Theorem cnfld1 20970

Description: One is the unity element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld1	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11168	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mullid 11213	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
3		mulrid 11212	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
4	2, 3	jca 513	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
5	4	rgen 3064	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)
6	1, 5	pm3.2i 472	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
7		cnring 20967	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
8		cnfldbas 20948	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfldmul 20950	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
11	8, 9, 10	isringid 20088	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
12	7, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
13	6, 12	mpbi 229	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
14	13	eqcomi 2742	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  1c1 11111   · cmul 11115  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  ℂ_fldccnfld 20944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-cnfld 20945

This theorem is referenced by:  cndrng  20974  cnfldinv  20976  cnfldexp  20978  cnsubrglem  20995  cnsubdrglem  20996  zsssubrg  21003  cnmgpid  21007  gzrngunitlem  21010  expmhm  21014  nn0srg  21015  rge0srg  21016  zring1  21029  re1r  21166  clm1  24589  isclmp  24613  cnlmod  24656  cphsubrglem  24694  taylply2  25880  efsubm  26060  amgmlem  26494  amgm  26495  wilthlem2  26573  wilthlem3  26574  dchrelbas3  26741  dchrzrh1  26747  dchrmulcl  26752  dchrn0  26753  dchrinvcl  26756  dchrfi  26758  dchrabs  26763  sumdchr2  26773  rpvmasum2  27015  qrng1  27125  psgnid  32256  cnmsgn0g  32305  altgnsg  32308  xrge0slmod  32463  fermltlchr  32478  znfermltl  32479  iistmd  32882  xrge0iifmhm  32919  cnsrexpcl  41907  rngunsnply  41915  proot1ex  41943  amgmwlem  47849  amgmlemALT  47850