MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcvg 14946
Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodcvg.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fprodcvg (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcvg
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 prodrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 11899 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 seqex 13013 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
65a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2765 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
8 eluzel2 11894 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 eluzelz 11899 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1110adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 iftrue 4251 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
1312adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
14 prodmo.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1514adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1716ex 401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
18 iffalse 4254 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
19 ax-1cn 10249 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
2018, 19syl6eqel 2852 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
2117, 20pm2.61d1 172 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
22 prodmo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2322fvmpt2 6482 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2411, 21, 23syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2524, 21eqeltrd 2844 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
267, 9, 25prodf 14905 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
2726, 2ffvelrnd 6552 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
28 mulid1 10293 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
2928adantl 473 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
302adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
31 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
329adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3325adantlr 706 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
347, 32, 33prodf 14905 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3534, 30ffvelrnd 6552 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
36 elfzuz 12548 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
37 eluzelz 11899 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
3837adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
39 fprodcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
4039sseld 3762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚𝐴𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
41 fznuz 12632 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
4240, 41syl6 35 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
4342con2d 131 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚𝐴))
4443imp 395 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚𝐴)
4538, 44eldifd 3745 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
46 fveqeq2 6386 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑚) = 1))
47 eldifi 3896 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
48 eldifn 3897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
4948, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
5049, 19syl6eqel 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
5147, 50, 23syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
5251, 49eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
5346, 52vtoclga 3425 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 1)
5445, 53syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑚) = 1)
5536, 54sylan2 586 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 1)
5655adantlr 706 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 1)
5729, 30, 31, 35, 56seqid2 13057 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
5857eqcomd 2771 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
591, 4, 6, 27, 58climconst 14562 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cdif 3731  wss 3734  ifcif 4245   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  cz 11626  cuz 11889  ...cfz 12536  seqcseq 13011  cli 14503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-seq 13012  df-exp 13071  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-clim 14507
This theorem is referenced by:  prodmolem2a  14950
  Copyright terms: Public domain W3C validator