Theorem addltmulALT 31388

Description: A proof readability experiment for addltmul 12389. (Contributed by Stefan Allan, 30-Oct-2010.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addltmulALT	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem addltmulALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
2		2re 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
4		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		1re 11155	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7		ltsub1 11651	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
9		2cn 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		ax-1cn 11109	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		df-2 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
12	11	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
13	9, 10, 10, 12	subaddrii 11490	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
14	13	breq1i 5112	. . . . . . 7 ⊢ ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
16	8, 15	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
17	1, 16	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 1))
18		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 < 𝐵)
19	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ)
20		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
22		ltsub1 11651	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
24	13	breq1i 5112	. . . . . . 7 ⊢ ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1))
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
26	23, 25	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
27	18, 26	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 < (𝐵 − 1))
28	17, 27	anim12i 613	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
29	28	an4s 658	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
30		peano2rem 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31		peano2rem 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
32	30, 31	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ))
33	32	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))))
34		mulgt1 12014	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
36	35	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
37	36	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
38		recn 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
39	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
41		recn 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
42	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
43	41, 42	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
44	40, 43	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)))
45		mulsub 11598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
47	46	breq2d 5117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
48	47	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
49	48	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
50	10	mulid2i 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
51		eqcom 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 1) = 1 ↔ 1 = (1 · 1))
52	51	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 1) = 1 → 1 = (1 · 1))
53	50, 52	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 = (1 · 1))
54	53	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)))
55		mulid1 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
56		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐴 · 1))
57	56	biimpi 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · 1) = 𝐴 → 𝐴 = (𝐴 · 1))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
59	38, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
60	59	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐴 · 1))
61		mulid1 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
62	41, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
63		eqcom 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 · 1) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐵 · 1))
64	63	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 · 1) = 𝐵 → 𝐵 = (𝐵 · 1))
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = (𝐵 · 1))
66	65	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐵 · 1))
67	60, 66	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))
68	54, 67	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
69	68	breq2d 5117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
70		readdcl 11134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
71	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
72		remulcl 11136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
73		readdcl 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
74	72, 71, 73	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
75		ltaddsub2 11630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
76	70, 71, 74, 75	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
77		ltadd1 11622	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
78	70, 72, 71, 77	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
79	78	bicomd 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
80	79	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
81	76, 80	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
82	69, 81	sylbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
83	82	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
84	37, 49, 83	3syld 60	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
85	29, 84	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   − cmin 11385  2c2 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-2 12216

This theorem is referenced by: (None)