Theorem 0dgr 26189

Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0dgr	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Proof of Theorem 0dgr

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3979	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		plyconst 26150	. . . 4 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
4		0nn0 12509	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fconstmpt 5714	. . . 4 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
8		0z 12592	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		exp0 14073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
10	9	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐴 · (𝑧↑0)) = (𝐴 · 1))
11		mulrid 11226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	10, 11	sylan9eqr 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = 𝐴)
13		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
15		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑0))
16	15	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
17	16	fsum1 15752	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
18	8, 14, 17	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
19	18, 12	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = 𝐴)
20	19	mpteq2dva 5212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
21	7, 20	eqtr4id 2788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
22	3, 5, 6, 21	dgrle 26187	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0)
23		dgrcl 26177	. . 3 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0)
24		nn0le0eq0 12522	. . 3 ⊢ ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0 → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
25	3, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
26	22, 25	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3924  {csn 4599   class class class wbr 5117   ↦ cmpt 5199   × cxp 5650  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  ℂcc 11120  0cc0 11122  1c1 11123   · cmul 11127   ≤ cle 11263  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12581  ...cfz 13514  ↑cexp 14069  Σcsu 15691  Polycply 26128  degcdgr 26131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-inf2 9648  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7666  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-map 8837  df-pm 8838  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-sup 9449  df-inf 9450  df-oi 9517  df-card 9946  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-rp 13002  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13799  df-seq 14010  df-exp 14070  df-hash 14339  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-clim 15493  df-rlim 15494  df-sum 15692  df-0p 25610  df-ply 26132  df-coe 26134  df-dgr 26135

This theorem is referenced by:  0dgrb  26190  coemulc  26199  dgr0  26207  dgrmulc  26216  dgrcolem2  26219  plyremlem  26251  vieta1lem2  26258