Theorem 2even 48859

Description: 2 is an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
2even	⊢ 2 ∈ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12617	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		2cn 12307	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		1zzd 12616	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
4		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
5	4	eqeq2d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 1) → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
7		mulrid 11194	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
8	7	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 = (2 · 1))
9	3, 6, 8	rspcedvd 3586	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)
11		eqeq1 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
13	12	elrab 3653	. . 3 ⊢ (2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
14	1, 10, 13	mpbir2an 723	. 2 ⊢ 2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15		2zrng.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	eleqtrri 2864	1 ⊢ 2 ∈ 𝐸

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  {crab 3417  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   · cmul 11093  2c2 12286  ℤcz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-z 12583

This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  48875