MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcncxp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcncxp1 25307
Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvcncxp1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcncxp1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 10604 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 dvcncxp1.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4 difss 4083 . . . . . . 7 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
53, 4eqsstri 3976 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
65sseli 3938 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
73logdmn0 25206 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
86, 7logcld 25137 . . . 4 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
98adantl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
106, 7reccld 11383 . . . 4 (𝑥𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1110adantl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
12 mulcl 10595 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
13 efcl 15412 . . . 4 ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15 ovexd 7164 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
163dvlog 25217 . . . 4 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
173logcn 25213 . . . . . . . 8 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
18 cncff 23473 . . . . . . . 8 ((log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
2019feqmptd 6705 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
21 fvres 6661 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2221mpteq2ia 5129 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥))
2320, 22syl6eq 2871 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥)))
2423oveq2d 7145 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥))))
2516, 24syl5reqr 2870 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / 𝑥)))
26 simpl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27 efcl 15412 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
2827adantl 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
29 simpr 487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 1cnd 10610 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
312dvmptid 24535 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
32 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
332, 29, 30, 31, 32dvmptcmul 24542 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
34 mulid1 10613 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3534mpteq2dv 5134 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
3633, 35eqtrd 2855 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
37 dvef 24558 . . . . 5 (ℂ D exp) = exp
38 eff 15411 . . . . . . . 8 exp:ℂ⟶ℂ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
4039feqmptd 6705 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4140oveq2d 7145 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))))
4237, 41, 403eqtr3a 2879 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
43 fveq2 6642 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
442, 2, 12, 26, 28, 28, 36, 42, 43, 43dvmptco 24550 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
45 oveq2 7137 . . . 4 (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
4645fveq2d 6646 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
4746oveq1d 7144 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
482, 2, 9, 11, 14, 15, 25, 44, 46, 47dvmptco 24550 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
496adantl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
507adantl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
51 simpl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
5249, 50, 51cxpefd 25278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
5352mpteq2dva 5133 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴)) = (𝑥𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
5453oveq2d 7145 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
55 1cnd 10610 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 1 ∈ ℂ)
5649, 50, 51, 55cxpsubd 25284 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)))
5749cxp1d 25272 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
5857oveq2d 7145 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥))
5949, 51cxpcld 25274 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℂ)
6059, 49, 50divrecd 11393 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
6156, 58, 603eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
6261oveq2d 7145 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
6351, 59, 11mul12d 10823 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
6459, 51, 11mulassd 10638 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
6563, 64eqtr4d 2858 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
6652oveq1d 7144 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
6766oveq1d 7144 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
6862, 65, 673eqtrd 2859 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
6968mpteq2dva 5133 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
7048, 54, 693eqtr4d 2865 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  Vcvv 3470  cdif 3906  {cpr 4541  cmpt 5118  cres 5529  wf 6323  cfv 6327  (class class class)co 7129  cc 10509  cr 10510  0cc0 10511  1c1 10512   · cmul 10516  -∞cmnf 10647  cmin 10844   / cdiv 11271  (,]cioc 12714  expce 15391  cnccncf 23456   D cdv 24441  logclog 25121  𝑐ccxp 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589  ax-addf 10590  ax-mulf 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-supp 7805  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-pm 8383  df-ixp 8436  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fsupp 8808  df-fi 8849  df-sup 8880  df-inf 8881  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-dec 12074  df-uz 12219  df-q 12324  df-rp 12365  df-xneg 12482  df-xadd 12483  df-xmul 12484  df-ioo 12717  df-ioc 12718  df-ico 12719  df-icc 12720  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-fl 13142  df-mod 13218  df-seq 13350  df-exp 13411  df-fac 13615  df-bc 13644  df-hash 13672  df-shft 14402  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-limsup 14804  df-clim 14821  df-rlim 14822  df-sum 15019  df-ef 15397  df-sin 15399  df-cos 15400  df-tan 15401  df-pi 15402  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-starv 16555  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-ip 16558  df-tset 16559  df-ple 16560  df-ds 16562  df-unif 16563  df-hom 16564  df-cco 16565  df-rest 16671  df-topn 16672  df-0g 16690  df-gsum 16691  df-topgen 16692  df-pt 16693  df-prds 16696  df-xrs 16750  df-qtop 16755  df-imas 16756  df-xps 16758  df-mre 16832  df-mrc 16833  df-acs 16835  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-submnd 17932  df-mulg 18200  df-cntz 18422  df-cmn 18883  df-psmet 20509  df-xmet 20510  df-met 20511  df-bl 20512  df-mopn 20513  df-fbas 20514  df-fg 20515  df-cnfld 20518  df-top 21474  df-topon 21491  df-topsp 21513  df-bases 21526  df-cld 21599  df-ntr 21600  df-cls 21601  df-nei 21678  df-lp 21716  df-perf 21717  df-cn 21807  df-cnp 21808  df-haus 21895  df-cmp 21967  df-tx 22142  df-hmeo 22335  df-fil 22426  df-fm 22518  df-flim 22519  df-flf 22520  df-xms 22902  df-ms 22903  df-tms 22904  df-cncf 23458  df-limc 24444  df-dv 24445  df-log 25123  df-cxp 25124
This theorem is referenced by:  dvcnsqrt  25308  binomcxplemdvbinom  40836
  Copyright terms: Public domain W3C validator