Theorem 2even 46932

Description: 2 is an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
2even	⊢ 2 ∈ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12601	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		2cn 12294	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		1zzd 12600	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
4		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
5	4	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 1) → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
7		mulrid 11219	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
8	7	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 = (2 · 1))
9	3, 6, 8	rspcedvd 3614	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)
11		eqeq1 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3177	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
13	12	elrab 3683	. . 3 ⊢ (2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
14	1, 10, 13	mpbir2an 708	. 2 ⊢ 2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15		2zrng.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	eleqtrri 2831	1 ⊢ 2 ∈ 𝐸

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  {crab 3431  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  1c1 11117   · cmul 11121  2c2 12274  ℤcz 12565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-z 12566

This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  46948