Proof of Theorem addltmulALT
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | simpr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐴) → 2 < 𝐴) |
| 2 | | 2re 12340 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 3 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐴) → 2 ∈
ℝ) |
| 4 | | simpl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 5 | | 1re 11261 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 6 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐴) → 1 ∈
ℝ) |
| 7 | | ltsub1 11759 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝐴
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1))) |
| 8 | 3, 4, 6, 7 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) <
(𝐴 −
1))) |
| 9 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 10 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 11 | | df-2 12329 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 = (1 +
1) |
| 12 | 11 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . 9
⊢ (1 + 1) =
2 |
| 13 | 9, 10, 10, 12 | subaddrii 11598 |
. . . . . . . 8
⊢ (2
− 1) = 1 |
| 14 | 13 | breq1i 5150 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
− 1) < (𝐴 −
1) ↔ 1 < (𝐴 −
1)) |
| 15 | 14 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐴) → ((2 − 1)
< (𝐴 − 1) ↔ 1
< (𝐴 −
1))) |
| 16 | 8, 15 | bitrd 279 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1))) |
| 17 | 1, 16 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐴) → 1 < (𝐴 − 1)) |
| 18 | | simpr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐵) → 2 < 𝐵) |
| 19 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐵) → 2 ∈
ℝ) |
| 20 | | simpl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 21 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐵) → 1 ∈
ℝ) |
| 22 | | ltsub1 11759 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ 𝐵
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1))) |
| 23 | 19, 20, 21, 22 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) <
(𝐵 −
1))) |
| 24 | 13 | breq1i 5150 |
. . . . . . 7
⊢ ((2
− 1) < (𝐵 −
1) ↔ 1 < (𝐵 −
1)) |
| 25 | 24 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐵) → ((2 − 1)
< (𝐵 − 1) ↔ 1
< (𝐵 −
1))) |
| 26 | 23, 25 | bitrd 279 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1))) |
| 27 | 18, 26 | mpbid 232 |
. . . 4
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐵) → 1 < (𝐵 − 1)) |
| 28 | 17, 27 | anim12i 613 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) |
| 29 | 28 | an4s 660 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) |
| 30 | | peano2rem 11576 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈
ℝ) |
| 31 | | peano2rem 11576 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈
ℝ) |
| 32 | 30, 31 | anim12i 613 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧
(𝐵 − 1) ∈
ℝ)) |
| 33 | 32 | anim1i 615 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 <
(𝐴 − 1) ∧ 1 <
(𝐵 − 1))) →
(((𝐴 − 1) ∈
ℝ ∧ (𝐵 − 1)
∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))) |
| 34 | | mulgt1 12129 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧
(𝐵 − 1) ∈
ℝ) ∧ (1 < (𝐴
− 1) ∧ 1 < (𝐵
− 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))) |
| 35 | 33, 34 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 <
(𝐴 − 1) ∧ 1 <
(𝐵 − 1))) → 1
< ((𝐴 − 1)
· (𝐵 −
1))) |
| 36 | 35 | ex 412 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 <
(𝐴 − 1) ∧ 1 <
(𝐵 − 1)) → 1
< ((𝐴 − 1)
· (𝐵 −
1)))) |
| 37 | 36 | adantr 480 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 <
((𝐴 − 1) ·
(𝐵 −
1)))) |
| 38 | | recn 11245 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 39 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈
ℂ) |
| 40 | 38, 39 | jca 511 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ)) |
| 41 | | recn 11245 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈
ℂ) |
| 42 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 1 ∈
ℂ) |
| 43 | 41, 42 | jca 511 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ)) |
| 44 | 40, 43 | anim12i 613 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) ∧ (𝐵 ∈
ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))) |
| 45 | | mulsub 11706 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) ∧ (𝐵 ∈
ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))) |
| 46 | 44, 45 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))) |
| 47 | 46 | breq2d 5155 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 <
((𝐴 − 1) ·
(𝐵 − 1)) ↔ 1
< (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) −
((𝐴 · 1) + (𝐵 ·
1))))) |
| 48 | 47 | biimpd 229 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 <
((𝐴 − 1) ·
(𝐵 − 1)) → 1
< (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) −
((𝐴 · 1) + (𝐵 ·
1))))) |
| 49 | 48 | adantr 480 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 <
(((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) −
((𝐴 · 1) + (𝐵 ·
1))))) |
| 50 | 10 | mullidi 11266 |
. . . . . . . . 9
⊢ (1
· 1) = 1 |
| 51 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((1
· 1) = 1 ↔ 1 = (1 · 1)) |
| 52 | 51 | biimpi 216 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((1
· 1) = 1 → 1 = (1 · 1)) |
| 53 | 50, 52 | mp1i 13 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 = (1
· 1)) |
| 54 | 53 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1))) |
| 55 | | mulrid 11259 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴) |
| 56 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐴 · 1)) |
| 57 | 56 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 · 1) = 𝐴 → 𝐴 = (𝐴 · 1)) |
| 58 | 55, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1)) |
| 59 | 38, 58 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝐴 · 1)) |
| 60 | 59 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐴 · 1)) |
| 61 | | mulrid 11259 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵) |
| 62 | 41, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵) |
| 63 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 · 1) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐵 · 1)) |
| 64 | 63 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 · 1) = 𝐵 → 𝐵 = (𝐵 · 1)) |
| 65 | 62, 64 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = (𝐵 · 1)) |
| 66 | 65 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐵 · 1)) |
| 67 | 60, 66 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) |
| 68 | 54, 67 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))) |
| 69 | 68 | breq2d 5155 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 <
(((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 ·
1))))) |
| 70 | | readdcl 11238 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) |
| 71 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
| 72 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) |
| 73 | | readdcl 11238 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
→ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈
ℝ) |
| 74 | 72, 71, 73 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ) |
| 75 | | ltaddsub2 11738 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ
∧ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ) →
(((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)))) |
| 76 | 70, 71, 74, 75 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)))) |
| 77 | | ltadd1 11730 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
→ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))) |
| 78 | 70, 72, 71, 77 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))) |
| 79 | 78 | bicomd 223 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 80 | 79 | biimpd 229 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 81 | 76, 80 | sylbird 260 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 <
(((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 82 | 69, 81 | sylbird 260 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 <
(((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) −
((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 83 | 82 | adantr 480 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 84 | 37, 49, 83 | 3syld 60 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))) |
| 85 | 29, 84 | mpd 15 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 <
𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)) |