Theorem divdiv1 12005

Description: Division into a fraction. (Contributed by NM, 31-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
divdiv1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdiv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0 11253	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
4		divdivdiv 11995	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
5	3, 4	mpanr2 703	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
6	5	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
7		div1 11984	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 / 1) = 𝐶)
8	7	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
9	8	ad2antrl 727	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
10	9	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
11		mulrid 11288	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	11	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
13	12	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
14	6, 10, 13	3eqtr3d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  recdiv2  12007  divdiv1d  12101  fldiv4lem1div2uz2  13887  fldiv2  13912  sin01bnd  16233  flodddiv4t2lthalf  16464  pythagtriplem12  16873  pythagtriplem14  16875  pythagtriplem16  16877  coseq1  26585  efeq1  26588  ang180lem1  26870  atan1  26989  fsumdvdscom  27246  bposlem8  27353  gausslemma2dlem3  27430  2lgslem1a2  27452  rplogsumlem2  27547  dchrvmasum2lem  27558  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  mulogsum  27594  mulog2sumlem2  27597  pntlemr  27664  pntlemf  27667  hgt750lem  34628  quad3  35638  wallispilem4  45989  dirkertrigeqlem3  46021  dirkercncflem1  46024  fourierswlem  46151  dignn0flhalflem2  48350  dignn0ehalf  48351