MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcvg 15272
Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodcvg.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fprodcvg (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcvg
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 prodrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 12241 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 seqex 13359 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
65a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2818 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
8 eluzel2 12236 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 eluzelz 12241 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1110adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 iftrue 4469 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
1312adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
14 prodmo.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1514adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1716ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
18 iffalse 4472 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
19 ax-1cn 10583 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
2018, 19syl6eqel 2918 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
2117, 20pm2.61d1 181 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
22 prodmo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2322fvmpt2 6771 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2411, 21, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2524, 21eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
267, 9, 25prodf 15231 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
2726, 2ffvelrnd 6844 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
28 mulid1 10627 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
2928adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
302adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
31 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
329adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3325adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
347, 32, 33prodf 15231 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3534, 30ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
36 elfzuz 12892 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
37 eluzelz 12241 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
3837adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
39 fprodcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
4039sseld 3963 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚𝐴𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
41 fznuz 12977 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
4240, 41syl6 35 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
4342con2d 136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚𝐴))
4443imp 407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚𝐴)
4538, 44eldifd 3944 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
46 fveqeq2 6672 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑚) = 1))
47 eldifi 4100 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
48 eldifn 4101 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
4948, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
5049, 19syl6eqel 2918 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
5147, 50, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
5251, 49eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
5346, 52vtoclga 3571 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 1)
5445, 53syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑚) = 1)
5536, 54sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 1)
5655adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 1)
5729, 30, 31, 35, 56seqid2 13404 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
5857eqcomd 2824 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
591, 4, 6, 27, 58climconst 14888 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833
This theorem is referenced by:  prodmolem2a  15276
  Copyright terms: Public domain W3C validator