Theorem 0dgr 26218

Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0dgr	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Proof of Theorem 0dgr

Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		plyconst 26179	. . . 4 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
3	1, 2	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
4		0nn0 12428	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℕ0)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fconstmpt 5694	. . . 4 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
8		0z 12511	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		exp0 14000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
10	9	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐴 · (𝑧↑0)) = (𝐴 · 1))
11		mulrid 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
12	10, 11	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = 𝐴)
13		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ)
15		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑0))
16	15	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
17	16	fsum1 15682	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑0)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
18	8, 14, 17	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑0)))
19	18, 12	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)) = 𝐴)
20	19	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
21	7, 20	eqtr4id 2791	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
22	3, 5, 6, 21	dgrle 26216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0)
23		dgrcl 26206	. . 3 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0)
24		nn0le0eq0 12441	. . 3 ⊢ ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ∈ ℕ0 → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
25	3, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) ≤ 0 ↔ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0))
26	22, 25	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ↑cexp 13996  Σcsu 15621  Polycply 26157  degcdgr 26160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-0p 25639  df-ply 26161  df-coe 26163  df-dgr 26164

This theorem is referenced by:  0dgrb  26219  coemulc  26228  dgr0  26236  dgrmulc  26245  dgrcolem2  26248  plyremlem  26280  vieta1lem2  26287  cjnpoly  47243