MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdilem2 27073
Description: Lemma for lgsdi 27074. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdilem2.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsdilem2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lgsdilem2.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
lgsdilem2.4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
lgsdilem2.5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
lgsdilem2.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsdilem2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsdilem2
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulrid 11217 . . 3 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 1) = 𝑘)
21adantl 481 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
3 lgsdilem2.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 lgsdilem2.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
5 nnabscl 15277 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
63, 4, 5syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
7 nnuz 12870 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
86, 7eleqtrdi 2842 . 2 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ (ℤ‘1))
96nnzd 12590 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
10 lgsdilem2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
113, 10zmulcld 12677 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
123zcnd 12672 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1310zcnd 12672 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
14 lgsdilem2.5 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1512, 13, 4, 14mulne0d 11871 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
16 nnabscl 15277 . . . . 5 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
1711, 15, 16syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
1817nnzd 12590 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
1912abscld 15388 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
2013abscld 15388 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
2112absge0d 15396 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑀))
22 nnabscl 15277 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
2310, 14, 22syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnge1d 12265 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (abs‘𝑁))
2519, 20, 21, 24lemulge11d 12156 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
2612, 13absmuld 15406 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
2725, 26breqtrrd 5176 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
28 eluz2 12833 . . 3 ((abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)) ↔ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
299, 18, 27, 28syl3anbrc 1342 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)))
30 lgsdilem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
31 lgsdilem2.6 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
3231lgsfcl3 27058 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
3330, 3, 4, 32syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℤ)
34 elfznn 13535 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
35 ffvelcdm 7083 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
3633, 34, 35syl2an 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
3736zcnd 12672 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
38 mulcl 11198 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
3938adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
408, 37, 39seqcl 13993 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
416peano2nnd 12234 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
42 elfzuz 13502 . . . . 5 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1)))
43 eluznn 12907 . . . . 5 ((((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4441, 42, 43syl2an 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
45 eleq1w 2815 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
46 oveq2 7420 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑘))
47 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑀) = (𝑘 pCnt 𝑀))
4846, 47oveq12d 7430 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
4945, 48ifbieq1d 4552 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
50 ovex 7445 . . . . . 6 ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ V
51 1ex 11215 . . . . . 6 1 ∈ V
5250, 51ifex 4578 . . . . 5 if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
5349, 31, 52fvmpt 6998 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
5444, 53syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
55 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
563ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 zq 12943 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℚ)
59 pcabs 16813 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
6055, 58, 59syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
61 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
6261adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
63 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
64 zltp1le 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
659, 63, 64syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
6662, 65mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) < 𝑘)
6719adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
6863adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
6968zred 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7067, 69ltnled 11366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7166, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
7271adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
73 prmz 16617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
754ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ≠ 0)
7656, 75, 5syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
77 dvdsle 16258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7874, 76, 77syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7972, 78mtod 197 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀))
80 pceq0 16809 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
8155, 76, 80syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
8279, 81mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0)
8360, 82eqtr3d 2773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑀) = 0)
8483oveq2d 7428 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑0))
8530ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
86 lgscl 27051 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
8785, 74, 86syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
8887zcnd 12672 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
8988exp0d 14110 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑0) = 1)
9084, 89eqtrd 2771 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = 1)
9190ifeq1da 4559 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1))
92 ifid 4568 . . . 4 if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
9391, 92eqtrdi 2787 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = 1)
9454, 93eqtrd 2771 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = 1)
952, 8, 29, 40, 94seqid2 14019 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11112  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   · cmul 11119   < clt 11253  cle 11254  cn 12217  cz 12563  cuz 12827  cq 12937  ...cfz 13489  seqcseq 13971  cexp 14032  abscabs 15186  cdvds 16202  cprime 16613   pCnt cpc 16774   /L clgs 27034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16704  df-pc 16775  df-lgs 27035
This theorem is referenced by:  lgsdi  27074
  Copyright terms: Public domain W3C validator