Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sq01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sq01 13626
 Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
sq01 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem sq01
StepHypRef Expression
1 df-ne 2953 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 sqval 13521 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3 mulid1 10667 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
43eqcomd 2765 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
52, 4eqeq12d 2775 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
65adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
7 ax-1cn 10623 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
8 mulcan 11305 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
97, 8mp3an2 1447 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
109anabss5 668 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
116, 10bitrd 282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴𝐴 = 1))
1211biimpd 232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴𝐴 = 1))
1312impancom 456 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
141, 13syl5bir 246 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
1514orrd 861 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
1615ex 417 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
17 sq0 13595 . . . 4 (0↑2) = 0
18 oveq1 7155 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
19 id 22 . . . 4 (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
2017, 18, 193eqtr4a 2820 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 𝐴)
21 sq1 13598 . . . 4 (1↑2) = 1
22 oveq1 7155 . . . 4 (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
23 id 22 . . . 4 (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
2421, 22, 233eqtr4a 2820 . . 3 (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 𝐴)
2520, 24jaoi 855 . 2 ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑2) = 𝐴)
2616, 25impbid1 228 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  (class class class)co 7148  ℂcc 10563  0cc0 10565  1c1 10566   · cmul 10570  2c2 11719  ↑cexp 13469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-div 11326  df-nn 11665  df-2 11727  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-seq 13409  df-exp 13470 This theorem is referenced by:  cphsubrglem  23868
 Copyright terms: Public domain W3C validator