MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcncxp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcncxp1 25945
Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvcncxp1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷

Proof of Theorem dvcncxp1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11014 . . . 4 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
3 dvcncxp1.d . . . . . . 7 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
4 difss 4072 . . . . . . 7 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) βŠ† β„‚
53, 4eqsstri 3960 . . . . . 6 𝐷 βŠ† β„‚
65sseli 3922 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
73logdmn0 25844 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
86, 7logcld 25775 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
98adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
106, 7reccld 11794 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
1110adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
12 mulcl 11005 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
13 efcl 15841 . . . 4 ((𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
15 ovexd 7342 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴) ∈ V)
163logcn 25851 . . . . . . . 8 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
17 cncff 24105 . . . . . . . 8 ((log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ (log β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„‚)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (log β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„‚)
1918feqmptd 6869 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
20 fvres 6823 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
2120mpteq2ia 5184 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘₯))
2219, 21eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘₯)))
2322oveq2d 7323 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘₯))))
243dvlog 25855 . . . 4 (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯))
2523, 24eqtr3di 2791 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯)))
26 simpl 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
27 efcl 15841 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2827adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
29 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
30 1cnd 11020 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
312dvmptid 25170 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1))
32 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
332, 29, 30, 31, 32dvmptcmul 25177 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 1)))
34 mulid1 11023 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
3534mpteq2dv 5183 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 1)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
3633, 35eqtrd 2776 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
37 dvef 25193 . . . . 5 (β„‚ D exp) = exp
38 eff 15840 . . . . . . . 8 exp:β„‚βŸΆβ„‚
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
4039feqmptd 6869 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
4140oveq2d 7323 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D exp) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))))
4237, 41, 403eqtr3a 2800 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
43 fveq2 6804 . . . 4 (π‘₯ = (𝐴 Β· 𝑦) β†’ (expβ€˜π‘₯) = (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
442, 2, 12, 26, 28, 28, 36, 42, 43, 43dvmptco 25185 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴)))
45 oveq2 7315 . . . 4 (𝑦 = (logβ€˜π‘₯) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯)))
4645fveq2d 6808 . . 3 (𝑦 = (logβ€˜π‘₯) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))
4746oveq1d 7322 . . 3 (𝑦 = (logβ€˜π‘₯) β†’ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴))
482, 2, 9, 11, 14, 15, 25, 44, 46, 47dvmptco 25185 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯))))
496adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
507adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ β‰  0)
51 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5249, 50, 51cxpefd 25916 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐𝐴) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))
5352mpteq2dva 5181 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯)))))
5453oveq2d 7323 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴))) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))))
55 1cnd 11020 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 1 ∈ β„‚)
5649, 50, 51, 55cxpsubd 25922 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (π‘₯↑𝑐1)))
5749cxp1d 25910 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐1) = π‘₯)
5857oveq2d 7323 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (π‘₯↑𝑐1)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / π‘₯))
5949, 51cxpcld 25912 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐𝐴) ∈ β„‚)
6059, 49, 50divrecd 11804 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / π‘₯) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6156, 58, 603eqtrd 2780 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6261oveq2d 7323 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1))) = (𝐴 Β· ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯))))
6351, 59, 11mul12d 11234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 Β· ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯))) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (𝐴 Β· (1 / π‘₯))))
6459, 51, 11mulassd 11048 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (𝐴 Β· (1 / π‘₯))))
6563, 64eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 Β· ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯))) = (((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6652oveq1d 7322 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴))
6766oveq1d 7322 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)) = (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6862, 65, 673eqtrd 2780 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1))) = (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6968mpteq2dva 5181 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯))))
7048, 54, 693eqtr4d 2786 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2940  Vcvv 3437   βˆ– cdif 3889  {cpr 4567   ↦ cmpt 5164   β†Ύ cres 5602  βŸΆwf 6454  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  β„‚cc 10919  β„cr 10920  0cc0 10921  1c1 10922   Β· cmul 10926  -∞cmnf 11057   βˆ’ cmin 11255   / cdiv 11682  (,]cioc 13130  expce 15820  β€“cnβ†’ccncf 24088   D cdv 25076  logclog 25759  β†‘𝑐ccxp 25760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999  ax-addf 11000  ax-mulf 11001
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9177  df-fi 9218  df-sup 9249  df-inf 9250  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-q 12739  df-rp 12781  df-xneg 12898  df-xadd 12899  df-xmul 12900  df-ioo 13133  df-ioc 13134  df-ico 13135  df-icc 13136  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-fl 13562  df-mod 13640  df-seq 13772  df-exp 13833  df-fac 14038  df-bc 14067  df-hash 14095  df-shft 14827  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-limsup 15229  df-clim 15246  df-rlim 15247  df-sum 15447  df-ef 15826  df-sin 15828  df-cos 15829  df-tan 15830  df-pi 15831  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-starv 17026  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-ip 17029  df-tset 17030  df-ple 17031  df-ds 17033  df-unif 17034  df-hom 17035  df-cco 17036  df-rest 17182  df-topn 17183  df-0g 17201  df-gsum 17202  df-topgen 17203  df-pt 17204  df-prds 17207  df-xrs 17262  df-qtop 17267  df-imas 17268  df-xps 17270  df-mre 17344  df-mrc 17345  df-acs 17347  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-submnd 18480  df-mulg 18750  df-cntz 18972  df-cmn 19437  df-psmet 20638  df-xmet 20639  df-met 20640  df-bl 20641  df-mopn 20642  df-fbas 20643  df-fg 20644  df-cnfld 20647  df-top 22092  df-topon 22109  df-topsp 22131  df-bases 22145  df-cld 22219  df-ntr 22220  df-cls 22221  df-nei 22298  df-lp 22336  df-perf 22337  df-cn 22427  df-cnp 22428  df-haus 22515  df-cmp 22587  df-tx 22762  df-hmeo 22955  df-fil 23046  df-fm 23138  df-flim 23139  df-flf 23140  df-xms 23522  df-ms 23523  df-tms 23524  df-cncf 24090  df-limc 25079  df-dv 25080  df-log 25761  df-cxp 25762
This theorem is referenced by:  dvcnsqrt  25946  binomcxplemdvbinom  42184
  Copyright terms: Public domain W3C validator