MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashiun 15714
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fsumiun.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
fsumiun.3 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Assertion
Ref Expression
hashiun (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2 fsumiun.2 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
3 fsumiun.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)
4 1cnd 11157 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4fsumiun 15713 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1)
62ralrimiva 3144 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin)
7 iunfi 9291 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin)
81, 6, 7syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin)
9 ax-1cn 11116 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
10 fsumconst 15682 . . . 4 ((โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1))
118, 9, 10sylancl 587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1))
12 hashcl 14263 . . . 4 (โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•0)
13 nn0cn 12430 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„‚)
14 mulid1 11160 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต))
158, 12, 13, 144syl 19 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต))
1611, 15eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต1 = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต))
17 fsumconst 15682 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
182, 9, 17sylancl 587 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1))
19 hashcl 14263 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
20 nn0cn 12430 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
21 mulid1 11160 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
222, 19, 20, 214syl 19 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) ยท 1) = (โ™ฏโ€˜๐ต))
2318, 22eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = (โ™ฏโ€˜๐ต))
2423sumeq2dv 15595 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต 1 = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
255, 16, 243eqtr3d 2785 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆช ciun 4959  Disj wdisj 5075  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  1c1 11059   ยท cmul 11063  โ„•0cn0 12420  โ™ฏchash 14237  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  hash2iun  15715  hashrabrex  15717  hashuni  15718  ackbijnn  15720  phisum  16669  cshwshashnsame  16983  lgsquadlem1  26744  lgsquadlem2  26745  numedglnl  28137  fusgreghash2wsp  29324  numclwwlk4  29372  hashunif  31750  poimirlem26  36133  poimirlem27  36134
  Copyright terms: Public domain W3C validator