MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmolem2a 15496
Description: Lemma for prodmo 15498. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmo.3 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
prodmolem2.4 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵)
prodmolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prodmolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodmolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
prodmolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
prodmolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
prodmolem2a (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑓,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝐾,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑗)   𝐺(𝑓,𝑘)   𝐻(𝑓,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem prodmolem2a
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodmo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2 prodmo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 prodmolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 prodmolem2.9 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
5 fzfid 13546 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
6 prodmolem2.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
75, 6hasheqf1od 13920 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = (♯‘𝐴))
8 prodmolem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
98nnnn0d 12150 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 hashfz1 13912 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
127, 11eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑁)
1312oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁))
14 isoeq4 7129 . . . . . . . 8 ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
164, 15mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
17 isof1o 7132 . . . . . 6 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
18 f1of 6661 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
1916, 17, 183syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
20 nnuz 12477 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
218, 20eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
22 eluzfz2 13120 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
2419, 23ffvelrnd 6905 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
253, 24sseldd 3902 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
263sselda 3901 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
2716, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
28 f1ocnvfv2 7088 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) = 𝑗)
2927, 28sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) = 𝑗)
30 f1ocnv 6673 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
31 f1of 6661 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3227, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3332ffvelrnda 6904 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁))
34 elfzle2 13116 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑗) ≤ 𝑁)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑗) ≤ 𝑁)
3616adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
37 fzssuz 13153 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
38 uzssz 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
39 zssre 12183 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4038, 39sstri 3910 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4137, 40sstri 3910 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
42 ressxr 10877 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
4341, 42sstri 3910 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
45 uzssz 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4645, 39sstri 3910 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
4746, 42sstri 3910 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ*
483, 47sstrdi 3913 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4948adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5023adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
51 leisorel 14026 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑗) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑗) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁)))
5236, 44, 49, 33, 50, 51syl122anc 1381 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐾𝑗) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁)))
5335, 52mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑗)) ≤ (𝐾𝑁))
5429, 53eqbrtrrd 5077 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ≤ (𝐾𝑁))
553, 45sstrdi 3913 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
5655sselda 3901 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℤ)
57 eluzelz 12448 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
5825, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
5958adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
60 eluz 12452 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐾𝑁)))
6156, 59, 60syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝐾𝑁)))
6254, 61mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
63 elfzuzb 13106 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑗)))
6426, 62, 63sylanbrc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
6564ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐴𝑗 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
6665ssrdv 3907 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
671, 2, 25, 66fprodcvg 15492 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
68 mulid2 10832 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (1 · 𝑚) = 𝑚)
6968adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (1 · 𝑚) = 𝑚)
70 mulid1 10831 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
7170adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
72 mulcl 10813 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
7372adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 · 𝑥) ∈ ℂ)
74 1cnd 10828 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7523, 13eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
76 iftrue 4445 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
7776adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
7877, 2eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
7978ex 416 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
80 iffalse 4448 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
81 ax-1cn 10787 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
8280, 81eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
8379, 82pm2.61d1 183 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
8483adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
8584, 1fmptd 6931 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
86 elfzelz 13112 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℤ)
87 ffvelrn 6902 . . . . 5 ((𝐹:ℤ⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
8885, 86, 87syl2an 599 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴)))) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
89 fveqeq2 6726 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑚) = 1))
90 eldifi 4041 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))))
9190elfzelzd 13113 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
92 eldifn 4042 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
9392, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
9493, 81eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
951fvmpt2 6829 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
9691, 94, 95syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
9796, 93eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
9889, 97vtoclga 3489 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 1)
9998adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 1)
100 isof1o 7132 . . . . . . . 8 (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → 𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
101 f1of 6661 . . . . . . . 8 (𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1024, 100, 1013syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
103102ffvelrnda 6904 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
104103iftrued 4447 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
10555adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℤ)
106105, 103sseldd 3902 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
107 nfv 1922 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
108 nfv 1922 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
109 nfcsb1v 3836 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
110 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑘1
111108, 109, 110nfif 4469 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1)
112111nfel1 2920 . . . . . . . . 9 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ
113107, 112nfim 1904 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
114 fvex 6730 . . . . . . . 8 (𝐾𝑥) ∈ V
115 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
116 csbeq1a 3825 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
117115, 116ifbieq1d 4463 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
118117eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
119118imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → ((𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)))
120113, 114, 119, 83vtoclf 3473 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
121120adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
122 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → (𝑛𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
123 csbeq1 3814 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → 𝑛 / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
124122, 123ifbieq1d 4463 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐾𝑥) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
125 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑛if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)
126 nfv 1922 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛𝐴
127 nfcsb1v 3836 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
128126, 127, 110nfif 4469 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1)
129 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
130 csbeq1a 3825 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
131129, 130ifbieq1d 4463 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
132125, 128, 131cbvmpt 5156 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
1331, 132eqtri 2765 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
134124, 133fvmptg 6816 . . . . . 6 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
135106, 121, 134syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 1))
136 elfznn 13141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
137104, 121eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
138 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑥))
139138csbeq1d 3815 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑥(𝐾𝑗) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
140 prodmolem2.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑗) / 𝑘𝐵)
141139, 140fvmptg 6816 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
142136, 137, 141syl2an2 686 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
143104, 135, 1423eqtr4rd 2788 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
14469, 71, 73, 74, 4, 75, 3, 88, 99, 143seqcoll 14030 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
145 prodmo.3 . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
1468, 8jca 515 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
1471, 2, 145, 140, 146, 6, 27prodmolem3 15495 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) = (seq1( · , 𝐻)‘𝑁))
148144, 147eqtr4d 2780 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
14967, 148breqtrd 5079 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  csb 3811  cdif 3863  wss 3866  ifcif 4439   class class class wbr 5053  cmpt 5135  ccnv 5550  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380   Isom wiso 6381  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  cc 10727  cr 10728  1c1 10730   · cmul 10734  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  ...cfz 13095  seqcseq 13574  chash 13896  cli 15045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049
This theorem is referenced by:  prodmolem2  15497  zprod  15499
  Copyright terms: Public domain W3C validator