Theorem 0dgr 26383

Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0dgr	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Proof of Theorem 0dgr

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3960	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		plyconst 26344	. . . 4 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
3	1, 2	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
4		0nn0 12520	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
6		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fconstmpt 5725	. . . 4 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
8		0z 12603	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		exp0 14103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
10	9	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐴 · (𝑧↑0)) = (𝐴 · 1))
11		mulrid 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	10, 11	sylan9eqr 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = 𝐴)
13		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
15		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑0))
16	15	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
17	16	fsum1 15800	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
18	8, 14, 17	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
19	18, 12	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = 𝐴)
20	19	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
21	7, 20	eqtr4id 2817	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
22	3, 5, 6, 21	dgrle 26381	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0)
23		dgrcl 26371	. . 3 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0)
24		nn0le0eq0 12533	. . 3 ⊢ ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0 → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
25	3, 23, 24	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
26	22, 25	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  {csn 4590   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   ≤ cle 11245  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ...cfz 13536  ↑cexp 14099  Σcsu 15739  Polycply 26322  degcdgr 26325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-0p 25810  df-ply 26326  df-coe 26328  df-dgr 26329

This theorem is referenced by:  0dgrb  26384  coemulc  26393  dgr0  26400  dgrmulc  26409  dgrcolem2  26412  plyremlem  26446  vieta1lem2  26453  cjnpoly  47603