MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0dgr 26172
Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgr (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0)
Proof of Theorem 0dgr
Dummy variables 𝑧 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4000 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
2 plyconst 26133 . . . 4 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4 0nn0 12511 . . . 4 0 ∈ β„•0
54a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„•0)
6 simpl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7 fconstmpt 5734 . . . 4 (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴)
8 0z 12593 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
9 exp0 14056 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝑧↑0) = 1)
109oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) = (𝐴 Β· 1))
11 mulrid 11236 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
1210, 11sylan9eqr 2790 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) = 𝐴)
13 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1412, 13eqeltrd 2829 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) ∈ β„‚)
15 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (𝑧↑0))
1615oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (𝑧↑0)))
1716fsum1 15719 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (𝑧↑0)))
188, 14, 17sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (𝑧↑0)))
1918, 12eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 𝐴)
2019mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
217, 20eqtr4id 2787 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
223, 5, 6, 21dgrle 26170 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ≀ 0)
23 dgrcl 26160 . . 3 ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ β„•0)
24 nn0le0eq0 12524 . . 3 ((degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ β„•0 β†’ ((degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ≀ 0 ↔ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0))
253, 23, 243syl 18 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ≀ 0 ↔ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0))
2622, 25mpbid 231 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   Β· cmul 11137   ≀ cle 11273  β„•0cn0 12496  β„€cz 12582  ...cfz 13510  β†‘cexp 14052  Ξ£csu 15658  Polycply 26111  degcdgr 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-0p 25592  df-ply 26115  df-coe 26117  df-dgr 26118
This theorem is referenced by:  0dgrb  26173  coemulc  26182  dgr0  26190  dgrmulc  26199  dgrcolem2  26202  plyremlem  26232  vieta1lem2  26239
  Copyright terms: Public domain W3C validator