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Theorem lgsdilem2 27072
Description: Lemma for lgsdi 27073. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdilem2.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
lgsdilem2.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lgsdilem2.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
lgsdilem2.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
lgsdilem2.5 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
lgsdilem2.6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsdilem2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsdilem2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulrid 11216 . . 3 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
21adantl 480 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
3 lgsdilem2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 lgsdilem2.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
5 nnabscl 15276 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
63, 4, 5syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
7 nnuz 12869 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
86, 7eleqtrdi 2841 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
96nnzd 12589 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„€)
10 lgsdilem2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
113, 10zmulcld 12676 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€)
123zcnd 12671 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
1310zcnd 12671 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
14 lgsdilem2.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
1512, 13, 4, 14mulne0d 11870 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0)
16 nnabscl 15276 . . . . 5 (((𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
1711, 15, 16syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
1817nnzd 12589 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
1912abscld 15387 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2013abscld 15387 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2112absge0d 15395 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘€))
22 nnabscl 15276 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
2310, 14, 22syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
2423nnge1d 12264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (absβ€˜π‘))
2519, 20, 21, 24lemulge11d 12155 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ≀ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘)))
2612, 13absmuld 15405 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) = ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘)))
2725, 26breqtrrd 5175 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ≀ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
28 eluz2 12832 . . 3 ((absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(absβ€˜π‘€)) ↔ ((absβ€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„€ ∧ (absβ€˜π‘€) ≀ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
299, 18, 27, 28syl3anbrc 1341 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(absβ€˜π‘€)))
30 lgsdilem2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
31 lgsdilem2.6 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
3231lgsfcl3 27057 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
3330, 3, 4, 32syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
34 elfznn 13534 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
35 ffvelcdm 7082 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
3633, 34, 35syl2an 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
3736zcnd 12671 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
38 mulcl 11196 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
3938adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
408, 37, 39seqcl 13992 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
416peano2nnd 12233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘€) + 1) ∈ β„•)
42 elfzuz 13501 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((absβ€˜π‘€) + 1)))
43 eluznn 12906 . . . . 5 ((((absβ€˜π‘€) + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((absβ€˜π‘€) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4441, 42, 43syl2an 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
45 eleq1w 2814 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
46 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L π‘˜))
47 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt 𝑀) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
4846, 47oveq12d 7429 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)))
4945, 48ifbieq1d 4551 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
50 ovex 7444 . . . . . 6 ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) ∈ V
51 1ex 11214 . . . . . 6 1 ∈ V
5250, 51ifex 4577 . . . . 5 if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
5349, 31, 52fvmpt 6997 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
5444, 53syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
55 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„™)
563ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
57 zq 12942 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„š)
59 pcabs 16812 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
6055, 58, 59syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
61 elfzle1 13508 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜)
6261adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜)
63 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
64 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜))
659, 63, 64syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜))
6662, 65mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (absβ€˜π‘€) < π‘˜)
6719adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
6863adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6968zred 12670 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
7067, 69ltnled 11365 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
7166, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€))
7271adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€))
73 prmz 16616 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ π‘˜ ∈ β„€)
7473adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
754ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 β‰  0)
7656, 75, 5syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
77 dvdsle 16257 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€) β†’ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
7874, 76, 77syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€) β†’ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
7972, 78mtod 197 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€))
80 pceq0 16808 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = 0 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€)))
8155, 76, 80syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = 0 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€)))
8279, 81mpbird 256 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = 0)
8360, 82eqtr3d 2772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑀) = 0)
8483oveq2d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑0))
8530ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
86 lgscl 27050 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
8785, 74, 86syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
8887zcnd 12671 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚)
8988exp0d 14109 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑0) = 1)
9084, 89eqtrd 2770 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) = 1)
9190ifeq1da 4558 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, 1, 1))
92 ifid 4567 . . . 4 if(π‘˜ ∈ β„™, 1, 1) = 1
9391, 92eqtrdi 2786 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = 1)
9454, 93eqtrd 2770 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 1)
952, 8, 29, 40, 94seqid2 14018 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„šcq 12936  ...cfz 13488  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031  abscabs 15185   βˆ₯ cdvds 16201  β„™cprime 16612   pCnt cpc 16773   /L clgs 27033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-pc 16774  df-lgs 27034
This theorem is referenced by:  lgsdi  27073
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