Theorem dvcncxp1 26475

Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvcncxp1.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvcncxp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcncxp1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11205	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvcncxp1.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4		difss 4131	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
5	3, 4	eqsstri 4016	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
6	5	sseli 3978	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
7	3	logdmn0 26372	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
8	6, 7	logcld 26303	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
10	6, 7	reccld 11987	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
12		mulcl 11196	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
13		efcl 16030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15		ovexd 7446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
16	3	logcn 26379	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
17		cncff 24633	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
19	18	feqmptd 6960	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
20		fvres 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
21	20	mpteq2ia 5251	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))
22	19, 21	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))))
24	3	dvlog 26383	. . . 4 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
25	23, 24	eqtr3di 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥)))
26		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		efcl 16030	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
28	27	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
29		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		1cnd 11213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
31	2	dvmptid 25698	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
32		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
33	2, 29, 30, 31, 32	dvmptcmul 25705	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
34		mulrid 11216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
35	34	mpteq2dv 5250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
36	33, 35	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
37		dvef 25721	. . . . 5 ⊢ (ℂ D exp) = exp
38		eff 16029	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
40	39	feqmptd 6960	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
41	40	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))))
42	37, 41, 40	3eqtr3a 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
43		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
44	2, 2, 12, 26, 28, 28, 36, 42, 43, 43	dvmptco 25713	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
45		oveq2 7419	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
46	45	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
47	46	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
48	2, 2, 9, 11, 14, 15, 25, 44, 46, 47	dvmptco 25713	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
49	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
51		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	cxpefd 26444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
53	52	mpteq2dva 5248	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
54	53	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
55		1cnd 11213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
56	49, 50, 51, 55	cxpsubd 26450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)))
57	49	cxp1d 26438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
58	57	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥))
59	49, 51	cxpcld 26440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
60	59, 49, 50	divrecd 11997	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
61	56, 58, 60	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
62	61	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
63	51, 59, 11	mul12d 11427	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
64	59, 51, 11	mulassd 11241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
65	63, 64	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
66	52	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
67	66	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
68	62, 65, 67	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
69	68	mpteq2dva 5248	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
70	48, 54, 69	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117  -∞cmnf 11250   − cmin 11448   / cdiv 11875  (,]cioc 13329  expce 16009  –cn→ccncf 24616   D cdv 25604  logclog 26287  ↑_𝑐ccxp 26288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289  df-cxp 26290

This theorem is referenced by:  dvcnsqrt  26476  binomcxplemdvbinom  43414