Theorem 2even 48155

Description: 2 is an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
2even	⊢ 2 ∈ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12649	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		2cn 12341	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		1zzd 12648	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
4		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
5	4	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 1) → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
7		mulrid 11259	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
8	7	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 = (2 · 1))
9	3, 6, 8	rspcedvd 3624	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)
11		eqeq1 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
13	12	elrab 3692	. . 3 ⊢ (2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
14	1, 10, 13	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15		2zrng.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	eleqtrri 2840	1 ⊢ 2 ∈ 𝐸

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   · cmul 11160  2c2 12321  ℤcz 12613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-z 12614

This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  48171