MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcvg 15873
Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
prodmo.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
prodrb.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
fprodcvg.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fprodcvg (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fprodcvg
Dummy variables 𝑛 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
2 prodrb.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3 eluzelz 12831 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 seqex 13967 . . 3 seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ V
65a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2732 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
8 eluzel2 12826 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
92, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
10 eluzelz 12831 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1110adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
12 iftrue 4534 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 𝐡)
1312adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 𝐡)
14 prodmo.2 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1514adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1613, 15eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
1716ex 413 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚))
18 iffalse 4537 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 1)
19 ax-1cn 11167 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
2018, 19eqeltrdi 2841 . . . . . . 7 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
2117, 20pm2.61d1 180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
22 prodmo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
2322fvmpt2 7009 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
2411, 21, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
2524, 21eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
267, 9, 25prodf 15832 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
2726, 2ffvelcdmd 7087 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
28 mulrid 11211 . . . . 5 (π‘š ∈ β„‚ β†’ (π‘š Β· 1) = π‘š)
2928adantl 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (π‘š Β· 1) = π‘š)
302adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
31 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
329adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3325adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
347, 32, 33prodf 15832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
3534, 30ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
36 elfzuz 13496 . . . . . 6 (π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
37 eluzelz 12831 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„€)
3837adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘š ∈ β„€)
39 fprodcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
4039sseld 3981 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ π‘š ∈ (𝑀...𝑁)))
41 fznuz 13582 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑁) β†’ Β¬ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
4240, 41syl6 35 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
4342con2d 134 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
4443imp 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
4538, 44eldifd 3959 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘š ∈ (β„€ βˆ– 𝐴))
46 fveqeq2 6900 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = 1 ↔ (πΉβ€˜π‘š) = 1))
47 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
48 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)
4948, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 1)
5049, 19eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
5147, 50, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
5251, 49eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 1)
5346, 52vtoclga 3565 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5445, 53syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5536, 54sylan2 593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5655adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5729, 30, 31, 35, 56seqid2 14013 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))
5857eqcomd 2738 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
591, 4, 6, 27, 58climconst 15486 1 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  ...cfz 13483  seqcseq 13965   ⇝ cli 15427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431
This theorem is referenced by:  prodmolem2a  15877
  Copyright terms: Public domain W3C validator