Theorem fprodcvg 15276

Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fprodcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcvg

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		prodrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 12241	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		seqex 13366	. . 3 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
7		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		eluzel2 12236	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 12241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		iftrue 4431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
13	12	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
14		prodmo.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2890	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
17	16	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
18		iffalse 4434	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
19		ax-1cn 10584	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	18, 19	eqeltrdi 2898	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
21	17, 20	pm2.61d1 183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
22		prodmo.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
23	22	fvmpt2 6756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
24	11, 21, 23	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
25	24, 21	eqeltrd 2890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	7, 9, 25	prodf 15235	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
27	26, 2	ffvelrnd 6829	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
28		mulid1 10628	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
29	28	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
30	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
32	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	25	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	7, 32, 33	prodf 15235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
35	34, 30	ffvelrnd 6829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
36		elfzuz 12898	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
37		eluzelz 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
38	37	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
39		fprodcvg.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
40	39	sseld 3914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
41		fznuz 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
42	40, 41	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
43	42	con2d 136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
44	43	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
45	38, 44	eldifd 3892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
46		fveqeq2 6654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) = 1 ↔ (𝐹‘𝑚) = 1))
47		eldifi 4054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
48		eldifn 4055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
49	48, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
50	49, 19	eqeltrdi 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
51	47, 50, 23	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
52	51, 49	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = 1)
53	46, 52	vtoclga 3522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑚) = 1)
54	45, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑚) = 1)
55	36, 54	sylan2 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 1)
56	55	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 1)
57	29, 30, 31, 35, 56	seqid2 13412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
58	57	eqcomd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
59	1, 4, 6, 27, 58	climconst 14892	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  seqcseq 13364   ⇝ cli 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837

This theorem is referenced by:  prodmolem2a  15280