Theorem sq01 13868

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sq01	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem sq01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2943	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		sqval 13763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3		mulid1 10904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
5	2, 4	eqeq12d 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
7		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		mulcan 11542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
9	7, 8	mp3an2 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
10	9	anabss5 664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
11	6, 10	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ 𝐴 = 1))
12	11	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴 → 𝐴 = 1))
13	12	impancom 451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
14	1, 13	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
15	14	orrd 859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
16	15	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
17		sq0 13837	. . . 4 ⊢ (0↑2) = 0
18		oveq1 7262	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
19		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
20	17, 18, 19	3eqtr4a 2805	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 𝐴)
21		sq1 13840	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
22		oveq1 7262	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
23		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
24	21, 22, 23	3eqtr4a 2805	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 𝐴)
25	20, 24	jaoi 853	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑2) = 𝐴)
26	16, 25	impbid1 224	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  2c2 11958  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  cphsubrglem  24246