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Theorem lgsdilem2 26684
Description: Lemma for lgsdi 26685. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdilem2.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
lgsdilem2.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lgsdilem2.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
lgsdilem2.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
lgsdilem2.5 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
lgsdilem2.6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsdilem2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsdilem2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulid1 11154 . . 3 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
21adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 1) = π‘˜)
3 lgsdilem2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 lgsdilem2.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
5 nnabscl 15211 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
63, 4, 5syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
7 nnuz 12807 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
86, 7eleqtrdi 2848 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
96nnzd 12527 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„€)
10 lgsdilem2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
113, 10zmulcld 12614 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€)
123zcnd 12609 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
1310zcnd 12609 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
14 lgsdilem2.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
1512, 13, 4, 14mulne0d 11808 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0)
16 nnabscl 15211 . . . . 5 (((𝑀 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 Β· 𝑁) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
1711, 15, 16syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
1817nnzd 12527 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
1912abscld 15322 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
2013abscld 15322 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) ∈ ℝ)
2112absge0d 15330 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘€))
22 nnabscl 15211 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
2310, 14, 22syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘) ∈ β„•)
2423nnge1d 12202 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (absβ€˜π‘))
2519, 20, 21, 24lemulge11d 12093 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ≀ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘)))
2612, 13absmuld 15340 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) = ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘)))
2725, 26breqtrrd 5134 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘€) ≀ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
28 eluz2 12770 . . 3 ((absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(absβ€˜π‘€)) ↔ ((absβ€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ β„€ ∧ (absβ€˜π‘€) ≀ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
299, 18, 27, 28syl3anbrc 1344 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(absβ€˜π‘€)))
30 lgsdilem2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
31 lgsdilem2.6 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
3231lgsfcl3 26669 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
3330, 3, 4, 32syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
34 elfznn 13471 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
35 ffvelcdm 7033 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆβ„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
3633, 34, 35syl2an 597 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
3736zcnd 12609 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(absβ€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
38 mulcl 11136 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
3938adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
408, 37, 39seqcl 13929 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
416peano2nnd 12171 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘€) + 1) ∈ β„•)
42 elfzuz 13438 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((absβ€˜π‘€) + 1)))
43 eluznn 12844 . . . . 5 ((((absβ€˜π‘€) + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((absβ€˜π‘€) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4441, 42, 43syl2an 597 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
45 eleq1w 2821 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘˜ ∈ β„™))
46 oveq2 7366 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L π‘˜))
47 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 pCnt 𝑀) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
4846, 47oveq12d 7376 . . . . . 6 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)))
4945, 48ifbieq1d 4511 . . . . 5 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(𝑛 ∈ β„™, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
50 ovex 7391 . . . . . 6 ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) ∈ V
51 1ex 11152 . . . . . 6 1 ∈ V
5250, 51ifex 4537 . . . . 5 if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
5349, 31, 52fvmpt 6949 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
5444, 53syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1))
55 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„™)
563ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
57 zq 12880 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„š)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„š)
59 pcabs 16748 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ 𝑀 ∈ β„š) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
6055, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = (π‘˜ pCnt 𝑀))
61 elfzle1 13445 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜)
6261adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜)
63 elfzelz 13442 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
64 zltp1le 12554 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜))
659, 63, 64syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ ((absβ€˜π‘€) + 1) ≀ π‘˜))
6662, 65mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (absβ€˜π‘€) < π‘˜)
6719adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
6863adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6968zred 12608 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
7067, 69ltnled 11303 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ ((absβ€˜π‘€) < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
7166, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€))
7271adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€))
73 prmz 16552 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„™ β†’ π‘˜ ∈ β„€)
7473adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
754ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝑀 β‰  0)
7656, 75, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
77 dvdsle 16193 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€) β†’ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
7874, 76, 77syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€) β†’ π‘˜ ≀ (absβ€˜π‘€)))
7972, 78mtod 197 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€))
80 pceq0 16744 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„™ ∧ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = 0 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€)))
8155, 76, 80syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = 0 ↔ Β¬ π‘˜ βˆ₯ (absβ€˜π‘€)))
8279, 81mpbird 257 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt (absβ€˜π‘€)) = 0)
8360, 82eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (π‘˜ pCnt 𝑀) = 0)
8483oveq2d 7374 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L π‘˜)↑0))
8530ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
86 lgscl 26662 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
8785, 74, 86syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„€)
8887zcnd 12609 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L π‘˜) ∈ β„‚)
8988exp0d 14046 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑0) = 1)
9084, 89eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) ∧ π‘˜ ∈ β„™) β†’ ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)) = 1)
9190ifeq1da 4518 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = if(π‘˜ ∈ β„™, 1, 1))
92 ifid 4527 . . . 4 if(π‘˜ ∈ β„™, 1, 1) = 1
9391, 92eqtrdi 2793 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ if(π‘˜ ∈ β„™, ((𝐴 /L π‘˜)↑(π‘˜ pCnt 𝑀)), 1) = 1)
9454, 93eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((absβ€˜π‘€) + 1)...(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 1)
952, 8, 29, 40, 94seqid2 13955 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘€)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   Β· cmul 11057   < clt 11190   ≀ cle 11191  β„•cn 12154  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  β„šcq 12874  ...cfz 13425  seqcseq 13907  β†‘cexp 13968  abscabs 15120   βˆ₯ cdvds 16137  β„™cprime 16548   pCnt cpc 16709   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  lgsdi  26685
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