MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcvg 15880
Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
prodmo.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
prodrb.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
fprodcvg.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fprodcvg (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fprodcvg
Dummy variables 𝑛 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (β„€β‰₯β€˜π‘) = (β„€β‰₯β€˜π‘)
2 prodrb.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3 eluzelz 12836 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 seqex 13974 . . 3 seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ V
65a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ V)
7 eqid 2726 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
8 eluzel2 12831 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
92, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
10 eluzelz 12836 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
12 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 𝐡)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 𝐡)
14 prodmo.2 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1514adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1613, 15eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
1716ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚))
18 iffalse 4532 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 1)
19 ax-1cn 11170 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
2018, 19eqeltrdi 2835 . . . . . . 7 (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
2117, 20pm2.61d1 180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
22 prodmo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„€ ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
2322fvmpt2 7003 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
2411, 21, 23syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
2524, 21eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
267, 9, 25prodf 15839 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
2726, 2ffvelcdmd 7081 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
28 mulrid 11216 . . . . 5 (π‘š ∈ β„‚ β†’ (π‘š Β· 1) = π‘š)
2928adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (π‘š Β· 1) = π‘š)
302adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
31 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
329adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3325adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
347, 32, 33prodf 15839 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜π‘€)βŸΆβ„‚)
3534, 30ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
36 elfzuz 13503 . . . . . 6 (π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
37 eluzelz 12836 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ π‘š ∈ β„€)
3837adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘š ∈ β„€)
39 fprodcvg.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
4039sseld 3976 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ π‘š ∈ (𝑀...𝑁)))
41 fznuz 13589 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑀...𝑁) β†’ Β¬ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
4240, 41syl6 35 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ Β¬ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
4342con2d 134 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
4443imp 406 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
4538, 44eldifd 3954 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘š ∈ (β„€ βˆ– 𝐴))
46 fveqeq2 6894 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = 1 ↔ (πΉβ€˜π‘š) = 1))
47 eldifi 4121 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
48 eldifn 4122 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)
4948, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) = 1)
5049, 19eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1) ∈ β„‚)
5147, 50, 23syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 1))
5251, 49eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 1)
5346, 52vtoclga 3560 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (β„€ βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5445, 53syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5536, 54sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5655adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) ∧ π‘š ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = 1)
5729, 30, 31, 35, 56seqid2 14019 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘›))
5857eqcomd 2732 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘›) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
591, 4, 6, 27, 58climconst 15493 1 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972   ⇝ cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438
This theorem is referenced by:  prodmolem2a  15884
  Copyright terms: Public domain W3C validator