Theorem mulid2 10493

Description: Identity law for multiplication. See mulid1 10492 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulid2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10448	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 10476	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulid1 10492	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  1c1 10391   · cmul 10395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-ext 2771  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-mulcl 10452  ax-mulcom 10454  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-1rid 10460  ax-cnre 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-iota 6196  df-fv 6240  df-ov 7026

This theorem is referenced by:  mulid2i  10499  mulid2d  10512  muladd11  10663  1p1times  10664  mul02lem1  10669  cnegex2  10675  mulm1  10935  div1  11183  subdivcomb2  11190  recdiv  11200  divdiv2  11206  conjmul  11211  ser1const  13280  expp1  13290  recan  14534  arisum  15052  geo2sum  15066  prodrblem  15120  prodmolem2a  15125  risefac1  15224  fallfac1  15225  bpoly3  15249  bpoly4  15250  sinhval  15344  coshval  15345  demoivreALT  15391  gcdadd  15711  gcdid  15712  cncrng  20252  cnfld1  20256  blcvx  23093  icccvx  23241  cnlmod  23431  coeidp  24540  dgrid  24541  quartlem1  25120  asinsinlem  25154  asinsin  25155  atantan  25186  musumsum  25455  brbtwn2  26378  axsegconlem1  26390  ax5seglem1  26401  ax5seglem2  26402  ax5seglem4  26405  ax5seglem5  26406  axeuclid  26436  axcontlem2  26438  axcontlem4  26440  cncvcOLD  28047  dvcosax  41774