MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0dgr 26101
Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgr (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0)
Proof of Theorem 0dgr
Dummy variables 𝑧 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3997 . . . 4 β„‚ βŠ† β„‚
2 plyconst 26062 . . . 4 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
31, 2mpan 687 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4 0nn0 12485 . . . 4 0 ∈ β„•0
54a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„•0)
6 simpl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ (0...0)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
7 fconstmpt 5729 . . . 4 (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴)
8 0z 12567 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
9 exp0 14029 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝑧↑0) = 1)
109oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) = (𝐴 Β· 1))
11 mulrid 11210 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· 1) = 𝐴)
1210, 11sylan9eqr 2786 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) = 𝐴)
13 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1412, 13eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) ∈ β„‚)
15 oveq2 7410 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (𝑧↑0))
1615oveq2d 7418 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (𝑧↑0)))
1716fsum1 15691 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ (𝐴 Β· (𝑧↑0)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (𝑧↑0)))
188, 14, 17sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (𝑧↑0)))
1918, 12eqtrd 2764 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 𝐴)
2019mpteq2dva 5239 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
217, 20eqtr4id 2783 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...0)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
223, 5, 6, 21dgrle 26099 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ≀ 0)
23 dgrcl 26089 . . 3 ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ β„•0)
24 nn0le0eq0 12498 . . 3 ((degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ∈ β„•0 β†’ ((degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ≀ 0 ↔ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0))
253, 23, 243syl 18 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) ≀ 0 ↔ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0))
2622, 25mpbid 231 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (degβ€˜(β„‚ Γ— {𝐴})) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  {csn 4621   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   Γ— cxp 5665  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   Β· cmul 11112   ≀ cle 11247  β„•0cn0 12470  β„€cz 12556  ...cfz 13482  β†‘cexp 14025  Ξ£csu 15630  Polycply 26040  degcdgr 26043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-0p 25523  df-ply 26044  df-coe 26046  df-dgr 26047
This theorem is referenced by:  0dgrb  26102  coemulc  26111  dgr0  26119  dgrmulc  26128  dgrcolem2  26131  plyremlem  26160  vieta1lem2  26167
  Copyright terms: Public domain W3C validator