Users' Mathboxes Mathbox for Stefan Allan < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addltmulALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addltmulALT 31437
Description: A proof readability experiment for addltmul 12397. (Contributed by Stefan Allan, 30-Oct-2010.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addltmulALT (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem addltmulALT
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 2 < ๐ด)
2 2re 12235 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 1re 11163 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7 ltsub1 11659 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
83, 4, 6, 7syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
9 2cn 12236 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
10 ax-1cn 11117 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
11 df-2 12224 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1211eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
139, 10, 10, 12subaddrii 11498 . . . . . . . 8 (2 โˆ’ 1) = 1
1413breq1i 5116 . . . . . . 7 ((2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1))
1514a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ ((2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1)))
168, 15bitrd 279 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ (2 < ๐ด โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1)))
171, 16mpbid 231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด โˆ’ 1))
18 simpr 486 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 2 < ๐ต)
192a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
20 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
215a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
22 ltsub1 11659 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
2413breq1i 5116 . . . . . . 7 ((2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1))
2524a1i 11 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ ((2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
2623, 25bitrd 279 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ (2 < ๐ต โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
2718, 26mpbid 231 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 1 < (๐ต โˆ’ 1))
2817, 27anim12i 614 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
2928an4s 659 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
30 peano2rem 11476 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
31 peano2rem 11476 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
3230, 31anim12i 614 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„))
3332anim1i 616 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))))
34 mulgt1 12022 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)))
3533, 34syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)))
3635ex 414 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
3736adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
38 recn 11149 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3910a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4038, 39jca 513 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚))
41 recn 11149 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4210a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4341, 42jca 513 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚))
4440, 43anim12i 614 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)))
45 mulsub 11606 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
4746breq2d 5121 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
4847biimpd 228 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
4948adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
5010mulid2i 11168 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
51 eqcom 2740 . . . . . . . . . 10 ((1 ยท 1) = 1 โ†” 1 = (1 ยท 1))
5251biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((1 ยท 1) = 1 โ†’ 1 = (1 ยท 1))
5350, 52mp1i 13 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 1 = (1 ยท 1))
5453oveq2d 7377 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) = ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)))
55 mulid1 11161 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
56 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด ยท 1) = ๐ด โ†” ๐ด = (๐ด ยท 1))
5756biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ยท 1) = ๐ด โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
5938, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
6059adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
61 mulid1 11161 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
6241, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
63 eqcom 2740 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต ยท 1) = ๐ต โ†” ๐ต = (๐ต ยท 1))
6463biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((๐ต ยท 1) = ๐ต โ†’ ๐ต = (๐ต ยท 1))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต = (๐ต ยท 1))
6665adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต = (๐ต ยท 1))
6760, 66oveq12d 7379 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) = ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))
6854, 67oveq12d 7379 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
6968breq2d 5121 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
70 readdcl 11142 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
715a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
72 remulcl 11144 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
73 readdcl 11142 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
7472, 71, 73syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
75 ltaddsub2 11638 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
7670, 71, 74, 75syl3anc 1372 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
77 ltadd1 11630 . . . . . . . . 9 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
7870, 72, 71, 77syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
7978bicomd 222 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8079biimpd 228 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8176, 80sylbird 260 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8269, 81sylbird 260 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8382adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8437, 49, 833syld 60 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8529, 84mpd 15 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โˆ’ cmin 11393  2c2 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-2 12224
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator