Theorem divdiv1 11857

Description: Division into a fraction. (Contributed by NM, 31-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
divdiv1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdiv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11087	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0 11098	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
4		divdivdiv 11847	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
5	3, 4	mpanr2 705	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
6	5	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
7		div1 11835	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 / 1) = 𝐶)
8	7	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
9	8	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
10	9	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
11		mulrid 11133	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	11	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
13	12	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
14	6, 10, 13	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  recdiv2  11859  divdiv1d  11953  fldiv4lem1div2uz2  13786  fldiv2  13811  sin01bnd  16143  flodddiv4t2lthalf  16378  pythagtriplem12  16788  pythagtriplem14  16790  pythagtriplem16  16792  coseq1  26502  efeq1  26505  ang180lem1  26786  atan1  26905  fsumdvdscom  27162  bposlem8  27268  gausslemma2dlem3  27345  2lgslem1a2  27367  rplogsumlem2  27462  dchrvmasum2lem  27473  dchrisum0lem2  27495  dchrisum0lem3  27496  mulogsum  27509  mulog2sumlem2  27512  pntlemr  27579  pntlemf  27582  hgt750lem  34811  quad3  35868  wallispilem4  46514  dirkertrigeqlem3  46546  dirkercncflem1  46549  fourierswlem  46676  dignn0flhalflem2  49104  dignn0ehalf  49105