Users' Mathboxes Mathbox for Stefan Allan < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addltmulALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addltmulALT 32475
Description: A proof readability experiment for addltmul 12500. (Contributed by Stefan Allan, 30-Oct-2010.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addltmulALT (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem addltmulALT
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
2 2re 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
4 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 1re 11259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7 ltsub1 11757 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
83, 4, 6, 7syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
9 2cn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
10 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
11 df-2 12327 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1211eqcomi 2744 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
139, 10, 10, 12subaddrii 11596 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
1413breq1i 5155 . . . . . . 7 ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1))
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
168, 15bitrd 279 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
171, 16mpbid 232 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 1))
18 simpr 484 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 < 𝐵)
192a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ)
20 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
215a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
22 ltsub1 11757 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
2413breq1i 5155 . . . . . . 7 ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1))
2524a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
2623, 25bitrd 279 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
2718, 26mpbid 232 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 < (𝐵 − 1))
2817, 27anim12i 613 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
2928an4s 660 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
30 peano2rem 11574 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31 peano2rem 11574 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
3230, 31anim12i 613 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ))
3332anim1i 615 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))))
34 mulgt1 12127 . . . . . 6 ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
3533, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
3635ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
3736adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
38 recn 11243 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3910a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
4038, 39jca 511 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
41 recn 11243 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4210a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
4341, 42jca 511 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
4440, 43anim12i 613 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)))
45 mulsub 11704 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
4746breq2d 5160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
4847biimpd 229 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
4948adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
5010mullidi 11264 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
51 eqcom 2742 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) = 1 ↔ 1 = (1 · 1))
5251biimpi 216 . . . . . . . . 9 ((1 · 1) = 1 → 1 = (1 · 1))
5350, 52mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 = (1 · 1))
5453oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)))
55 mulrid 11257 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
56 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 · 1) = 𝐴𝐴 = (𝐴 · 1))
5756biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 · 1) = 𝐴𝐴 = (𝐴 · 1))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
5938, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
6059adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐴 · 1))
61 mulrid 11257 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
6241, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
63 eqcom 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 · 1) = 𝐵𝐵 = (𝐵 · 1))
6463biimpi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 · 1) = 𝐵𝐵 = (𝐵 · 1))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = (𝐵 · 1))
6665adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐵 · 1))
6760, 66oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))
6854, 67oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
6968breq2d 5160 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
70 readdcl 11236 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
715a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
72 remulcl 11238 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
73 readdcl 11236 . . . . . . . 8 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
7472, 71, 73syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
75 ltaddsub2 11736 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
7670, 71, 74, 75syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
77 ltadd1 11728 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
7870, 72, 71, 77syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
7978bicomd 223 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8079biimpd 229 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8176, 80sylbird 260 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8269, 81sylbird 260 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8382adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8437, 49, 833syld 60 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
8529, 84mpd 15 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490  2c2 12319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-2 12327
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator