1533eqtr4rd 2851 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
15577, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 154seqcoll 13461 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
156 prodmo.3 . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
15716, 16jca 503 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
1581, 2, 156, 151, 157, 5, 35prodmolem3 14880 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
159155, 158eqtr4d 2843 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
16075, 159breqtrd 4870 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  csb 3728  cdif 3766  wss 3769  ifcif 4279   class class class wbr 4844  cmpt 4923  ccnv 5310  wf 6093  1-1-ontowf1o 6096  cfv 6097   Isom wiso 6098  (class class class)co 6870  cen 8185  Fincfn 8188  cc 10215  cr 10216  1c1 10218   · cmul 10222  *cxr 10354   < clt 10355  cle 10356  cn 11301  0cn0 11555  cz 11639  cuz 11900  ...cfz 12545  seqcseq 13020  chash 13333  cli 14434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438
This theorem is referenced by:  prodmolem2  14882  zprod  14884
  Copyright terms: Public domain W3C validator