Theorem cnfld1 21348

Description: One is the unity element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) Avoid ax-mulf 11106. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld1	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11084	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ovmpot 7519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (1 · 𝑥))
3	2	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
4	1, 3	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
5		mullid 11131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6	4, 5	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥)
7		ovmpot 7519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
8	1, 7	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
9		mulrid 11130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
10	8, 9	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
11	6, 10	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
12	11	rgen 3053	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
13	1, 12	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
14		cnring 21345	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		cnfldbas 21313	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16		mpocnfldmul 21316	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
18	15, 16, 17	isringid 20206	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
19	14, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
20	13, 19	mpbi 230	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
21	20	eqcomi 2745	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ℂcc 11024  1c1 11027   · cmul 11031  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  ℂ_fldccnfld 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-cmn 19711  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-cnfld 21310

This theorem is referenced by:  cndrng  21353  cndrngOLD  21354  cnfldinv  21357  cnfldexp  21359  cnsubrglem  21371  cnsubrglemOLD  21372  cnsubdrglem  21373  zsssubrg  21380  cnmgpid  21384  gzrngunitlem  21387  expmhm  21391  nn0srg  21392  rge0srg  21393  zring1  21414  fermltlchr  21484  re1r  21568  clm1  25029  isclmp  25053  cnlmod  25096  cphsubrglem  25133  taylply2  26331  taylply2OLD  26332  efsubm  26516  amgmlem  26956  amgm  26957  wilthlem2  27035  wilthlem3  27036  dchrelbas3  27205  dchrzrh1  27211  dchrmulcl  27216  dchrn0  27217  dchrinvcl  27220  dchrfi  27222  dchrabs  27227  sumdchr2  27237  rpvmasum2  27479  qrng1  27589  psgnid  33179  cnmsgn0g  33228  altgnsg  33231  xrge0slmod  33429  znfermltl  33447  constrsdrg  33932  iistmd  34059  xrge0iifmhm  34096  cnsrexpcl  43407  rngunsnply  43411  proot1ex  43438  amgmwlem  50047  amgmlemALT  50048