MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcxp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcxp1 25234
Description: The derivative of a complex power with respect to the first argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcxp1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcxp1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10618 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 relogcl 25072 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
43adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5 rpreccl 12405 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
65adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7 recn 10616 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8 mulcl 10610 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
9 efcl 15426 . . . . 5 ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
117, 10sylan2 592 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
12 ovexd 7183 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
13 dvrelog 25133 . . . 4 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
14 relogf1o 25063 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
15 f1of 6612 . . . . . . . 8 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
1716feqmptd 6730 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
18 fvres 6686 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
1918mpteq2ia 5154 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
2017, 19syl6eq 2877 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
2120oveq2d 7164 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
2213, 21syl5reqr 2876 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
23 eqid 2826 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423cnfldtopon 23306 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
25 toponmax 21450 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
2624, 25mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
27 ax-resscn 10583 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ⊆ ℂ)
29 df-ss 3956 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
3028, 29sylib 219 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
31 ovexd 7183 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
32 cnelprrecn 10619 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3332a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
34 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
35 efcl 15426 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
3635adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
37 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38 1cnd 10625 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
3933dvmptid 24469 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
40 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4133, 37, 38, 39, 40dvmptcmul 24476 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
42 mulid1 10628 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4342mpteq2dv 5159 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
4441, 43eqtrd 2861 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
45 dvef 24492 . . . . . 6 (ℂ D exp) = exp
46 eff 15425 . . . . . . . . . 10 exp:ℂ⟶ℂ
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
4847feqmptd 6730 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4948eqcomd 2832 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)) = exp)
5049oveq2d 7164 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (ℂ D exp))
5145, 50, 493eqtr4a 2887 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
52 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
5333, 33, 8, 34, 36, 36, 44, 51, 52, 52dvmptco 24484 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
5423, 2, 26, 30, 10, 31, 53dvmptres3 24468 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
55 oveq2 7156 . . . 4 (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
5655fveq2d 6671 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
5756oveq1d 7163 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
582, 2, 4, 6, 11, 12, 22, 54, 56, 57dvmptco 24484 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
59 rpcn 12389 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
6059adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
61 rpne0 12395 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
6261adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
63 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6460, 62, 63cxpefd 25208 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
6564mpteq2dva 5158 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
6665oveq2d 7164 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
67 1cnd 10625 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
6860, 62, 63, 67cxpsubd 25214 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)))
6960cxp1d 25202 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
7069oveq2d 7164 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥))
7160, 63cxpcld 25204 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℂ)
7271, 60, 62divrecd 11408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
7368, 70, 723eqtrd 2865 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
7473oveq2d 7164 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
756rpcnd 12423 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
7663, 71, 75mul12d 10838 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
7771, 63, 75mulassd 10653 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
7876, 77eqtr4d 2864 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
7964oveq1d 7163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
8079oveq1d 7163 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
8174, 78, 803eqtrd 2865 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
8281mpteq2dva 5158 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
8358, 66, 823eqtr4d 2871 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  Vcvv 3500  cin 3939  wss 3940  {cpr 4566  cmpt 5143  cres 5556  wf 6348  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  cmin 10859   / cdiv 11286  +crp 12379  expce 15405  TopOpenctopn 16685  fldccnfld 20461  TopOnctopon 21434   D cdv 24376  logclog 25051  𝑐ccxp 25052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-cmp 21911  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-cxp 25054
This theorem is referenced by:  dvsqrt  25236  logdivsqrle  31807
  Copyright terms: Public domain W3C validator