Theorem divdiv1 11864

Description: Division into a fraction. (Contributed by NM, 31-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
divdiv1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdiv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0 11107	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
4		divdivdiv 11854	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
5	3, 4	mpanr2 705	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
6	5	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
7		div1 11843	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 / 1) = 𝐶)
8	7	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
9	8	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
10	9	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
11		mulrid 11142	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	11	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
13	12	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
14	6, 10, 13	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  recdiv2  11866  divdiv1d  11960  fldiv4lem1div2uz2  13768  fldiv2  13793  sin01bnd  16122  flodddiv4t2lthalf  16357  pythagtriplem12  16766  pythagtriplem14  16768  pythagtriplem16  16770  coseq1  26502  efeq1  26505  ang180lem1  26787  atan1  26906  fsumdvdscom  27163  bposlem8  27270  gausslemma2dlem3  27347  2lgslem1a2  27369  rplogsumlem2  27464  dchrvmasum2lem  27475  dchrisum0lem2  27497  dchrisum0lem3  27498  mulogsum  27511  mulog2sumlem2  27514  pntlemr  27581  pntlemf  27584  hgt750lem  34828  quad3  35883  wallispilem4  46420  dirkertrigeqlem3  46452  dirkercncflem1  46455  fourierswlem  46582  dignn0flhalflem2  48970  dignn0ehalf  48971