MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdilem2 26681
Description: Lemma for lgsdi 26682. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdilem2.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsdilem2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lgsdilem2.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
lgsdilem2.4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
lgsdilem2.5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
lgsdilem2.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsdilem2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsdilem2
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulid1 11153 . . 3 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 1) = 𝑘)
21adantl 482 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
3 lgsdilem2.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 lgsdilem2.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
5 nnabscl 15210 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
63, 4, 5syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
7 nnuz 12806 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
86, 7eleqtrdi 2848 . 2 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ (ℤ‘1))
96nnzd 12526 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
10 lgsdilem2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
113, 10zmulcld 12613 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
123zcnd 12608 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1310zcnd 12608 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
14 lgsdilem2.5 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1512, 13, 4, 14mulne0d 11807 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
16 nnabscl 15210 . . . . 5 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
1711, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
1817nnzd 12526 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
1912abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
2013abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
2112absge0d 15329 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑀))
22 nnabscl 15210 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
2310, 14, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnge1d 12201 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (abs‘𝑁))
2519, 20, 21, 24lemulge11d 12092 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
2612, 13absmuld 15339 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
2725, 26breqtrrd 5133 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
28 eluz2 12769 . . 3 ((abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)) ↔ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
299, 18, 27, 28syl3anbrc 1343 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)))
30 lgsdilem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
31 lgsdilem2.6 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
3231lgsfcl3 26666 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
3330, 3, 4, 32syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℤ)
34 elfznn 13470 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
35 ffvelcdm 7032 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
3633, 34, 35syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
3736zcnd 12608 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
38 mulcl 11135 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
3938adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
408, 37, 39seqcl 13928 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
416peano2nnd 12170 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
42 elfzuz 13437 . . . . 5 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1)))
43 eluznn 12843 . . . . 5 ((((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4441, 42, 43syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
45 eleq1w 2820 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
46 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑘))
47 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑀) = (𝑘 pCnt 𝑀))
4846, 47oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
4945, 48ifbieq1d 4510 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
50 ovex 7390 . . . . . 6 ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ V
51 1ex 11151 . . . . . 6 1 ∈ V
5250, 51ifex 4536 . . . . 5 if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
5349, 31, 52fvmpt 6948 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
5444, 53syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
55 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
563ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 zq 12879 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℚ)
59 pcabs 16747 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
6055, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
61 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
6261adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
63 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
64 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
659, 63, 64syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
6662, 65mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) < 𝑘)
6719adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
6863adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
6968zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7067, 69ltnled 11302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7166, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
7271adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
73 prmz 16551 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
7473adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
754ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ≠ 0)
7656, 75, 5syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
77 dvdsle 16192 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7874, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7972, 78mtod 197 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀))
80 pceq0 16743 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
8155, 76, 80syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
8279, 81mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0)
8360, 82eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑀) = 0)
8483oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑0))
8530ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
86 lgscl 26659 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
8785, 74, 86syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
8887zcnd 12608 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
8988exp0d 14045 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑0) = 1)
9084, 89eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = 1)
9190ifeq1da 4517 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1))
92 ifid 4526 . . . 4 if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
9391, 92eqtrdi 2792 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = 1)
9454, 93eqtrd 2776 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = 1)
952, 8, 29, 40, 94seqid2 13954 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  cq 12873  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cdvds 16136  cprime 16547   pCnt cpc 16708   /L clgs 26642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-phi 16638  df-pc 16709  df-lgs 26643
This theorem is referenced by:  lgsdi  26682
  Copyright terms: Public domain W3C validator