Theorem dvcncxp1 26692

Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvcncxp1.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvcncxp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcncxp1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11120	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvcncxp1.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4		difss 4077	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
5	3, 4	eqsstri 3969	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
6	5	sseli 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
7	3	logdmn0 26589	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
8	6, 7	logcld 26519	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
10	6, 7	reccld 11911	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
12		mulcl 11111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
13		efcl 16006	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15		ovexd 7393	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
16	3	logcn 26596	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
17		cncff 24838	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
19	18	feqmptd 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
20		fvres 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
21	20	mpteq2ia 5181	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))
22	19, 21	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))))
24	3	dvlog 26600	. . . 4 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
25	23, 24	eqtr3di 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥)))
26		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		efcl 16006	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		1cnd 11128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
31	2	dvmptid 25902	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
32		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
33	2, 29, 30, 31, 32	dvmptcmul 25909	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
34		mulrid 11131	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
35	34	mpteq2dv 5180	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
36	33, 35	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
37		dvef 25925	. . . . 5 ⊢ (ℂ D exp) = exp
38		eff 16005	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
40	39	feqmptd 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
41	40	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))))
42	37, 41, 40	3eqtr3a 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
43		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
44	2, 2, 12, 26, 28, 28, 36, 42, 43, 43	dvmptco 25917	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
45		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
46	45	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
47	46	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
48	2, 2, 9, 11, 14, 15, 25, 44, 46, 47	dvmptco 25917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
49	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
51		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	cxpefd 26661	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
53	52	mpteq2dva 5179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
54	53	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
55		1cnd 11128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
56	49, 50, 51, 55	cxpsubd 26667	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)))
57	49	cxp1d 26655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
58	57	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥))
59	49, 51	cxpcld 26657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
60	59, 49, 50	divrecd 11921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
61	56, 58, 60	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
62	61	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
63	51, 59, 11	mul12d 11343	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
64	59, 51, 11	mulassd 11156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
65	63, 64	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
66	52	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
67	66	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
68	62, 65, 67	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
69	68	mpteq2dva 5179	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
70	48, 54, 69	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  {cpr 4570   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032  -∞cmnf 11165   − cmin 11365   / cdiv 11795  (,]cioc 13263  expce 15985  –cn→ccncf 24821   D cdv 25808  logclog 26503  ↑_𝑐ccxp 26504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ioc 13267  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-fac 14198  df-bc 14227  df-hash 14255  df-shft 14991  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-limsup 15395  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611  df-ef 15991  df-sin 15993  df-cos 15994  df-tan 15995  df-pi 15996  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-cmp 23330  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265  df-cncf 24823  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26505  df-cxp 26506

This theorem is referenced by:  dvcnsqrt  26693  binomcxplemdvbinom  44783