MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcxp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcxp1 25938
Description: The derivative of a complex power with respect to the first argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcxp1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴

Proof of Theorem dvcxp1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11009 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
3 relogcl 25776 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
43adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5 rpreccl 12802 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
65adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
7 recn 11007 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
8 mulcl 11001 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
9 efcl 15837 . . . . 5 ((𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
117, 10sylan2 594 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
12 ovexd 7342 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴) ∈ V)
13 relogf1o 25767 . . . . . . . 8 (log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
14 f1of 6746 . . . . . . . 8 ((log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
1513, 14mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
1615feqmptd 6869 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)))
17 fvres 6823 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
1817mpteq2ia 5184 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))
1916, 18eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
2019oveq2d 7323 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))))
21 dvrelog 25837 . . . 4 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
2220, 21eqtr3di 2791 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
23 eqid 2736 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2423cnfldtopon 23991 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
25 toponmax 22120 . . . . 5 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) β†’ β„‚ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2624, 25mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
27 ax-resscn 10974 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
29 df-ss 3909 . . . . 5 (ℝ βŠ† β„‚ ↔ (ℝ ∩ β„‚) = ℝ)
3028, 29sylib 217 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ ∩ β„‚) = ℝ)
31 ovexd 7342 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴) ∈ V)
32 cnelprrecn 11010 . . . . . 6 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
3332a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
34 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
35 efcl 15837 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3635adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
37 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
38 1cnd 11016 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
3933dvmptid 25166 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1))
40 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4133, 37, 38, 39, 40dvmptcmul 25173 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 1)))
42 mulid1 11019 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
4342mpteq2dv 5183 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 1)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
4441, 43eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
45 dvef 25189 . . . . . 6 (β„‚ D exp) = exp
46 eff 15836 . . . . . . . . . 10 exp:β„‚βŸΆβ„‚
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
4847feqmptd 6869 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
4948eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)) = exp)
5049oveq2d 7323 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (β„‚ D exp))
5145, 50, 493eqtr4a 2802 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
52 fveq2 6804 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐴 Β· 𝑦) β†’ (expβ€˜π‘₯) = (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
5333, 33, 8, 34, 36, 36, 44, 51, 52, 52dvmptco 25181 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴)))
5423, 2, 26, 30, 10, 31, 53dvmptres3 25165 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴)))
55 oveq2 7315 . . . 4 (𝑦 = (logβ€˜π‘₯) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯)))
5655fveq2d 6808 . . 3 (𝑦 = (logβ€˜π‘₯) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))
5756oveq1d 7322 . . 3 (𝑦 = (logβ€˜π‘₯) β†’ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴))
582, 2, 4, 6, 11, 12, 22, 54, 56, 57dvmptco 25181 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯))))
59 rpcn 12786 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6059adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
61 rpne0 12792 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
6261adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
63 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6460, 62, 63cxpefd 25912 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐𝐴) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))
6564mpteq2dva 5181 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯)))))
6665oveq2d 7323 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))))
67 1cnd 11016 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
6860, 62, 63, 67cxpsubd 25918 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (π‘₯↑𝑐1)))
6960cxp1d 25906 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐1) = π‘₯)
7069oveq2d 7323 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (π‘₯↑𝑐1)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / π‘₯))
7160, 63cxpcld 25908 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐𝐴) ∈ β„‚)
7271, 60, 62divrecd 11800 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / π‘₯) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
7368, 70, 723eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
7473oveq2d 7323 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1))) = (𝐴 Β· ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯))))
756rpcnd 12820 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
7663, 71, 75mul12d 11230 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 Β· ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯))) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (𝐴 Β· (1 / π‘₯))))
7771, 63, 75mulassd 11044 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (𝐴 Β· (1 / π‘₯))))
7876, 77eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 Β· ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯))) = (((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
7964oveq1d 7322 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴))
8079oveq1d 7322 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)) = (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
8174, 78, 803eqtrd 2780 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1))) = (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
8281mpteq2dva 5181 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯))))
8358, 66, 823eqtr4d 2786 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  Vcvv 3437   ∩ cin 3891   βŠ† wss 3892  {cpr 4567   ↦ cmpt 5164   β†Ύ cres 5602  βŸΆwf 6454  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6457  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  β„‚cc 10915  β„cr 10916  0cc0 10917  1c1 10918   Β· cmul 10922   βˆ’ cmin 11251   / cdiv 11678  β„+crp 12776  expce 15816  TopOpenctopn 17177  β„‚fldccnfld 20642  TopOnctopon 22104   D cdv 25072  logclog 25755  β†‘𝑐ccxp 25756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-ioo 13129  df-ioc 13130  df-ico 13131  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-mod 13636  df-seq 13768  df-exp 13829  df-fac 14034  df-bc 14063  df-hash 14091  df-shft 14823  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-limsup 15225  df-clim 15242  df-rlim 15243  df-sum 15443  df-ef 15822  df-sin 15824  df-cos 15825  df-pi 15827  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-rest 17178  df-topn 17179  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-topgen 17199  df-pt 17200  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-qtop 17263  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-fbas 20639  df-fg 20640  df-cnfld 20643  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cld 22215  df-ntr 22216  df-cls 22217  df-nei 22294  df-lp 22332  df-perf 22333  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-haus 22511  df-cmp 22583  df-tx 22758  df-hmeo 22951  df-fil 23042  df-fm 23134  df-flim 23135  df-flf 23136  df-xms 23518  df-ms 23519  df-tms 23520  df-cncf 24086  df-limc 25075  df-dv 25076  df-log 25757  df-cxp 25758
This theorem is referenced by:  dvsqrt  25940  logdivsqrle  32675
  Copyright terms: Public domain W3C validator