Theorem muleqadd 11881

Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 13-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
muleqadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Proof of Theorem muleqadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11187	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulsub 11680	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
3	1, 2	mpanr2 704	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
4	1, 3	mpanl2 701	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
5	1	mulridi 11239	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
6	5	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
8		mulrid 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9		mulrid 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
10	8, 9	oveqan12d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵))
11	7, 10	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)))
12		mulcl 11213	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13		addcl 11211	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
14		addsub 11493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
15	1, 14	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
16	12, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
17	4, 11, 16	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1))
18	17	eqeq1d 2737	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
19	12, 13	subcld 11594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
20		0cn 11227	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
21		addcan2 11420	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
22	20, 1, 21	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
23	19, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0))
24	1	addlidi 11423	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	24	eqeq2i 2748	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = (0 + 1) ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1)
26	23, 25	bitr3di 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) + 1) = 1))
27	12, 13	subeq0ad 11604	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)))
28	18, 26, 27	3bitr2rd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  conjmul  11958