Theorem lgsdilem2 25514

Description: Lemma for lgsdi 25515. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdilem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsdilem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lgsdilem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
lgsdilem2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
lgsdilem2.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
lgsdilem2.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))

Assertion

Ref	Expression
lgsdilem2	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsdilem2

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulid1 10376	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 1) = 𝑘)
2	1	adantl 475	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
3		lgsdilem2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		lgsdilem2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
5		nnabscl 14476	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
7		nnuz 12033	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8	6, 7	syl6eleq 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘1))
9	6	nnzd 11837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
10		lgsdilem2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	3, 10	zmulcld 11844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
12	3	zcnd 11839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
13	10	zcnd 11839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14		lgsdilem2.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
15	12, 13, 4, 14	mulne0d 11029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
16		nnabscl 14476	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
17	11, 15, 16	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 11837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
19	12	abscld 14587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
20	13	abscld 14587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
21	12	absge0d 14595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑀))
22		nnabscl 14476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
23	10, 14, 22	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
24	23	nnge1d 11427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (abs‘𝑁))
25	19, 20, 21, 24	lemulge11d 11317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
26	12, 13	absmuld 14605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
27	25, 26	breqtrrd 4916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
28		eluz2 12002	. . 3 ⊢ ((abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑀)) ↔ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
29	9, 18, 27, 28	syl3anbrc 1400	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑀)))
30		lgsdilem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
31		lgsdilem2.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
32	31	lgsfcl3 25499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
33	30, 3, 4, 32	syl3anc 1439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
34		elfznn 12691	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
35		ffvelrn 6623	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
36	33, 34, 35	syl2an 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
37	36	zcnd 11839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
38		mulcl 10358	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
39	38	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
40	8, 37, 39	seqcl 13143	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
41	6	peano2nnd 11397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
42		elfzuz 12659	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((abs‘𝑀) + 1)))
43		eluznn 12069	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((abs‘𝑀) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
44	41, 42, 43	syl2an 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
45		eleq1w 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
46		oveq2 6932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑘))
47		oveq1 6931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑀) = (𝑘 pCnt 𝑀))
48	46, 47	oveq12d 6942	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
49	45, 48	ifbieq1d 4330	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
50		ovex 6956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ V
51		1ex 10374	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
52	50, 51	ifex 4355	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
53	49, 31, 52	fvmpt 6544	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
54	44, 53	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
55		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
56	3	ad2antrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
57		zq 12105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℚ)
59		pcabs 15987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
60	55, 58, 59	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
61		elfzle1 12665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
62	61	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
63		elfzelz 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
64		zltp1le 11783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
65	9, 63, 64	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
66	62, 65	mpbird 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) < 𝑘)
67	19	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
68	63	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
69	68	zred 11838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
70	67, 69	ltnled 10525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
71	66, 70	mpbid 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
72	71	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
73		prmz 15798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
74	73	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
75	4	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ≠ 0)
76	56, 75, 5	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
77		dvdsle 15443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
78	74, 76, 77	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
79	72, 78	mtod 190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀))
80		pceq0 15983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
81	55, 76, 80	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
82	79, 81	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0)
83	60, 82	eqtr3d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑀) = 0)
84	83	oveq2d 6940	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑0))
85	30	ad2antrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
86		lgscl 25492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
87	85, 74, 86	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
88	87	zcnd 11839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
89	88	exp0d 13325	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑0) = 1)
90	84, 89	eqtrd 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = 1)
91	90	ifeq1da 4337	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1))
92		ifid 4346	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
93	91, 92	syl6eq 2830	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = 1)
94	54, 93	eqtrd 2814	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹‘𝑘) = 1)
95	2, 8, 29, 40, 94	seqid2 13169	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ifcif 4307   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413   ≤ cle 10414  ℕcn 11378  ℤcz 11732  ℤ_≥cuz 11996  ℚcq 12099  ...cfz 12647  seqcseq 13123  ↑cexp 13182  abscabs 14385   ∥ cdvds 15391  ℙcprime 15794   pCnt cpc 15949   /_L clgs 25475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-dvds 15392  df-gcd 15627  df-prm 15795  df-phi 15879  df-pc 15950  df-lgs 25476

This theorem is referenced by:  lgsdi  25515