Theorem cnfld1 20632

Description: One is the unit element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld1	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10938	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulid2 10983	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
3		mulid1 10982	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
4	2, 3	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
5	4	rgen 3075	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)
6	1, 5	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
7		cnring 20629	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
8		cnfldbas 20610	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfldmul 20612	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
11	8, 9, 10	isringid 19821	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
12	7, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
13	6, 12	mpbi 229	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
14	13	eqcomi 2748	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3065  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  1c1 10881   · cmul 10885  1_rcur 19746  Ringcrg 19792  ℂ_fldccnfld 20606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-addf 10959  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-fz 13249  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-0g 17161  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-grp 18589  df-cmn 19397  df-mgp 19730  df-ur 19747  df-ring 19794  df-cring 19795  df-cnfld 20607

This theorem is referenced by:  cndrng  20636  cnfldinv  20638  cnfldexp  20640  cnsubrglem  20657  cnsubdrglem  20658  zsssubrg  20665  cnmgpid  20669  gzrngunitlem  20672  expmhm  20676  nn0srg  20677  rge0srg  20678  zring1  20690  re1r  20827  clm1  24245  isclmp  24269  cnlmod  24312  cphsubrglem  24350  taylply2  25536  efsubm  25716  amgmlem  26148  amgm  26149  wilthlem2  26227  wilthlem3  26228  dchrelbas3  26395  dchrzrh1  26401  dchrmulcl  26406  dchrn0  26407  dchrinvcl  26410  dchrfi  26412  dchrabs  26417  sumdchr2  26427  rpvmasum2  26669  qrng1  26779  psgnid  31373  cnmsgn0g  31422  altgnsg  31425  xrge0slmod  31557  znfermltl  31571  iistmd  31861  xrge0iifmhm  31898  cnsrexpcl  40997  rngunsnply  41005  proot1ex  41033  amgmwlem  46517  amgmlemALT  46518