Users' Mathboxes Mathbox for Stefan Allan < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addltmulALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addltmulALT 30215
Description: A proof readability experiment for addltmul 11865. (Contributed by Stefan Allan, 30-Oct-2010.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addltmulALT (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem addltmulALT
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
2 2re 11703 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
4 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 1re 10633 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7 ltsub1 11128 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
83, 4, 6, 7syl3anc 1365 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
9 2cn 11704 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
10 ax-1cn 10587 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
11 df-2 11692 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1211eqcomi 2828 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
139, 10, 10, 12subaddrii 10967 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
1413breq1i 5064 . . . . . . 7 ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1))
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
168, 15bitrd 281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
171, 16mpbid 234 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 1))
18 simpr 487 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 < 𝐵)
192a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ)
20 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
215a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
22 ltsub1 11128 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1365 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
2413breq1i 5064 . . . . . . 7 ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1))
2524a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
2623, 25bitrd 281 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
2718, 26mpbid 234 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 < (𝐵 − 1))
2817, 27anim12i 614 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
2928an4s 658 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
30 peano2rem 10945 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31 peano2rem 10945 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
3230, 31anim12i 614 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ))
3332anim1i 616 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))))
34 mulgt1 11491 . . . . . 6 ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
3533, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
3635ex 415 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
3736adantr 483 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
38 recn 10619 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3910a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
4038, 39jca 514 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
41 recn 10619 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4210a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
4341, 42jca 514 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
4440, 43anim12i 614 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)))
45 mulsub 11075 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
4746breq2d 5069 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
4847biimpd 231 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
4948adantr 483 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
5010mulid2i 10638 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
51 eqcom 2826 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) = 1 ↔ 1 = (1 · 1))
5251biimpi 218 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) = 1 → 1 = (1 · 1))
5350, 52mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 = (1 · 1))
5453oveq2d 7164 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)))
55 mulid1 10631 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
56 eqcom 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 · 1) = 𝐴𝐴 = (𝐴 · 1))
5756biimpi 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · 1) = 𝐴𝐴 = (𝐴 · 1))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
5938, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
6059adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐴 · 1))
61 mulid1 10631 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
6241, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
63 eqcom 2826 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 · 1) = 𝐵𝐵 = (𝐵 · 1))
6463biimpi 218 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 · 1) = 𝐵𝐵 = (𝐵 · 1))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = (𝐵 · 1))
6665adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐵 · 1))
6760, 66oveq12d 7166 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))
6854, 67oveq12d 7166 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
6968breq2d 5069 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
70 readdcl 10612 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
715a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
72 remulcl 10614 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
73 readdcl 10612 . . . . . . . 8 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
7472, 71, 73syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
75 ltaddsub2 11107 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
7670, 71, 74, 75syl3anc 1365 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
77 ltadd1 11099 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
7870, 72, 71, 77syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
7978bicomd 225 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8079biimpd 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8176, 80sylbird 262 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8269, 81sylbird 262 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8382adantr 483 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8437, 49, 833syld 60 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8529, 84mpd 15 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cmin 10862  2c2 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-2 11692
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator