Theorem cnfld1 21335

Description: One is the unity element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) Avoid ax-mulf 11124. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld1	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11102	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ovmpot 7530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (1 · 𝑥))
3	2	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
4	1, 3	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
5		mullid 11149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6	4, 5	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥)
7		ovmpot 7530	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
8	1, 7	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
9		mulrid 11148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
10	8, 9	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
11	6, 10	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
12	11	rgen 3046	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
13	1, 12	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
14		cnring 21332	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		cnfldbas 21300	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16		mpocnfldmul 21303	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
17		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
18	15, 16, 17	isringid 20191	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
19	14, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
20	13, 19	mpbi 230	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
21	20	eqcomi 2738	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  ℂcc 11042  1c1 11045   · cmul 11049  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  ℂ_fldccnfld 21296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-cmn 19696  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-cnfld 21297

This theorem is referenced by:  cndrng  21340  cndrngOLD  21341  cnfldinv  21344  cnfldexp  21346  cnsubrglem  21358  cnsubrglemOLD  21359  cnsubdrglem  21360  zsssubrg  21367  cnmgpid  21371  gzrngunitlem  21374  expmhm  21378  nn0srg  21379  rge0srg  21380  zring1  21401  fermltlchr  21471  re1r  21555  clm1  25006  isclmp  25030  cnlmod  25073  cphsubrglem  25110  taylply2  26308  taylply2OLD  26309  efsubm  26493  amgmlem  26933  amgm  26934  wilthlem2  27012  wilthlem3  27013  dchrelbas3  27182  dchrzrh1  27188  dchrmulcl  27193  dchrn0  27194  dchrinvcl  27197  dchrfi  27199  dchrabs  27204  sumdchr2  27214  rpvmasum2  27456  qrng1  27566  psgnid  33069  cnmsgn0g  33118  altgnsg  33121  xrge0slmod  33312  znfermltl  33330  constrsdrg  33758  iistmd  33885  xrge0iifmhm  33922  cnsrexpcl  43147  rngunsnply  43151  proot1ex  43178  amgmwlem  49784  amgmlemALT  49785