MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdilem2 25514
Description: Lemma for lgsdi 25515. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdilem2.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsdilem2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lgsdilem2.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
lgsdilem2.4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
lgsdilem2.5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
lgsdilem2.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsdilem2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsdilem2
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulid1 10376 . . 3 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 1) = 𝑘)
21adantl 475 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
3 lgsdilem2.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 lgsdilem2.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
5 nnabscl 14476 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
63, 4, 5syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
7 nnuz 12033 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
86, 7syl6eleq 2869 . 2 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ (ℤ‘1))
96nnzd 11837 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
10 lgsdilem2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
113, 10zmulcld 11844 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
123zcnd 11839 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1310zcnd 11839 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
14 lgsdilem2.5 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1512, 13, 4, 14mulne0d 11029 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
16 nnabscl 14476 . . . . 5 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
1711, 15, 16syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
1817nnzd 11837 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
1912abscld 14587 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
2013abscld 14587 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
2112absge0d 14595 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑀))
22 nnabscl 14476 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
2310, 14, 22syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnge1d 11427 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (abs‘𝑁))
2519, 20, 21, 24lemulge11d 11317 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
2612, 13absmuld 14605 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
2725, 26breqtrrd 4916 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
28 eluz2 12002 . . 3 ((abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)) ↔ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
299, 18, 27, 28syl3anbrc 1400 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)))
30 lgsdilem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
31 lgsdilem2.6 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
3231lgsfcl3 25499 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
3330, 3, 4, 32syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℤ)
34 elfznn 12691 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
35 ffvelrn 6623 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
3633, 34, 35syl2an 589 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
3736zcnd 11839 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
38 mulcl 10358 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
3938adantl 475 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
408, 37, 39seqcl 13143 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
416peano2nnd 11397 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
42 elfzuz 12659 . . . . 5 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1)))
43 eluznn 12069 . . . . 5 ((((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4441, 42, 43syl2an 589 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
45 eleq1w 2842 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
46 oveq2 6932 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑘))
47 oveq1 6931 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑀) = (𝑘 pCnt 𝑀))
4846, 47oveq12d 6942 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
4945, 48ifbieq1d 4330 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
50 ovex 6956 . . . . . 6 ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ V
51 1ex 10374 . . . . . 6 1 ∈ V
5250, 51ifex 4355 . . . . 5 if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
5349, 31, 52fvmpt 6544 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
5444, 53syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
55 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
563ad2antrr 716 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 zq 12105 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℚ)
59 pcabs 15987 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
6055, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
61 elfzle1 12665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
6261adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
63 elfzelz 12663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
64 zltp1le 11783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
659, 63, 64syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
6662, 65mpbird 249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) < 𝑘)
6719adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
6863adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
6968zred 11838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7067, 69ltnled 10525 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7166, 70mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
7271adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
73 prmz 15798 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
7473adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
754ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ≠ 0)
7656, 75, 5syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
77 dvdsle 15443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7874, 76, 77syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7972, 78mtod 190 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀))
80 pceq0 15983 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
8155, 76, 80syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
8279, 81mpbird 249 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0)
8360, 82eqtr3d 2816 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑀) = 0)
8483oveq2d 6940 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑0))
8530ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
86 lgscl 25492 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
8785, 74, 86syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
8887zcnd 11839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
8988exp0d 13325 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑0) = 1)
9084, 89eqtrd 2814 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = 1)
9190ifeq1da 4337 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1))
92 ifid 4346 . . . 4 if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
9391, 92syl6eq 2830 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = 1)
9454, 93eqtrd 2814 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = 1)
952, 8, 29, 40, 94seqid2 13169 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  ifcif 4307   class class class wbr 4888  cmpt 4967  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413  cle 10414  cn 11378  cz 11732  cuz 11996  cq 12099  ...cfz 12647  seqcseq 13123  cexp 13182  abscabs 14385  cdvds 15391  cprime 15794   pCnt cpc 15949   /L clgs 25475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-dvds 15392  df-gcd 15627  df-prm 15795  df-phi 15879  df-pc 15950  df-lgs 25476
This theorem is referenced by:  lgsdi  25515
  Copyright terms: Public domain W3C validator