![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sq01 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) |
Ref | Expression |
---|---|
sq01 | โข (๐ด โ โ โ ((๐ดโ2) = ๐ด โ (๐ด = 0 โจ ๐ด = 1))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-ne 2936 | . . . . 5 โข (๐ด โ 0 โ ยฌ ๐ด = 0) | |
2 | sqval 14103 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ด โ โ โ (๐ดโ2) = (๐ด ยท ๐ด)) | |
3 | mulrid 11234 | . . . . . . . . . . 11 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) | |
4 | 3 | eqcomd 2733 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ด โ โ โ ๐ด = (๐ด ยท 1)) |
5 | 2, 4 | eqeq12d 2743 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ โ โ ((๐ดโ2) = ๐ด โ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ด ยท 1))) |
6 | 5 | adantr 480 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โ ((๐ดโ2) = ๐ด โ (๐ด ยท ๐ด) = (๐ด ยท 1))) |
7 | ax-1cn 11188 | . . . . . . . . . 10 โข 1 โ โ | |
8 | mulcan 11873 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐ด โ โ โง 1 โ โ โง (๐ด โ โ โง ๐ด โ 0)) โ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ด ยท 1) โ ๐ด = 1)) | |
9 | 7, 8 | mp3an2 1446 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ด โ โ โง (๐ด โ โ โง ๐ด โ 0)) โ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ด ยท 1) โ ๐ด = 1)) |
10 | 9 | anabss5 667 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ด ยท 1) โ ๐ด = 1)) |
11 | 6, 10 | bitrd 279 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โ ((๐ดโ2) = ๐ด โ ๐ด = 1)) |
12 | 11 | biimpd 228 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โ ((๐ดโ2) = ๐ด โ ๐ด = 1)) |
13 | 12 | impancom 451 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง (๐ดโ2) = ๐ด) โ (๐ด โ 0 โ ๐ด = 1)) |
14 | 1, 13 | biimtrrid 242 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง (๐ดโ2) = ๐ด) โ (ยฌ ๐ด = 0 โ ๐ด = 1)) |
15 | 14 | orrd 862 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ดโ2) = ๐ด) โ (๐ด = 0 โจ ๐ด = 1)) |
16 | 15 | ex 412 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ((๐ดโ2) = ๐ด โ (๐ด = 0 โจ ๐ด = 1))) |
17 | sq0 14179 | . . . 4 โข (0โ2) = 0 | |
18 | oveq1 7421 | . . . 4 โข (๐ด = 0 โ (๐ดโ2) = (0โ2)) | |
19 | id 22 | . . . 4 โข (๐ด = 0 โ ๐ด = 0) | |
20 | 17, 18, 19 | 3eqtr4a 2793 | . . 3 โข (๐ด = 0 โ (๐ดโ2) = ๐ด) |
21 | sq1 14182 | . . . 4 โข (1โ2) = 1 | |
22 | oveq1 7421 | . . . 4 โข (๐ด = 1 โ (๐ดโ2) = (1โ2)) | |
23 | id 22 | . . . 4 โข (๐ด = 1 โ ๐ด = 1) | |
24 | 21, 22, 23 | 3eqtr4a 2793 | . . 3 โข (๐ด = 1 โ (๐ดโ2) = ๐ด) |
25 | 20, 24 | jaoi 856 | . 2 โข ((๐ด = 0 โจ ๐ด = 1) โ (๐ดโ2) = ๐ด) |
26 | 16, 25 | impbid1 224 | 1 โข (๐ด โ โ โ ((๐ดโ2) = ๐ด โ (๐ด = 0 โจ ๐ด = 1))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โจ wo 846 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2935 (class class class)co 7414 โcc 11128 0cc0 11130 1c1 11131 ยท cmul 11135 2c2 12289 โcexp 14050 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11186 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 ax-pre-mulgt0 11207 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11894 df-nn 12235 df-2 12297 df-n0 12495 df-z 12581 df-uz 12845 df-seq 13991 df-exp 14051 |
This theorem is referenced by: cphsubrglem 25092 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |