Theorem conjmul 11906

Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 12-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
conjmul	⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1 ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))

Proof of Theorem conjmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
2		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ ℂ)
3		reccl 11851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	mul32d 11391	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) = ((𝑃 · (1 / 𝑃)) · 𝑄))
6		recid 11858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
7	6	oveq1d 7405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) → ((𝑃 · (1 / 𝑃)) · 𝑄) = (1 · 𝑄))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · (1 / 𝑃)) · 𝑄) = (1 · 𝑄))
9		mullid 11180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ ℂ → (1 · 𝑄) = 𝑄)
10	9	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (1 · 𝑄) = 𝑄)
11	5, 8, 10	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) = 𝑄)
12		reccl 11851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0) → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
14	1, 2, 13	mulassd 11204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄)) = (𝑃 · (𝑄 · (1 / 𝑄))))
15		recid 11858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0) → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
16	15	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0) → (𝑃 · (𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝑃 · 1))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 · (𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝑃 · 1))
18		mulrid 11179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 · 1) = 𝑃)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 · 1) = 𝑃)
20	14, 17, 19	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄)) = 𝑃)
21	11, 20	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) + ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄))) = (𝑄 + 𝑃))
22		mulcl 11159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (𝑃 · 𝑄) ∈ ℂ)
23	22	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 · 𝑄) ∈ ℂ)
24	23, 4, 13	adddid 11205	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = (((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) + ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄))))
25		addcom 11367	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
26	25	ad2ant2r 747	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
27	21, 24, 26	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = (𝑃 + 𝑄))
28	22	mulridd 11198	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → ((𝑃 · 𝑄) · 1) = (𝑃 · 𝑄))
29	28	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · 1) = (𝑃 · 𝑄))
30	27, 29	eqeq12d 2746	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ (𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄)))
31		addcl 11157	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝑃) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑄) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ∈ ℂ)
32	3, 12, 31	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ∈ ℂ)
33		mulne0 11827	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 · 𝑄) ≠ 0)
34		ax-1cn 11133	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		mulcan 11822	. . . 4 ⊢ ((((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑄) ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1))
36	34, 35	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ ((((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ∈ ℂ ∧ ((𝑃 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑄) ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1))
37	32, 23, 33, 36	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1))
38		eqcom 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄) ↔ (𝑃 · 𝑄) = (𝑃 + 𝑄))
39		muleqadd 11829	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → ((𝑃 · 𝑄) = (𝑃 + 𝑄) ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
40	38, 39	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → ((𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄) ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
41	40	ad2ant2r 747	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄) ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
42	30, 37, 41	3bitr3d 309	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1 ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by: (None)