Theorem cnfld1 21170

Description: One is the unity element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld1	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11170	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mullid 11217	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
3		mulrid 11216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
4	2, 3	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
5	4	rgen 3063	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)
6	1, 5	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
7		cnring 21167	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
8		cnfldbas 21148	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfldmul 21150	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
10		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
11	8, 9, 10	isringid 20159	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
12	7, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
13	6, 12	mpbi 229	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
14	13	eqcomi 2741	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  1c1 11113   · cmul 11117  1_rcur 20075  Ringcrg 20127  ℂ_fldccnfld 21144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-cmn 19691  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-cnfld 21145

This theorem is referenced by:  cndrng  21174  cnfldinv  21176  cnfldexp  21178  cnsubrglem  21195  cnsubdrglem  21196  zsssubrg  21203  cnmgpid  21207  gzrngunitlem  21210  expmhm  21214  nn0srg  21215  rge0srg  21216  zring1  21230  re1r  21385  clm1  24813  isclmp  24837  cnlmod  24880  cphsubrglem  24918  taylply2  26104  efsubm  26284  amgmlem  26718  amgm  26719  wilthlem2  26797  wilthlem3  26798  dchrelbas3  26965  dchrzrh1  26971  dchrmulcl  26976  dchrn0  26977  dchrinvcl  26980  dchrfi  26982  dchrabs  26987  sumdchr2  26997  rpvmasum2  27239  qrng1  27349  psgnid  32514  cnmsgn0g  32563  altgnsg  32566  xrge0slmod  32721  fermltlchr  32740  znfermltl  32741  iistmd  33168  xrge0iifmhm  33205  cnsrexpcl  42209  rngunsnply  42217  proot1ex  42245  amgmwlem  47937  amgmlemALT  47938