MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcvg 15376
Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodcvg.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fprodcvg (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcvg
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . 2 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
2 prodrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 12334 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5 seqex 13462 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
65a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2738 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
8 eluzel2 12329 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 eluzelz 12334 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1110adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 iftrue 4420 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
1312adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
14 prodmo.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1514adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1716ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
18 iffalse 4423 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
19 ax-1cn 10673 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
2018, 19eqeltrdi 2841 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
2117, 20pm2.61d1 183 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
22 prodmo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2322fvmpt2 6786 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2411, 21, 23syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
2524, 21eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
267, 9, 25prodf 15335 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
2726, 2ffvelrnd 6862 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
28 mulid1 10717 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
2928adantl 485 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
302adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
31 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
329adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3325adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
347, 32, 33prodf 15335 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
3534, 30ffvelrnd 6862 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
36 elfzuz 12994 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
37 eluzelz 12334 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
3837adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
39 fprodcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
4039sseld 3876 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚𝐴𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
41 fznuz 13080 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
4240, 41syl6 35 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
4342con2d 136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚𝐴))
4443imp 410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚𝐴)
4538, 44eldifd 3854 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
46 fveqeq2 6683 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 1 ↔ (𝐹𝑚) = 1))
47 eldifi 4017 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
48 eldifn 4018 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
4948, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
5049, 19eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
5147, 50, 23syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
5251, 49eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 1)
5346, 52vtoclga 3478 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 1)
5445, 53syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑚) = 1)
5536, 54sylan2 596 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 1)
5655adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹𝑚) = 1)
5729, 30, 31, 35, 56seqid2 13508 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
5857eqcomd 2744 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
591, 4, 6, 27, 58climconst 14990 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  cdif 3840  wss 3843  ifcif 4414   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  cz 12062  cuz 12324  ...cfz 12981  seqcseq 13460  cli 14931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935
This theorem is referenced by:  prodmolem2a  15380
  Copyright terms: Public domain W3C validator