Theorem divdiv1 11756

Description: Division into a fraction. (Contributed by NM, 31-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
divdiv1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdiv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10999	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0 11010	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
4		divdivdiv 11746	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
5	3, 4	mpanr2 701	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
6	5	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)))
7		div1 11734	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 / 1) = 𝐶)
8	7	oveq2d 7329	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
9	8	ad2antrl 725	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
10	9	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 1)) = ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶))
11		mulid1 11043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	11	oveq1d 7328	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
13	12	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1) / (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))
14	6, 10, 13	3eqtr3d 2785	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  (class class class)co 7313  ℂcc 10939  0cc0 10941  1c1 10942   · cmul 10946   / cdiv 11702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703

This theorem is referenced by:  recdiv2  11758  divdiv1d  11852  fldiv4lem1div2uz2  13626  fldiv2  13651  sin01bnd  15963  flodddiv4t2lthalf  16194  pythagtriplem12  16594  pythagtriplem14  16596  pythagtriplem16  16598  coseq1  25752  efeq1  25755  ang180lem1  26030  atan1  26149  fsumdvdscom  26405  bposlem8  26510  gausslemma2dlem3  26587  2lgslem1a2  26609  rplogsumlem2  26704  dchrvmasum2lem  26715  dchrisum0lem2  26737  dchrisum0lem3  26738  mulogsum  26751  mulog2sumlem2  26754  pntlemr  26821  pntlemf  26824  hgt750lem  32737  quad3  33734  wallispilem4  43853  dirkertrigeqlem3  43885  dirkercncflem1  43888  fourierswlem  44015  dignn0flhalflem2  46221  dignn0ehalf  46222