Theorem dvcncxp1 27077

Description: Derivative of complex power with respect to first argument on the complex plane. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvcncxp1.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvcncxp1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcncxp1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 11297	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvcncxp1.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
4		difss 4072	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
5	3, 4	eqsstri 3954	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
6	5	sseli 3904	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
7	3	logdmn0 26974	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
8	6, 7	logcld 26904	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
10	6, 7	reccld 12090	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
12		mulcl 11288	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
13		efcl 16254	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) ∈ ℂ)
15		ovexd 7456	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) ∈ V)
16	3	logcn 26981	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
17		cncff 25220	. . . . . . . 8 ⊢ ((log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
18	16, 17	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ℂ)
19	18	feqmptd 6954	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
20		fvres 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
21	20	mpteq2ia 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))
22	19, 21	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥)))
23	22	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))))
24	3	dvlog 26985	. . . 4 ⊢ (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
25	23, 24	eqtr3di 2810	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥)))
26		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		efcl 16254	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
28	27	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
29		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		1cnd 11306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
31	2	dvmptid 26283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
32		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
33	2, 29, 30, 31, 32	dvmptcmul 26290	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)))
34		mulrid 11310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
35	34	mpteq2dv 5198	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
36	33, 35	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
37		dvef 26306	. . . . 5 ⊢ (ℂ D exp) = exp
38		eff 16253	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
40	39	feqmptd 6954	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
41	40	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))))
42	37, 41, 40	3eqtr3a 2819	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
43		fveq2 6886	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
44	2, 2, 12, 26, 28, 28, 36, 42, 43, 43	dvmptco 26298	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴)))
45		oveq2 7429	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (log‘𝑥)))
46	45	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
47	46	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ (𝑦 = (log‘𝑥) → ((exp‘(𝐴 · 𝑦)) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
48	2, 2, 9, 11, 14, 15, 25, 44, 46, 47	dvmptco 26298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
49	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
51		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	cxpefd 27046	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))
53	52	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥)))))
54	53	oveq2d 7437	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))))))
55		1cnd 11306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
56	49, 50, 51, 55	cxpsubd 27052	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)))
57	49	cxp1d 27040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
58	57	oveq2d 7437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / (𝑥↑𝑐1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥))
59	49, 51	cxpcld 27042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
60	59, 49, 50	divrecd 12100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) / 𝑥) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
61	56, 58, 60	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥)))
62	61	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))))
63	51, 59, 11	mul12d 11523	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
64	59, 51, 11	mulassd 11336	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = ((𝑥↑𝑐𝐴) · (𝐴 · (1 / 𝑥))))
65	63, 64	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · ((𝑥↑𝑐𝐴) · (1 / 𝑥))) = (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
66	52	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) = ((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴))
67	66	oveq1d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (((𝑥↑𝑐𝐴) · 𝐴) · (1 / 𝑥)) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
68	62, 65, 67	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1))) = (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥)))
69	68	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((exp‘(𝐴 · (log‘𝑥))) · 𝐴) · (1 / 𝑥))))
70	48, 54, 69	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴 · (𝑥↑𝑐(𝐴 − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  {cpr 4586   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209  -∞cmnf 11345   − cmin 11545   / cdiv 11977  (,]cioc 13481  expce 16233  –cn→ccncf 25203   D cdv 26189  logclog 26888  ↑_𝑐ccxp 26889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-tan 16243  df-pi 16244  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-cmp 23711  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-log 26890  df-cxp 26891

This theorem is used by:  dvcnsqrt  27078  binomcxplemdvbinom  45431