MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfld1 20486
Description: One is the unit element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld1 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10587 . . . 4 1 ∈ ℂ
2 mulid2 10632 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
3 mulid1 10631 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
42, 3jca 512 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
54rgen 3152 . . . 4 𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)
61, 5pm3.2i 471 . . 3 (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥))
7 cnring 20483 . . . 4 fld ∈ Ring
8 cnfldbas 20465 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
9 cnfldmul 20467 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
10 eqid 2824 . . . . 5 (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
118, 9, 10isringid 19245 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
127, 11ax-mp 5 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
136, 12mpbi 231 . 2 (1r‘ℂfld) = 1
1413eqcomi 2833 1 1 = (1r‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wral 3142  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  1c1 10530   · cmul 10534  1rcur 19173  Ringcrg 19219  fldccnfld 20461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-cmn 18830  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-cnfld 20462
This theorem is referenced by:  cndrng  20490  cnfldinv  20492  cnfldexp  20494  cnsubrglem  20511  cnsubdrglem  20512  zsssubrg  20519  cnmgpid  20523  gzrngunitlem  20526  expmhm  20530  nn0srg  20531  rge0srg  20532  zring1  20544  re1r  20673  clm1  23592  isclmp  23616  cnlmod  23659  cphsubrglem  23696  taylply2  24871  efsubm  25048  amgmlem  25481  amgm  25482  wilthlem2  25560  wilthlem3  25561  dchrelbas3  25728  dchrzrh1  25734  dchrmulcl  25739  dchrn0  25740  dchrinvcl  25743  dchrfi  25745  dchrabs  25750  sumdchr2  25760  rpvmasum2  26002  qrng1  26112  psgnid  30654  cnmsgn0g  30703  altgnsg  30706  xrge0slmod  30832  iistmd  31032  xrge0iifmhm  31069  cnsrexpcl  39627  rngunsnply  39635  proot1ex  39663  amgmwlem  44732  amgmlemALT  44733
  Copyright terms: Public domain W3C validator