Theorem muleqadd 11859

Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 13-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
muleqadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Proof of Theorem muleqadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11159	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulsub 11658	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
3	1, 2	mpanr2 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
4	1, 3	mpanl2 713	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
5	1	mulridi 11214	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
6	5	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
8		mulrid 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9		mulrid 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
10	8, 9	oveqan12d 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵))
11	7, 10	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)))
12		mulcl 11185	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13		addcl 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
14		addsub 11469	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
15	1, 14	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
16	12, 13, 15	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
17	4, 11, 16	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
18	17	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
19	12, 13	subcld 11570	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
20		0cn 11199	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
21		addcan2 11396	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
22	20, 1, 21	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
23	19, 22	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
24	1	addlidi 11399	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	24	eqeq2i 2776	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1)
26	23, 25	bitr3di 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
27	12, 13	subeq0ad 11580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)))
28	18, 26, 27	3bitr2rd 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  conjmul  11933