MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcncxp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcncxp1 26258
Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvcncxp1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷

Proof of Theorem dvcncxp1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11205 . . . 4 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
3 dvcncxp1.d . . . . . . 7 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
4 difss 4131 . . . . . . 7 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) βŠ† β„‚
53, 4eqsstri 4016 . . . . . 6 𝐷 βŠ† β„‚
65sseli 3978 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
73logdmn0 26155 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
86, 7logcld 26086 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
98adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
106, 7reccld 11985 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
1110adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
12 mulcl 11196 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
13 efcl 16028 . . . 4 ((𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
1412, 13syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
15 ovexd 7446 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴) ∈ V)
163logcn 26162 . . . . . . . 8 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
17 cncff 24416 . . . . . . . 8 ((log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ (log β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„‚)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (log β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„‚)
1918feqmptd 6960 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
20 fvres 6910 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
2120mpteq2ia 5251 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘₯))
2219, 21eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘₯)))
2322oveq2d 7427 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘₯))))
243dvlog 26166 . . . 4 (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯))
2523, 24eqtr3di 2787 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (1 / π‘₯)))
26 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
27 efcl 16028 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2827adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
29 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
30 1cnd 11211 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
312dvmptid 25481 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1))
32 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
332, 29, 30, 31, 32dvmptcmul 25488 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 1)))
34 mulrid 11214 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
3534mpteq2dv 5250 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 1)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
3633, 35eqtrd 2772 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
37 dvef 25504 . . . . 5 (β„‚ D exp) = exp
38 eff 16027 . . . . . . . 8 exp:β„‚βŸΆβ„‚
3938a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
4039feqmptd 6960 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
4140oveq2d 7427 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D exp) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))))
4237, 41, 403eqtr3a 2796 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
43 fveq2 6891 . . . 4 (π‘₯ = (𝐴 Β· 𝑦) β†’ (expβ€˜π‘₯) = (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
442, 2, 12, 26, 28, 28, 36, 42, 43, 43dvmptco 25496 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴)))
45 oveq2 7419 . . . 4 (𝑦 = (logβ€˜π‘₯) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯)))
4645fveq2d 6895 . . 3 (𝑦 = (logβ€˜π‘₯) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))
4746oveq1d 7426 . . 3 (𝑦 = (logβ€˜π‘₯) β†’ ((expβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) Β· 𝐴) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴))
482, 2, 9, 11, 14, 15, 25, 44, 46, 47dvmptco 25496 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯))))
496adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
507adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ β‰  0)
51 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5249, 50, 51cxpefd 26227 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐𝐴) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))
5352mpteq2dva 5248 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯)))))
5453oveq2d 7427 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴))) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))))))
55 1cnd 11211 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 1 ∈ β„‚)
5649, 50, 51, 55cxpsubd 26233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (π‘₯↑𝑐1)))
5749cxp1d 26221 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐1) = π‘₯)
5857oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / (π‘₯↑𝑐1)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) / π‘₯))
5949, 51cxpcld 26223 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐𝐴) ∈ β„‚)
6059, 49, 50divrecd 11995 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) / π‘₯) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6156, 58, 603eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6261oveq2d 7427 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1))) = (𝐴 Β· ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯))))
6351, 59, 11mul12d 11425 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 Β· ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯))) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (𝐴 Β· (1 / π‘₯))))
6459, 51, 11mulassd 11239 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)) = ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (𝐴 Β· (1 / π‘₯))))
6563, 64eqtr4d 2775 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 Β· ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· (1 / π‘₯))) = (((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6652oveq1d 7426 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴))
6766oveq1d 7426 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((π‘₯↑𝑐𝐴) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)) = (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6862, 65, 673eqtrd 2776 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1))) = (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯)))
6968mpteq2dva 5248 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜π‘₯))) Β· 𝐴) Β· (1 / π‘₯))))
7048, 54, 693eqtr4d 2782 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (π‘₯↑𝑐𝐴))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 Β· (π‘₯↑𝑐(𝐴 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  -∞cmnf 11248   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  (,]cioc 13327  expce 16007  β€“cnβ†’ccncf 24399   D cdv 25387  logclog 26070  β†‘𝑐ccxp 26071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073
This theorem is referenced by:  dvcnsqrt  26259  binomcxplemdvbinom  43194
  Copyright terms: Public domain W3C validator