Theorem addltmulALT 32465

Description: A proof readability experiment for addltmul 12502. (Contributed by Stefan Allan, 30-Oct-2010.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addltmulALT	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem addltmulALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
2		2re 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
4		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		1re 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7		ltsub1 11759	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
9		2cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		ax-1cn 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		df-2 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
12	11	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
13	9, 10, 10, 12	subaddrii 11598	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
14	13	breq1i 5150	. . . . . . 7 ⊢ ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
16	8, 15	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
17	1, 16	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 1))
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 < 𝐵)
19	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ)
20		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
22		ltsub1 11759	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
24	13	breq1i 5150	. . . . . . 7 ⊢ ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1))
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
26	23, 25	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
27	18, 26	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 < (𝐵 − 1))
28	17, 27	anim12i 613	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
29	28	an4s 660	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
30		peano2rem 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31		peano2rem 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
32	30, 31	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ))
33	32	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))))
34		mulgt1 12129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
38		recn 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
39	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
41		recn 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
42	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
43	41, 42	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
44	40, 43	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)))
45		mulsub 11706	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
47	46	breq2d 5155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
48	47	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
49	48	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
50	10	mullidi 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
51		eqcom 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 1) = 1 ↔ 1 = (1 · 1))
52	51	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 1) = 1 → 1 = (1 · 1))
53	50, 52	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 = (1 · 1))
54	53	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)))
55		mulrid 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
56		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐴 · 1))
57	56	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · 1) = 𝐴 → 𝐴 = (𝐴 · 1))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
59	38, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
60	59	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐴 · 1))
61		mulrid 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
62	41, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
63		eqcom 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 · 1) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐵 · 1))
64	63	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 · 1) = 𝐵 → 𝐵 = (𝐵 · 1))
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = (𝐵 · 1))
66	65	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐵 · 1))
67	60, 66	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))
68	54, 67	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
69	68	breq2d 5155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
70		readdcl 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
71	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
72		remulcl 11240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
73		readdcl 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
74	72, 71, 73	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
75		ltaddsub2 11738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
76	70, 71, 74, 75	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
77		ltadd1 11730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
78	70, 72, 71, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
79	78	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
80	79	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
81	76, 80	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
82	69, 81	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
83	82	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
84	37, 49, 83	3syld 60	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
85	29, 84	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   − cmin 11492  2c2 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-2 12329

This theorem is referenced by: (None)