MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmolem2a 15966
Description: Lemma for prodmo 15968. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmo.3 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
prodmolem2.4 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵)
prodmolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prodmolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodmolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
prodmolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
prodmolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
prodmolem2a (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑓,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑗)   𝐺(𝑓,𝑘)   𝐻(𝑓,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem prodmolem2a
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodmo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2 prodmo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 prodmolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 prodmolem2.9 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
5 fzfid 14010 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
6 prodmolem2.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
75, 6hasheqf1od 14388 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = (♯‘𝐴))
8 prodmolem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
98nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 hashfz1 14381 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
127, 11eqtr3d 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑁)
1312oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁))
14 isoeq4 7339 . . . . . . . 8 ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
164, 15mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
17 isof1o 7342 . . . . . 6 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
18 f1of 6848 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
1916, 17, 183syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
20 nnuz 12918 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
218, 20eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
22 eluzfz2 13568 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
2419, 23ffvelcdmd 7104 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
253, 24sseldd 3995 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
263sselda 3994 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
2716, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
28 f1ocnvfv2 7296 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) = 𝑗)
2927, 28sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) = 𝑗)
30 f1ocnv 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
31 f1of 6848 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3227, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3332ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁))
34 elfzle2 13564 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑗) ≤ 𝑁)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑗) ≤ 𝑁)
3616adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
37 fzssuz 13601 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
38 uzssz 12896 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
39 zssre 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4038, 39sstri 4004 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4137, 40sstri 4004 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
42 ressxr 11302 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
4341, 42sstri 4004 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
45 uzssz 12896 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4645, 39sstri 4004 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
4746, 42sstri 4004 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ*
483, 47sstrdi 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5023adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
51 leisorel 14495 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑗) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁)))
5236, 44, 49, 33, 50, 51syl122anc 1378 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐾𝑗) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁)))
5335, 52mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁))
5429, 53eqbrtrrd 5171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ≤ (𝐾𝑁))
553, 45sstrdi 4007 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
5655sselda 3994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
57 eluzelz 12885 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
5958adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
60 eluz 12889 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐾𝑁)))
6156, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐾𝑁)))
6254, 61mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
63 elfzuzb 13554 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗)))
6426, 62, 63sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
6564ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐴𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
6665ssrdv 4000 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
671, 2, 25, 66fprodcvg 15962 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
68 mullid 11257 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (1 · 𝑚) = 𝑚)
6968adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (1 · 𝑚) = 𝑚)
70 mulrid 11256 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
7170adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
72 mulcl 11236 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
7372adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
74 1cnd 11253 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7523, 13eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
76 iftrue 4536 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
7776adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
7877, 2eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
7978ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
80 iffalse 4539 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
81 ax-1cn 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
8280, 81eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
8379, 82pm2.61d1 180 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
8483adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
8584, 1fmptd 7133 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
86 elfzelz 13560 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℤ)
87 ffvelcdm 7100 . . . . 5 ((𝐹:ℤ⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
8885, 86, 87syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴)))) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
89 fveqeq2 6915 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑚) = 1))
90 eldifi 4140 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))))
9190elfzelzd 13561 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
92 eldifn 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
9392, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
9493, 81eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
951fvmpt2 7026 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
9691, 94, 95syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
9796, 93eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
9889, 97vtoclga 3576 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 1)
9998adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 1)
100 isof1o 7342 . . . . . . . 8 (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → 𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
101 f1of 6848 . . . . . . . 8 (𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1024, 100, 1013syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
103102ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
104103iftrued 4538 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
10555adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℤ)
106105, 103sseldd 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
107 nfv 1911 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
108 nfv 1911 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
109 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
110 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑘1
111108, 109, 110nfif 4560 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1)
112111nfel1 2919 . . . . . . . . 9 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ
113107, 112nfim 1893 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
114 fvex 6919 . . . . . . . 8 (𝐾𝑥) ∈ V
115 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
116 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
117115, 116ifbieq1d 4554 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
118117eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
119118imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → ((𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)))
120113, 114, 119, 83vtoclf 3563 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
121120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
122 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → (𝑛𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
123 csbeq1 3910 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → 𝑛 / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
124122, 123ifbieq1d 4554 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐾𝑥) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
125 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑛if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)
126 nfv 1911 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛𝐴
127 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
128126, 127, 110nfif 4560 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1)
129 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
130 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
131129, 130ifbieq1d 4554 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
132125, 128, 131cbvmpt 5258 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
1331, 132eqtri 2762 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
134124, 133fvmptg 7013 . . . . . 6 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
135106, 121, 134syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
136 elfznn 13589 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
137104, 121eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
138 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑥))
139138csbeq1d 3911 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑥(𝐾𝑗) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
140 prodmolem2.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵)
141139, 140fvmptg 7013 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
142136, 137, 141syl2an2 686 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
143104, 135, 1423eqtr4rd 2785 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
14469, 71, 73, 74, 4, 75, 3, 88, 99, 143seqcoll 14499 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
145 prodmo.3 . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
1468, 8jca 511 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
1471, 2, 145, 140, 146, 6, 27prodmolem3 15965 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
148144, 147eqtr4d 2777 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
14967, 148breqtrd 5173 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  csb 3907  cdif 3959  wss 3962  ifcif 4530   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562   Isom wiso 6563  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  1c1 11153   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  seqcseq 14038  chash 14365  cli 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520
This theorem is referenced by:  prodmolem2  15967  zprod  15969
  Copyright terms: Public domain W3C validator