MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0dgr 25750
Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgr (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0)
Proof of Theorem 0dgr
Dummy variables 𝑧 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4003 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
2 plyconst 25711 . . . 4 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
31, 2mpan 688 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4 0nn0 12483 . . . 4 0 ∈ β„•0
54a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„•0)
6 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7 fconstmpt 5736 . . . 4 (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴)
8 0z 12565 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
9 exp0 14027 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝑧↑0) = 1)
109oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) = (𝐴 Β· 1))
11 mulrid 11208 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
1210, 11sylan9eqr 2794 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) = 𝐴)
13 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1412, 13eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) ∈ β„‚)
15 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (𝑧↑0))
1615oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (𝑧↑0)))
1716fsum1 15689 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (𝑧↑0)))
188, 14, 17sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (𝑧↑0)))
1918, 12eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 𝐴)
2019mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
217, 20eqtr4id 2791 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
223, 5, 6, 21dgrle 25748 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ≀ 0)
23 dgrcl 25738 . . 3 ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ β„•0)
24 nn0le0eq0 12496 . . 3 ((degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ β„•0 β†’ ((degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ≀ 0 ↔ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0))
253, 23, 243syl 18 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ≀ 0 ↔ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0))
2622, 25mpbid 231 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628  Polycply 25689  degcdgr 25692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-0p 25178  df-ply 25693  df-coe 25695  df-dgr 25696
This theorem is referenced by:  0dgrb  25751  coemulc  25760  dgr0  25767  dgrmulc  25776  dgrcolem2  25779  plyremlem  25808  vieta1lem2  25815
  Copyright terms: Public domain W3C validator