Theorem cnfld1 21664

Description: One is the unity element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) Avoid ax-mulf 11251. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld1	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11229	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ovmpot 7569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (1 · 𝑥))
3	2	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
4	1, 3	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
5		mullid 11278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
6	4, 5	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥)
7		ovmpot 7569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
8	1, 7	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
9		mulrid 11277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
10	8, 9	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
11	6, 10	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
12	11	rgen 3078	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
13	1, 12	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
14		cnring 21661	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
15		cnfldbas 21643	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16		mpocnfldmul 21646	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
17		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
18	15, 16, 17	isringid 20461	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
19	14, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
20	13, 19	mpbi 233	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
21	20	eqcomi 2769	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  ℂcc 11169  1c1 11172   · cmul 11176  1_rcur 20368  Ringcrg 20420  ℂ_fldccnfld 21639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-cmn 19957  df-mgp 20322  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-cnfld 21640

This theorem is used by:  cndrng  21668  cnfldinv  21670  cnfldexp  21672  cnsubrglem  21684  cnsubdrglem  21685  zsssubrg  21692  cnmgpid  21696  gzrngunitlem  21699  expmhm  21703  nn0srg  21704  rge0srg  21705  zring1  21726  fermltlchr  21796  re1r  21880  clm1  25355  isclmp  25379  cnlmod  25422  cphsubrglem  25459  taylply2  26658  efsubm  26842  amgmlem  27280  amgm  27281  wilthlem2  27359  wilthlem3  27360  dchrelbas3  27528  dchrzrh1  27534  dchrmulcl  27539  dchrn0  27540  dchrinvcl  27543  dchrfi  27545  dchrabs  27550  sumdchr2  27560  rpvmasum2  27802  qrng1  27912  psgnid  33591  cnmsgn0g  33640  altgnsg  33643  xrge0slmod  33842  znfermltl  33855  constrsdrg  34340  iistmd  34467  xrge0iifmhm  34504  cnsrexpcl  44110  rngunsnply  44114  proot1ex  44141  amgmwlem  50909  amgmlemALT  50910