Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneix13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneix13 43594
Description: The closure of the union of any pair is equal to the union of closures if and only if the union of any pair belonging to the convergents of a point if equivalent to at least one of the pain belonging to the convergents of that point. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneix13 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) = ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,𝑑,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑑,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑑,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneix13
StepHypRef Expression
1 dfss3 3960 . . . . . . . . 9 ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))
2 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
3 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
4 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
52, 3, 4ntrneiiex 43571 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
7 elmapi 8866 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
92, 3, 4ntrneibex 43568 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
11 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
1211elpwid 4607 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
13 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡)
1413elpwid 4607 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑑 βŠ† 𝐡)
1512, 14unssd 4180 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑠 βˆͺ 𝑑) βŠ† 𝐡)
1610, 15sselpwd 5323 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ 𝒫 𝐡)
178, 16ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ∈ 𝒫 𝐡)
1817elpwid 4607 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† 𝐡)
19 ralss 4047 . . . . . . . . . 10 ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))))
211, 20bitrid 282 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))))
22 dfss3 3960 . . . . . . . . 9 (((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)))
238, 11ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
2423elpwid 4607 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
258, 13ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝒫 𝐡)
2625elpwid 4607 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝐡)
2724, 26unssd 4180 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡)
28 ralss 4047 . . . . . . . . . 10 (((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)))))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)))))
3022, 29bitrid 282 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)))))
3121, 30anbi12d 630 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ∧ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))))))
32 eqss 3988 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) = ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ∧ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) βŠ† (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑))))
33 ralbiim 3103 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) β†’ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)))))
3431, 32, 333bitr4g 313 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) = ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)))))
354ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
36 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
379ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
38 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
3938elpwid 4607 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
40 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡)
4140elpwid 4607 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 βŠ† 𝐡)
4239, 41unssd 4180 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 βˆͺ 𝑑) βŠ† 𝐡)
4337, 42sselpwd 5323 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ 𝒫 𝐡)
442, 3, 35, 36, 43ntrneiel 43576 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ (𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
45 elun 4141 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)))
462, 3, 35, 36, 38ntrneiel 43576 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
472, 3, 35, 36, 40ntrneiel 43576 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘) ↔ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
4846, 47orbi12d 916 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ∨ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
4945, 48bitrid 282 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
5044, 49bibi12d 344 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
5150ralbidva 3166 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) ↔ π‘₯ ∈ ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
5234, 51bitrd 278 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) = ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
5352ralbidva 3166 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) = ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
54 ralcom 3277 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
5553, 54bitrdi 286 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) = ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
5655ralbidva 3166 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) = ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
57 ralcom 3277 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
5856, 57bitrdi 286 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(𝑠 βˆͺ 𝑑)) = ((πΌβ€˜π‘ ) βˆͺ (πΌβ€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡((𝑠 βˆͺ 𝑑) ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ∨ 𝑑 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3937   βŠ† wss 3939  π’« cpw 4598   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑m cmap 8843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-map 8845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator