MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conjmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem conjmul 11967
Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 12-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
conjmul (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))

Proof of Theorem conjmul
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2 simprl 769 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3 reccl 11915 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
43adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
51, 2, 4mul32d 11460 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) = ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„))
6 recid 11922 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) = 1)
76oveq1d 7439 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„) = (1 ยท ๐‘„))
87adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„) = (1 ยท ๐‘„))
9 mullid 11249 . . . . . . 7 (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐‘„) = ๐‘„)
109ad2antrl 726 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (1 ยท ๐‘„) = ๐‘„)
115, 8, 103eqtrd 2771 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) = ๐‘„)
12 reccl 11915 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
1312adantl 480 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
141, 2, 13mulassd 11273 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„)) = (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))))
15 recid 11922 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0) โ†’ (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„)) = 1)
1615oveq2d 7440 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ ยท 1))
1716adantl 480 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ ยท 1))
18 mulrid 11248 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ƒ ยท 1) = ๐‘ƒ)
1918ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท 1) = ๐‘ƒ)
2014, 17, 193eqtrd 2771 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„)) = ๐‘ƒ)
2111, 20oveq12d 7442 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
22 mulcl 11228 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
2322ad2ant2r 745 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
2423, 4, 13adddid 11274 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))))
25 addcom 11436 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
2625ad2ant2r 745 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
2721, 24, 263eqtr4d 2777 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ + ๐‘„))
2822mulridd 11267 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„))
2928ad2ant2r 745 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„))
3027, 29eqeq12d 2743 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„)))
31 addcl 11226 . . . 4 (((1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
323, 12, 31syl2an 594 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
33 mulne0 11892 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ‰  0)
34 ax-1cn 11202 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
35 mulcan 11887 . . . 4 ((((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
3634, 35mp3an2 1445 . . 3 ((((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
3732, 23, 33, 36syl12anc 835 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
38 eqcom 2734 . . . 4 ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” (๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘ƒ + ๐‘„))
39 muleqadd 11894 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘ƒ + ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4038, 39bitrid 282 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4140ad2ant2r 745 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4230, 37, 413bitr3d 308 1 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2936  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149   โˆ’ cmin 11480   / cdiv 11907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator