Theorem 0dgr 26210

Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0dgr	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Proof of Theorem 0dgr

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3944	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		plyconst 26171	. . . 4 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
3	1, 2	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
4		0nn0 12452	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fconstmpt 5693	. . . 4 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
8		0z 12535	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		exp0 14027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
10	9	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐴 · (𝑧↑0)) = (𝐴 · 1))
11		mulrid 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	10, 11	sylan9eqr 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = 𝐴)
13		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
15		oveq2 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑0))
16	15	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
17	16	fsum1 15709	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
18	8, 14, 17	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
19	18, 12	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = 𝐴)
20	19	mpteq2dva 5178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
21	7, 20	eqtr4id 2790	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
22	3, 5, 6, 21	dgrle 26208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0)
23		dgrcl 26198	. . 3 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0)
24		nn0le0eq0 12465	. . 3 ⊢ ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0 → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
25	3, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
26	22, 25	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  Σcsu 15648  Polycply 26149  degcdgr 26152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-0p 25637  df-ply 26153  df-coe 26155  df-dgr 26156

This theorem is referenced by:  0dgrb  26211  coemulc  26220  dgr0  26227  dgrmulc  26236  dgrcolem2  26239  plyremlem  26270  vieta1lem2  26277  cjnpoly  47337