Theorem dvcxp1 26656

Description: The derivative of a complex power with respect to the first argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcxp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcxp1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11167	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		relogcl 26491	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5		rpreccl 12986	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7		recn 11165	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		mulcl 11159	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
9		efcl 16055	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
11	7, 10	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
12		ovexd 7425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
13		relogf1o 26482	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
14		f1of 6803	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
16	15	feqmptd 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
17		fvres 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
18	17	mpteq2ia 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
19	16, 18	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
20	19	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
21		dvrelog 26553	. . . 4 ⊢ (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
22	20, 21	eqtr3di 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
23		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
24	23	cnfldtopon 24677	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
25		toponmax 22820	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
26	24, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
27		ax-resscn 11132	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ⊆ ℂ)
29		dfss2 3935	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
30	28, 29	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
31		ovexd 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
32		cnelprrecn 11168	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
34		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		efcl 16055	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
36	35	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
37		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38		1cnd 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
39	33	dvmptid 25868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	33, 37, 38, 39, 40	dvmptcmul 25875	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
42		mulrid 11179	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
43	42	mpteq2dv 5204	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
44	41, 43	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
45		dvef 25891	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D exp) = exp
46		eff 16054	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
48	47	feqmptd 6932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
49	48	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)) = exp)
50	49	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (ℂ D exp))
51	45, 50, 49	3eqtr4a 2791	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
52		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
53	33, 33, 8, 34, 36, 36, 44, 51, 52, 52	dvmptco 25883	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
54	23, 2, 26, 30, 10, 31, 53	dvmptres3 25867	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
55		oveq2 7398	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
56	55	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
57	56	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
58	2, 2, 4, 6, 11, 12, 22, 54, 56, 57	dvmptco 25883	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
59		rpcn 12969	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
60	59	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		rpne0 12975	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
62	61	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
63		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	cxpefd 26628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
65	64	mpteq2dva 5203	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
66	65	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
67		1cnd 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
68	60, 62, 63, 67	cxpsubd 26634	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)))
69	60	cxp1d 26622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
70	69	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥))
71	60, 63	cxpcld 26624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
72	71, 60, 62	divrecd 11968	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
73	68, 70, 72	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
74	73	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
75	6	rpcnd 13004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
76	63, 71, 75	mul12d 11390	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
77	71, 63, 75	mulassd 11204	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
78	76, 77	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
79	64	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
80	79	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
81	74, 78, 80	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
82	81	mpteq2dva 5203	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
83	58, 66, 82	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  {cpr 4594   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958  expce 16034  TopOpenctopn 17391  ℂ_fldccnfld 21271  TopOnctopon 22804   D cdv 25771  logclog 26470  ↑_𝑐ccxp 26471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473

This theorem is referenced by:  dvsqrt  26658  logdivsqrle  34648