MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashiun 14935
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
hashiun (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumiun.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3 fsumiun.3 . . 3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4 1cnd 10358 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4fsumiun 14934 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 1)
62ralrimiva 3175 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
7 iunfi 8529 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
81, 6, 7syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
9 ax-1cn 10317 . . . 4 1 ∈ ℂ
10 fsumconst 14903 . . . 4 (( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1))
118, 9, 10sylancl 580 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1))
12 hashcl 13444 . . . 4 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℕ0)
13 nn0cn 11636 . . . 4 ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℂ)
14 mulid1 10361 . . . 4 ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
158, 12, 13, 144syl 19 . . 3 (𝜑 → ((♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
1611, 15eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵1 = (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵))
17 fsumconst 14903 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
182, 9, 17sylancl 580 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
19 hashcl 13444 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
20 nn0cn 11636 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
21 mulid1 10361 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
222, 19, 20, 214syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
2318, 22eqtrd 2861 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 1 = (♯‘𝐵))
2423sumeq2dv 14817 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 1 = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
255, 16, 243eqtr3d 2869 1 (𝜑 → (♯‘ 𝑥𝐴 𝐵) = Σ𝑥𝐴 (♯‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117   ciun 4742  Disj wdisj 4843  cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228  cc 10257  1c1 10260   · cmul 10264  0cn0 11625  chash 13417  Σcsu 14800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-disj 4844  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-sum 14801
This theorem is referenced by:  hash2iun  14936  hashrabrex  14938  hashuni  14939  ackbijnn  14941  phisum  15873  cshwshashnsame  16183  lgsquadlem1  25525  lgsquadlem2  25526  numedglnl  26450  fusgreghash2wsp  27715  numclwwlk4  27797  hashunif  30105  poimirlem26  33978  poimirlem27  33979
  Copyright terms: Public domain W3C validator