Theorem 2even 49045

Description: 2 is an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
2even	⊢ 2 ∈ 𝐸

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 2even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12644	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		2cn 12334	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		1zzd 12643	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
4		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
5	4	eqeq2d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 1) → (2 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 1)))
7		mulrid 11224	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2 · 1) = 2)
8	7	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 = (2 · 1))
9	3, 6, 8	rspcedvd 3586	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)
11		eqeq1 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 2 = (2 · 𝑥)))
12	11	rexbidv 3192	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
13	12	elrab 3653	. . 3 ⊢ (2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = (2 · 𝑥)))
14	1, 10, 13	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 2 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15		2zrng.e	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
16	14, 15	eleqtrri 2865	1 ⊢ 2 ∈ 𝐸

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  {crab 3419  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   · cmul 11123  2c2 12313  ℤcz 12609

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-z 12610

This theorem is used by:  2zrngnmlid  49061