![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divdiv1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Division into a fraction. (Contributed by NM, 31-Dec-2007.) |
Ref | Expression |
---|---|
divdiv1 | โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด / (๐ต ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-1cn 11170 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
2 | ax-1ne0 11181 | . . . . 5 โข 1 โ 0 | |
3 | 1, 2 | pm3.2i 469 | . . . 4 โข (1 โ โ โง 1 โ 0) |
4 | divdivdiv 11919 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โง (1 โ โ โง 1 โ 0))) โ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / 1)) = ((๐ด ยท 1) / (๐ต ยท ๐ถ))) | |
5 | 3, 4 | mpanr2 700 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / 1)) = ((๐ด ยท 1) / (๐ต ยท ๐ถ))) |
6 | 5 | 3impa 1108 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / 1)) = ((๐ด ยท 1) / (๐ต ยท ๐ถ))) |
7 | div1 11907 | . . . . 5 โข (๐ถ โ โ โ (๐ถ / 1) = ๐ถ) | |
8 | 7 | oveq2d 7427 | . . . 4 โข (๐ถ โ โ โ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / 1)) = ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ)) |
9 | 8 | ad2antrl 724 | . . 3 โข (((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / 1)) = ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ)) |
10 | 9 | 3adant1 1128 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / 1)) = ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ)) |
11 | mulrid 11216 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) | |
12 | 11 | oveq1d 7426 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((๐ด ยท 1) / (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด / (๐ต ยท ๐ถ))) |
13 | 12 | 3ad2ant1 1131 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด ยท 1) / (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด / (๐ต ยท ๐ถ))) |
14 | 6, 10, 13 | 3eqtr3d 2778 | 1 โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด / (๐ต ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1085 = wceq 1539 โ wcel 2104 โ wne 2938 (class class class)co 7411 โcc 11110 0cc0 11112 1c1 11113 ยท cmul 11117 / cdiv 11875 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 |
This theorem is referenced by: recdiv2 11931 divdiv1d 12025 fldiv4lem1div2uz2 13805 fldiv2 13830 sin01bnd 16132 flodddiv4t2lthalf 16363 pythagtriplem12 16763 pythagtriplem14 16765 pythagtriplem16 16767 coseq1 26270 efeq1 26273 ang180lem1 26550 atan1 26669 fsumdvdscom 26925 bposlem8 27030 gausslemma2dlem3 27107 2lgslem1a2 27129 rplogsumlem2 27224 dchrvmasum2lem 27235 dchrisum0lem2 27257 dchrisum0lem3 27258 mulogsum 27271 mulog2sumlem2 27274 pntlemr 27341 pntlemf 27344 hgt750lem 33961 quad3 34953 wallispilem4 45082 dirkertrigeqlem3 45114 dirkercncflem1 45117 fourierswlem 45244 dignn0flhalflem2 47389 dignn0ehalf 47390 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |