Theorem dvcxp1 24890

Description: The derivative of a complex power with respect to the first argument. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcxp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvcxp1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 10351	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		relogcl 24728	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5		rpreccl 12147	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
6	5	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7		recn 10349	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		mulcl 10343	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
9		efcl 15192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
11	7, 10	sylan2 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
12		ovexd 6944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
13		dvrelog 24789	. . . 4 ⊢ (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
14		relogf1o 24719	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
15		f1of 6382	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
17	16	feqmptd 6500	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
18		fvres 6456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
19	18	mpteq2ia 4965	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
20	17, 19	syl6eq 2877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
21	20	oveq2d 6926	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
22	13, 21	syl5reqr 2876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
23		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
24	23	cnfldtopon 22963	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
25		toponmax 21108	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
26	24, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
27		ax-resscn 10316	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℝ ⊆ ℂ)
29		df-ss 3812	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
30	28, 29	sylib 210	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
31		ovexd 6944	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
32		cnelprrecn 10352	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
34		simpl 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		efcl 15192	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
36	35	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
37		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38		1cnd 10358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
39	33	dvmptid 24126	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
40		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	33, 37, 38, 39, 40	dvmptcmul 24133	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
42		mulid1 10361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
43	42	mpteq2dv 4970	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
44	41, 43	eqtrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
45		dvef 24149	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D exp) = exp
46		eff 15191	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
48	47	feqmptd 6500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
49	48	eqcomd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)) = exp)
50	49	oveq2d 6926	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (ℂ D exp))
51	45, 50, 49	3eqtr4a 2887	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
52		fveq2 6437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
53	33, 33, 8, 34, 36, 36, 44, 51, 52, 52	dvmptco 24141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
54	23, 2, 26, 30, 10, 31, 53	dvmptres3 24125	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
55		oveq2 6918	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
56	55	fveq2d 6441	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
57	56	oveq1d 6925	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
58	2, 2, 4, 6, 11, 12, 22, 54, 56, 57	dvmptco 24141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
59		rpcn 12131	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
60	59	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
61		rpne0 12137	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
62	61	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
63		simpl 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	60, 62, 63	cxpefd 24864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
65	64	mpteq2dva 4969	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
66	65	oveq2d 6926	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
67		1cnd 10358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
68	60, 62, 63, 67	cxpsubd 24870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)))
69	60	cxp1d 24858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
70	69	oveq2d 6926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥))
71	60, 63	cxpcld 24860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
72	71, 60, 62	divrecd 11137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
73	68, 70, 72	3eqtrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
74	73	oveq2d 6926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
75	6	rpcnd 12165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
76	63, 71, 75	mul12d 10571	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
77	71, 63, 75	mulassd 10387	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
78	76, 77	eqtr4d 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
79	64	oveq1d 6925	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
80	79	oveq1d 6925	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
81	74, 78, 80	3eqtrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
82	81	mpteq2dva 4969	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
83	58, 66, 82	3eqtr4d 2871	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  Vcvv 3414   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  {cpr 4401   ↦ cmpt 4954   ↾ cres 5348  ⟶wf 6123  –1-1-onto→wf1o 6126  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   · cmul 10264   − cmin 10592   / cdiv 11016  ℝ⁺crp 12119  expce 15171  TopOpenctopn 16442  ℂ_fldccnfld 20113  TopOnctopon 21092   D cdv 24033  logclog 24707  ↑_𝑐ccxp 24708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180  df-pi 15182  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-cmp 21568  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037  df-log 24709  df-cxp 24710

This theorem is referenced by:  dvsqrt  24892  logdivsqrle  31273