Theorem 2even 49541

Description: 2 is an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
2even	⊢ 2 ∈ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 2even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12755	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		2cn 12445	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		1zzd 12754	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
4		oveq2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
5	4	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 1) → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
7		mulrid 11333	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
8	7	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 = (2 · 1))
9	3, 6, 8	rspcedvd 3582	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)
11		eqeq1 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3190	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
13	12	elrab 3648	. . 3 ⊢ (2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
14	1, 10, 13	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15		2zrng.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	eleqtrri 2863	1 ⊢ 2 ∈ 𝐸

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  1c1 11228   · cmul 11232  2c2 12424  ℤcz 12720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-z 12721

This theorem is used by:  2zrngnmlid  49557