MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conjmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem conjmul 11932
Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 12-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
conjmul (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))

Proof of Theorem conjmul
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2 simprl 768 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3 reccl 11880 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
43adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
51, 2, 4mul32d 11425 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) = ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„))
6 recid 11887 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) = 1)
76oveq1d 7419 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„) = (1 ยท ๐‘„))
87adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท (1 / ๐‘ƒ)) ยท ๐‘„) = (1 ยท ๐‘„))
9 mullid 11214 . . . . . . 7 (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐‘„) = ๐‘„)
109ad2antrl 725 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (1 ยท ๐‘„) = ๐‘„)
115, 8, 103eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) = ๐‘„)
12 reccl 11880 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
141, 2, 13mulassd 11238 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„)) = (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))))
15 recid 11887 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0) โ†’ (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„)) = 1)
1615oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ ยท 1))
1716adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐‘„ ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ ยท 1))
18 mulrid 11213 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ƒ ยท 1) = ๐‘ƒ)
1918ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท 1) = ๐‘ƒ)
2014, 17, 193eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„)) = ๐‘ƒ)
2111, 20oveq12d 7422 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
22 mulcl 11193 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
2322ad2ant2r 744 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
2423, 4, 13adddid 11239 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘ƒ)) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท (1 / ๐‘„))))
25 addcom 11401 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
2625ad2ant2r 744 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘ƒ))
2721, 24, 263eqtr4d 2776 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = (๐‘ƒ + ๐‘„))
2822mulridd 11232 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„))
2928ad2ant2r 744 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„))
3027, 29eqeq12d 2742 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” (๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„)))
31 addcl 11191 . . . 4 (((1 / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ๐‘„) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
323, 12, 31syl2an 595 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
33 mulne0 11857 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ‰  0)
34 ax-1cn 11167 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
35 mulcan 11852 . . . 4 ((((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
3634, 35mp3an2 1445 . . 3 ((((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
3732, 23, 33, 36syl12anc 834 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„))) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) ยท 1) โ†” ((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1))
38 eqcom 2733 . . . 4 ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” (๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘ƒ + ๐‘„))
39 muleqadd 11859 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘ƒ + ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4038, 39bitrid 283 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4140ad2ant2r 744 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ƒ + ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
4230, 37, 413bitr3d 309 1 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โ‰  0)) โ†’ (((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator