Users' Mathboxes Mathbox for Stefan Allan < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addltmulALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addltmulALT 32298
Description: A proof readability experiment for addltmul 12476. (Contributed by Stefan Allan, 30-Oct-2010.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addltmulALT (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem addltmulALT
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 2 < ๐ด)
2 2re 12314 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 1re 11242 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7 ltsub1 11738 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
83, 4, 6, 7syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ (2 < ๐ด โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1)))
9 2cn 12315 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
10 ax-1cn 11194 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
11 df-2 12303 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
1211eqcomi 2734 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
139, 10, 10, 12subaddrii 11577 . . . . . . . 8 (2 โˆ’ 1) = 1
1413breq1i 5150 . . . . . . 7 ((2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1))
1514a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ ((2 โˆ’ 1) < (๐ด โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1)))
168, 15bitrd 278 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ (2 < ๐ด โ†” 1 < (๐ด โˆ’ 1)))
171, 16mpbid 231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โ†’ 1 < (๐ด โˆ’ 1))
18 simpr 483 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 2 < ๐ต)
192a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
20 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
215a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
22 ltsub1 11738 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ (2 < ๐ต โ†” (2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1)))
2413breq1i 5150 . . . . . . 7 ((2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1))
2524a1i 11 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ ((2 โˆ’ 1) < (๐ต โˆ’ 1) โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
2623, 25bitrd 278 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ (2 < ๐ต โ†” 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
2718, 26mpbid 231 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต) โ†’ 1 < (๐ต โˆ’ 1))
2817, 27anim12i 611 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
2928an4s 658 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)))
30 peano2rem 11555 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
31 peano2rem 11555 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
3230, 31anim12i 611 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„))
3332anim1i 613 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))))
34 mulgt1 12101 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)))
3533, 34syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1))) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)))
3635ex 411 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
3736adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1))))
38 recn 11226 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3910a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4038, 39jca 510 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚))
41 recn 11226 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4210a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4341, 42jca 510 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚))
4440, 43anim12i 611 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)))
45 mulsub 11685 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
4746breq2d 5155 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
4847biimpd 228 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
4948adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
5010mullidi 11247 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
51 eqcom 2732 . . . . . . . . . 10 ((1 ยท 1) = 1 โ†” 1 = (1 ยท 1))
5251biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((1 ยท 1) = 1 โ†’ 1 = (1 ยท 1))
5350, 52mp1i 13 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 1 = (1 ยท 1))
5453oveq2d 7431 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) = ((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)))
55 mulrid 11240 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
56 eqcom 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด ยท 1) = ๐ด โ†” ๐ด = (๐ด ยท 1))
5756biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ยท 1) = ๐ด โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
5938, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
6059adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด = (๐ด ยท 1))
61 mulrid 11240 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
6241, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
63 eqcom 2732 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต ยท 1) = ๐ต โ†” ๐ต = (๐ต ยท 1))
6463biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((๐ต ยท 1) = ๐ต โ†’ ๐ต = (๐ต ยท 1))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต = (๐ต ยท 1))
6665adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต = (๐ต ยท 1))
6760, 66oveq12d 7433 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) = ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))
6854, 67oveq12d 7433 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))))
6968breq2d 5155 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1)))))
70 readdcl 11219 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
715a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
72 remulcl 11221 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
73 readdcl 11219 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
7472, 71, 73syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ โ„)
75 ltaddsub2 11717 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
7670, 71, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” 1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
77 ltadd1 11709 . . . . . . . . 9 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
7870, 72, 71, 77syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต) โ†” ((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1)))
7978bicomd 222 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†” (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8079biimpd 228 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + 1) < ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8176, 80sylbird 259 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8269, 81sylbird 259 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8382adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (1 < (((๐ด ยท ๐ต) + (1 ยท 1)) โˆ’ ((๐ด ยท 1) + (๐ต ยท 1))) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8437, 49, 833syld 60 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ ((1 < (๐ด โˆ’ 1) โˆง 1 < (๐ต โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต)))
8529, 84mpd 15 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (2 < ๐ด โˆง 2 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   < clt 11276   โˆ’ cmin 11472  2c2 12295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-2 12303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator