Theorem dvcxp1 26706

Description: The derivative of a complex power with respect to the first argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcxp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcxp1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11226	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		relogcl 26541	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5		rpreccl 13040	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7		recn 11224	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		mulcl 11218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
9		efcl 16103	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
11	7, 10	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
12		ovexd 7445	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
13		relogf1o 26532	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
14		f1of 6823	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
16	15	feqmptd 6952	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
17		fvres 6900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
18	17	mpteq2ia 5221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
19	16, 18	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
20	19	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
21		dvrelog 26603	. . . 4 ⊢ (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
22	20, 21	eqtr3di 2786	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
24	23	cnfldtopon 24726	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
25		toponmax 22869	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
26	24, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
27		ax-resscn 11191	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ⊆ ℂ)
29		dfss2 3949	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
30	28, 29	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
31		ovexd 7445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
32		cnelprrecn 11227	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
34		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		efcl 16103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
36	35	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
37		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38		1cnd 11235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
39	33	dvmptid 25918	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	33, 37, 38, 39, 40	dvmptcmul 25925	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
42		mulrid 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
43	42	mpteq2dv 5220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
44	41, 43	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
45		dvef 25941	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D exp) = exp
46		eff 16102	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
48	47	feqmptd 6952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
49	48	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)) = exp)
50	49	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (ℂ D exp))
51	45, 50, 49	3eqtr4a 2797	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
52		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
53	33, 33, 8, 34, 36, 36, 44, 51, 52, 52	dvmptco 25933	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
54	23, 2, 26, 30, 10, 31, 53	dvmptres3 25917	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
55		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
56	55	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
57	56	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
58	2, 2, 4, 6, 11, 12, 22, 54, 56, 57	dvmptco 25933	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
59		rpcn 13024	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
60	59	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		rpne0 13030	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
62	61	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
63		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	cxpefd 26678	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
65	64	mpteq2dva 5219	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
66	65	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
67		1cnd 11235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
68	60, 62, 63, 67	cxpsubd 26684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)))
69	60	cxp1d 26672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
70	69	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥))
71	60, 63	cxpcld 26674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
72	71, 60, 62	divrecd 12025	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
73	68, 70, 72	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
74	73	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
75	6	rpcnd 13058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
76	63, 71, 75	mul12d 11449	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
77	71, 63, 75	mulassd 11263	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
78	76, 77	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
79	64	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
80	79	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
81	74, 78, 80	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
82	81	mpteq2dva 5219	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
83	58, 66, 82	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  {cpr 4608   ↦ cmpt 5206   ↾ cres 5661  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℝ⁺crp 13013  expce 16082  TopOpenctopn 17440  ℂ_fldccnfld 21320  TopOnctopon 22853   D cdv 25821  logclog 26520  ↑_𝑐ccxp 26521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-cmp 23330  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-cxp 26523

This theorem is referenced by:  dvsqrt  26708  logdivsqrle  34687