Theorem mulid2 10905

Description: Identity law for multiplication. See mulid1 10904 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulid2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10860	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 10888	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulid1 10904	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-mulcl 10864  ax-mulcom 10866  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-1rid 10872  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258

This theorem is referenced by:  mulid2i  10911  mulid2d  10924  muladd11  11075  1p1times  11076  mul02lem1  11081  cnegex2  11087  mulm1  11346  div1  11594  subdivcomb2  11601  recdiv  11611  divdiv2  11617  conjmul  11622  ser1const  13707  expp1  13717  recan  14976  arisum  15500  geo2sum  15513  prodrblem  15567  prodmolem2a  15572  risefac1  15671  fallfac1  15672  bpoly3  15696  bpoly4  15697  sinhval  15791  coshval  15792  demoivreALT  15838  gcdadd  16161  gcdid  16162  cncrng  20531  cnfld1  20535  blcvx  23867  icccvx  24019  cnlmod  24209  coeidp  25329  dgrid  25330  quartlem1  25912  asinsinlem  25946  asinsin  25947  atantan  25978  musumsum  26246  brbtwn2  27176  axsegconlem1  27188  ax5seglem1  27199  ax5seglem2  27200  ax5seglem4  27203  ax5seglem5  27204  axeuclid  27234  axcontlem2  27236  axcontlem4  27238  cncvcOLD  28846  dvcosax  43357