Theorem cnfld1 21558

Description: One is the unity element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) Avoid ax-mulf 11186. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld1	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11164	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ovmpot 7573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (1 · 𝑥))
3	2	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
4	1, 3	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
5		mullid 11213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6	4, 5	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥)
7		ovmpot 7573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
8	1, 7	mpan2 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
9		mulrid 11212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
10	8, 9	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
11	6, 10	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
12	11	rgen 3080	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
13	1, 12	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
14		cnring 21555	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		cnfldbas 21537	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16		mpocnfldmul 21540	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
17		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
18	15, 16, 17	isringid 20361	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
19	14, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
20	13, 19	mpbi 233	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
21	20	eqcomi 2771	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11104  1c1 11107   · cmul 11111  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  ℂ_fldccnfld 21533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-cmn 19858  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-cnfld 21534

This theorem is used by:  cndrng  21562  cnfldinv  21564  cnfldexp  21566  cnsubrglem  21578  cnsubdrglem  21579  zsssubrg  21586  cnmgpid  21590  gzrngunitlem  21593  expmhm  21597  nn0srg  21598  rge0srg  21599  zring1  21620  fermltlchr  21690  re1r  21774  clm1  25243  isclmp  25267  cnlmod  25310  cphsubrglem  25347  taylply2  26542  efsubm  26727  amgmlem  27165  amgm  27166  wilthlem2  27244  wilthlem3  27245  dchrelbas3  27413  dchrzrh1  27419  dchrmulcl  27424  dchrn0  27425  dchrinvcl  27428  dchrfi  27430  dchrabs  27435  sumdchr2  27445  rpvmasum2  27687  qrng1  27797  psgnid  33426  cnmsgn0g  33475  altgnsg  33478  xrge0slmod  33677  znfermltl  33690  constrsdrg  34174  iistmd  34301  xrge0iifmhm  34338  cnsrexpcl  43920  rngunsnply  43924  proot1ex  43951  amgmwlem  50677  amgmlemALT  50678