Theorem hashiun 15859

Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hashiun	⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem hashiun

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumiun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumiun.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
3		fsumiun.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
4		1cnd 11257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	fsumiun 15858	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵1 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 1)
6	2	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
7		iunfi 9384	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
9		ax-1cn 11214	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		fsumconst 15827	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵1 = ((♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) · 1))
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵1 = ((♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) · 1))
12		hashcl 14396	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ℕ0)
13		nn0cn 12538	. . . 4 ⊢ ((♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ℂ)
14		mulrid 11260	. . . 4 ⊢ ((♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
15	8, 12, 13, 14	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) · 1) = (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
16	11, 15	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵1 = (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
17		fsumconst 15827	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
18	2, 9, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 1 = ((♯‘𝐵) · 1))
19		hashcl 14396	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
20		nn0cn 12538	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
21		mulrid 11260	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℂ → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
22	2, 19, 20, 21	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐵) · 1) = (♯‘𝐵))
23	18, 22	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 1 = (♯‘𝐵))
24	23	sumeq2dv 15739	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 1 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝐵))
25	5, 16, 24	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ𝑥 ∈ 𝐴 (♯‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∪ ciun 4990  Disj wdisj 5109  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  ℂcc 11154  1c1 11157   · cmul 11161  ℕ₀cn0 12528  ♯chash 14370  Σcsu 15723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724

This theorem is referenced by:  hash2iun  15860  hashrabrex  15862  hashuni  15863  ackbijnn  15865  phisum  16829  cshwshashnsame  17142  lgsquadlem1  27425  lgsquadlem2  27426  numedglnl  29162  fusgreghash2wsp  30358  numclwwlk4  30406  hashunif  32811  poimirlem26  37654  poimirlem27  37655  grpods  42196