Users' Mathboxes Mathbox for Stefan Allan < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addltmulALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addltmulALT 32208
Description: A proof readability experiment for addltmul 12452. (Contributed by Stefan Allan, 30-Oct-2010.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addltmulALT (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem addltmulALT
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 2 < ๐ด)
2 2re 12290 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 1re 11218 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7 ltsub1 11714 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
83, 4, 6, 7syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
9 2cn 12291 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
10 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
11 df-2 12279 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1211eqcomi 2735 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
139, 10, 10, 12subaddrii 11553 . . . . . . . 8 (2 โˆ’ 1) = 1
1413breq1i 5148 . . . . . . 7 ((2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1))
1514a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ ((2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1)))
168, 15bitrd 279 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ (2 < ๐ด โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1)))
171, 16mpbid 231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด โˆ’ 1))
18 simpr 484 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 2 < ๐ต)
192a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
20 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
215a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
22 ltsub1 11714 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
2413breq1i 5148 . . . . . . 7 ((2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1))
2524a1i 11 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ ((2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
2623, 25bitrd 279 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ (2 < ๐ต โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
2718, 26mpbid 231 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 1 < (๐ต โˆ’ 1))
2817, 27anim12i 612 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
2928an4s 657 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
30 peano2rem 11531 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
31 peano2rem 11531 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
3230, 31anim12i 612 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„))
3332anim1i 614 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))))
34 mulgt1 12077 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)))
3533, 34syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)))
3635ex 412 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
3736adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
38 recn 11202 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3910a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4038, 39jca 511 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚))
41 recn 11202 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4210a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4341, 42jca 511 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚))
4440, 43anim12i 612 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)))
45 mulsub 11661 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
4746breq2d 5153 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
4847biimpd 228 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
4948adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
5010mullidi 11223 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
51 eqcom 2733 . . . . . . . . . 10 ((1 ยท 1) = 1 โ†” 1 = (1 ยท 1))
5251biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((1 ยท 1) = 1 โ†’ 1 = (1 ยท 1))
5350, 52mp1i 13 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 1 = (1 ยท 1))
5453oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) = ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)))
55 mulrid 11216 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
56 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด ยท 1) = ๐ด โ†” ๐ด = (๐ด ยท 1))
5756biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ยท 1) = ๐ด โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
5938, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
6059adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
61 mulrid 11216 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
6241, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
63 eqcom 2733 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต ยท 1) = ๐ต โ†” ๐ต = (๐ต ยท 1))
6463biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((๐ต ยท 1) = ๐ต โ†’ ๐ต = (๐ต ยท 1))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต = (๐ต ยท 1))
6665adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต = (๐ต ยท 1))
6760, 66oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) = ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))
6854, 67oveq12d 7423 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
6968breq2d 5153 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
70 readdcl 11195 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
715a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
72 remulcl 11197 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
73 readdcl 11195 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
7472, 71, 73syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
75 ltaddsub2 11693 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
7670, 71, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
77 ltadd1 11685 . . . . . . . . 9 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
7870, 72, 71, 77syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
7978bicomd 222 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8079biimpd 228 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8176, 80sylbird 260 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8269, 81sylbird 260 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8382adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8437, 49, 833syld 60 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8529, 84mpd 15 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448  2c2 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-2 12279
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator