Theorem dvcncxp1 27064

Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvcncxp1.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvcncxp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcncxp1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11286	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvcncxp1.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4		difss 4083	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
5	3, 4	eqsstri 3977	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
6	5	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
7	3	logdmn0 26961	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
8	6, 7	logcld 26891	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
10	6, 7	reccld 12079	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
12		mulcl 11277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
13		efcl 16241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15		ovexd 7453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
16	3	logcn 26968	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
17		cncff 25207	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
18	16, 17	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
19	18	feqmptd 6951	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
20		fvres 6902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
21	20	mpteq2ia 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))
22	19, 21	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7434	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))))
24	3	dvlog 26972	. . . 4 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
25	23, 24	eqtr3di 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥)))
26		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		efcl 16241	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
28	27	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
29		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		1cnd 11295	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
31	2	dvmptid 26270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
32		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
33	2, 29, 30, 31, 32	dvmptcmul 26277	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
34		mulrid 11299	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
35	34	mpteq2dv 5199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
36	33, 35	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
37		dvef 26293	. . . . 5 ⊢ (ℂ D exp) = exp
38		eff 16240	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
40	39	feqmptd 6951	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
41	40	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))))
42	37, 41, 40	3eqtr3a 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
43		fveq2 6883	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
44	2, 2, 12, 26, 28, 28, 36, 42, 43, 43	dvmptco 26285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
45		oveq2 7426	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
46	45	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
47	46	oveq1d 7433	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
48	2, 2, 9, 11, 14, 15, 25, 44, 46, 47	dvmptco 26285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
49	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
51		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	cxpefd 27033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
53	52	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
54	53	oveq2d 7434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
55		1cnd 11295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
56	49, 50, 51, 55	cxpsubd 27039	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)))
57	49	cxp1d 27027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
58	57	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥))
59	49, 51	cxpcld 27029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
60	59, 49, 50	divrecd 12089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
61	56, 58, 60	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
62	61	oveq2d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
63	51, 59, 11	mul12d 11512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
64	59, 51, 11	mulassd 11325	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
65	63, 64	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
66	52	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
67	66	oveq1d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
68	62, 65, 67	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
69	68	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
70	48, 54, 69	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198  -∞cmnf 11334   − cmin 11534   / cdiv 11966  (,]cioc 13470  expce 16220  –cn→ccncf 25190   D cdv 26176  logclog 26875  ↑_𝑐ccxp 26876

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226  df-sin 16228  df-cos 16229  df-tan 16230  df-pi 16231  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-cmp 23698  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180  df-log 26877  df-cxp 26878

This theorem is used by:  dvcnsqrt  27065  binomcxplemdvbinom  45322