Theorem fprodcvg 15890

Description: The sequence of partial products of a finite product converges to the whole product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fprodcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcvg

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		prodrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 12793	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		seqex 13960	. . 3 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		eluzel2 12788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 12793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		iftrue 4473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
14		prodmo.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
17	16	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
18		iffalse 4476	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
19		ax-1cn 11091	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	18, 19	eqeltrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
21	17, 20	pm2.61d1 180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
22		prodmo.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
23	22	fvmpt2 6955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
24	11, 21, 23	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
25	24, 21	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	7, 9, 25	prodf 15847	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
27	26, 2	ffvelcdmd 7033	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
28		mulrid 11137	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 1) = 𝑚)
30	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
32	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33	25	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	7, 32, 33	prodf 15847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → seq𝑀( · , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
35	34, 30	ffvelcdmd 7033	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
36		elfzuz 13469	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
37		eluzelz 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
39		fprodcvg.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
40	39	sseld 3921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
41		fznuz 13558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
42	40, 41	syl6 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
43	42	con2d 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
44	43	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
45	38, 44	eldifd 3901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
46		fveqeq2 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) = 1 ↔ (𝐹‘𝑚) = 1))
47		eldifi 4072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
48		eldifn 4073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
49	48, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
50	49, 19	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
51	47, 50, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
52	51, 49	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = 1)
53	46, 52	vtoclga 3521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑚) = 1)
54	45, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑚) = 1)
55	36, 54	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 1)
56	55	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 1)
57	29, 30, 31, 35, 56	seqid2 14005	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
58	57	eqcomd 2743	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
59	1, 4, 6, 27, 58	climconst 15500	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  seqcseq 13958   ⇝ cli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445

This theorem is referenced by:  prodmolem2a  15894