Theorem dvcxp1 26593

Description: The derivative of a complex power with respect to the first argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcxp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcxp1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11199	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		relogcl 26428	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5		rpreccl 12998	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7		recn 11197	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		mulcl 11191	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
9		efcl 16024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
11	7, 10	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
12		ovexd 7437	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
13		relogf1o 26419	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
14		f1of 6824	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
16	15	feqmptd 6951	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
17		fvres 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
18	17	mpteq2ia 5242	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
19	16, 18	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
20	19	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
21		dvrelog 26490	. . . 4 ⊢ (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
22	20, 21	eqtr3di 2779	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
23		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
24	23	cnfldtopon 24623	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
25		toponmax 22752	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
26	24, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
27		ax-resscn 11164	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ⊆ ℂ)
29		df-ss 3958	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
30	28, 29	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
31		ovexd 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
32		cnelprrecn 11200	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
34		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		efcl 16024	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
36	35	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
37		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38		1cnd 11207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
39	33	dvmptid 25813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	33, 37, 38, 39, 40	dvmptcmul 25820	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
42		mulrid 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
43	42	mpteq2dv 5241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
44	41, 43	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
45		dvef 25836	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D exp) = exp
46		eff 16023	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
48	47	feqmptd 6951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
49	48	eqcomd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)) = exp)
50	49	oveq2d 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (ℂ D exp))
51	45, 50, 49	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
52		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
53	33, 33, 8, 34, 36, 36, 44, 51, 52, 52	dvmptco 25828	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
54	23, 2, 26, 30, 10, 31, 53	dvmptres3 25812	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
55		oveq2 7410	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
56	55	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
57	56	oveq1d 7417	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
58	2, 2, 4, 6, 11, 12, 22, 54, 56, 57	dvmptco 25828	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
59		rpcn 12982	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
60	59	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		rpne0 12988	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
62	61	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
63		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	cxpefd 26565	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
65	64	mpteq2dva 5239	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
66	65	oveq2d 7418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
67		1cnd 11207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
68	60, 62, 63, 67	cxpsubd 26571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)))
69	60	cxp1d 26559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
70	69	oveq2d 7418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥))
71	60, 63	cxpcld 26561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
72	71, 60, 62	divrecd 11991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
73	68, 70, 72	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
74	73	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
75	6	rpcnd 13016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
76	63, 71, 75	mul12d 11421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
77	71, 63, 75	mulassd 11235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
78	76, 77	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
79	64	oveq1d 7417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
80	79	oveq1d 7417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
81	74, 78, 80	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
82	81	mpteq2dva 5239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
83	58, 66, 82	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941  {cpr 4623   ↦ cmpt 5222   ↾ cres 5669  ⟶wf 6530  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   − cmin 11442   / cdiv 11869  ℝ⁺crp 12972  expce 16003  TopOpenctopn 17368  ℂ_fldccnfld 21230  TopOnctopon 22736   D cdv 25716  logclog 26407  ↑_𝑐ccxp 26408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ioc 13327  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-fac 14232  df-bc 14261  df-hash 14289  df-shft 15012  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-lp 22964  df-perf 22965  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-haus 23143  df-cmp 23215  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cncf 24722  df-limc 25719  df-dv 25720  df-log 26409  df-cxp 26410

This theorem is referenced by:  dvsqrt  26595  logdivsqrle  34153