Theorem cnfld1 20569

Description: One is the unit element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld1	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10594	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulid2 10639	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
3		mulid1 10638	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
4	2, 3	jca 514	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
5	4	rgen 3148	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)
6	1, 5	pm3.2i 473	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
7		cnring 20566	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
8		cnfldbas 20548	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfldmul 20550	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
10		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
11	8, 9, 10	isringid 19322	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
12	7, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
13	6, 12	mpbi 232	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
14	13	eqcomi 2830	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  1c1 10537   · cmul 10541  1_rcur 19250  Ringcrg 19296  ℂ_fldccnfld 20544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-cmn 18907  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-cnfld 20545

This theorem is referenced by:  cndrng  20573  cnfldinv  20575  cnfldexp  20577  cnsubrglem  20594  cnsubdrglem  20595  zsssubrg  20602  cnmgpid  20606  gzrngunitlem  20609  expmhm  20613  nn0srg  20614  rge0srg  20615  zring1  20627  re1r  20756  clm1  23676  isclmp  23700  cnlmod  23743  cphsubrglem  23780  taylply2  24955  efsubm  25134  amgmlem  25566  amgm  25567  wilthlem2  25645  wilthlem3  25646  dchrelbas3  25813  dchrzrh1  25819  dchrmulcl  25824  dchrn0  25825  dchrinvcl  25828  dchrfi  25830  dchrabs  25835  sumdchr2  25845  rpvmasum2  26087  qrng1  26197  psgnid  30739  cnmsgn0g  30788  altgnsg  30791  xrge0slmod  30917  iistmd  31145  xrge0iifmhm  31182  cnsrexpcl  39763  rngunsnply  39771  proot1ex  39799  amgmwlem  44902  amgmlemALT  44903