Theorem fprodcvg 15568

Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fprodcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcvg

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		prodrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 12521	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		seqex 13651	. . 3 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		eluzel2 12516	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 12521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		iftrue 4462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
14		prodmo.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantlr 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
17	16	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
18		iffalse 4465	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
19		ax-1cn 10860	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	18, 19	eqeltrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
21	17, 20	pm2.61d1 180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
22		prodmo.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
23	22	fvmpt2 6868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
24	11, 21, 23	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
25	24, 21	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	7, 9, 25	prodf 15527	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
27	26, 2	ffvelrnd 6944	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
28		mulid1 10904	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
30	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
32	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	25	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	7, 32, 33	prodf 15527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
35	34, 30	ffvelrnd 6944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
36		elfzuz 13181	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
37		eluzelz 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
39		fprodcvg.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
40	39	sseld 3916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
41		fznuz 13267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
42	40, 41	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
43	42	con2d 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
44	43	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
45	38, 44	eldifd 3894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
46		fveqeq2 6765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) = 1 ↔ (𝐹‘𝑚) = 1))
47		eldifi 4057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
48		eldifn 4058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
49	48, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
50	49, 19	eqeltrdi 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
51	47, 50, 23	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
52	51, 49	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = 1)
53	46, 52	vtoclga 3503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑚) = 1)
54	45, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑚) = 1)
55	36, 54	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 1)
56	55	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 1)
57	29, 30, 31, 35, 56	seqid2 13697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
58	57	eqcomd 2744	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
59	1, 4, 6, 27, 58	climconst 15180	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  seqcseq 13649   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125

This theorem is referenced by:  prodmolem2a  15572