Theorem muleqadd 11764

Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 13-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
muleqadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Proof of Theorem muleqadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11067	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulsub 11563	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
3	1, 2	mpanr2 704	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
4	1, 3	mpanl2 701	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
5	1	mulridi 11119	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
6	5	oveq2i 7360	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
8		mulrid 11113	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9		mulrid 11113	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
10	8, 9	oveqan12d 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵))
11	7, 10	oveq12d 7367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)))
12		mulcl 11093	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13		addcl 11091	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
14		addsub 11374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
15	1, 14	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
16	12, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
17	4, 11, 16	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
18	17	eqeq1d 2731	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
19	12, 13	subcld 11475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
20		0cn 11107	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
21		addcan2 11301	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
22	20, 1, 21	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
23	19, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
24	1	addlidi 11304	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	24	eqeq2i 2742	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1)
26	23, 25	bitr3di 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
27	12, 13	subeq0ad 11485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)))
28	18, 26, 27	3bitr2rd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  conjmul  11841