Theorem sq01 14187

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sq01	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem sq01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2941	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		sqval 14079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3		mulrid 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
5	2, 4	eqeq12d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
7		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		mulcan 11850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
9	7, 8	mp3an2 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
10	9	anabss5 666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
11	6, 10	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ 𝐴 = 1))
12	11	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴 → 𝐴 = 1))
13	12	impancom 452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
14	1, 13	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
15	14	orrd 861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
16	15	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
17		sq0 14155	. . . 4 ⊢ (0↑2) = 0
18		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
19		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
20	17, 18, 19	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 𝐴)
21		sq1 14158	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
22		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
23		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
24	21, 22, 23	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 𝐴)
25	20, 24	jaoi 855	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑2) = 𝐴)
26	16, 25	impbid1 224	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114  2c2 12266  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  cphsubrglem  24693