MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcncxp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcncxp1 26096
Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvcncxp1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcncxp1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11144 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 dvcncxp1.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4 difss 4091 . . . . . . 7 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
53, 4eqsstri 3978 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
65sseli 3940 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
73logdmn0 25995 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
86, 7logcld 25926 . . . 4 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
98adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
106, 7reccld 11924 . . . 4 (𝑥𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
1110adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
12 mulcl 11135 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
13 efcl 15965 . . . 4 ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15 ovexd 7392 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
163logcn 26002 . . . . . . . 8 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
17 cncff 24256 . . . . . . . 8 ((log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
1918feqmptd 6910 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
20 fvres 6861 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2120mpteq2ia 5208 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥))
2219, 21eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥)))
2322oveq2d 7373 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥))))
243dvlog 26006 . . . 4 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
2523, 24eqtr3di 2791 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / 𝑥)))
26 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27 efcl 15965 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
2827adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
29 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 1cnd 11150 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
312dvmptid 25321 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
32 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
332, 29, 30, 31, 32dvmptcmul 25328 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
34 mulid1 11153 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3534mpteq2dv 5207 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
3633, 35eqtrd 2776 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
37 dvef 25344 . . . . 5 (ℂ D exp) = exp
38 eff 15964 . . . . . . . 8 exp:ℂ⟶ℂ
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
4039feqmptd 6910 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4140oveq2d 7373 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))))
4237, 41, 403eqtr3a 2800 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
43 fveq2 6842 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
442, 2, 12, 26, 28, 28, 36, 42, 43, 43dvmptco 25336 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
45 oveq2 7365 . . . 4 (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
4645fveq2d 6846 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
4746oveq1d 7372 . . 3 (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
482, 2, 9, 11, 14, 15, 25, 44, 46, 47dvmptco 25336 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
496adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
507adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
51 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
5249, 50, 51cxpefd 26067 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
5352mpteq2dva 5205 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴)) = (𝑥𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
5453oveq2d 7373 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
55 1cnd 11150 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → 1 ∈ ℂ)
5649, 50, 51, 55cxpsubd 26073 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)))
5749cxp1d 26061 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐1) = 𝑥)
5857oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑥𝑐𝐴) / (𝑥𝑐1)) = ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥))
5949, 51cxpcld 26063 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐𝐴) ∈ ℂ)
6059, 49, 50divrecd 11934 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑥𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
6156, 58, 603eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
6261oveq2d 7373 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
6351, 59, 11mul12d 11364 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
6459, 51, 11mulassd 11178 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
6563, 64eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · ((𝑥𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
6652oveq1d 7372 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
6766oveq1d 7372 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (((𝑥𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
6862, 65, 673eqtrd 2780 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
6968mpteq2dva 5205 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
7048, 54, 693eqtr4d 2786 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐𝐴))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥𝑐(𝐴 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  {cpr 4588  cmpt 5188  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  -∞cmnf 11187  cmin 11385   / cdiv 11812  (,]cioc 13265  expce 15944  cnccncf 24239   D cdv 25227  logclog 25910  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  dvcnsqrt  26097  binomcxplemdvbinom  42623
  Copyright terms: Public domain W3C validator