Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneik4w Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneik4w 42464
Description: Idempotence of the interior function is equivalent to saying a set is a neighborhood of a point if and only if the interior of the set is a neighborhood of a point. (Contributed by RP, 11-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneik4w (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) = (πΌβ€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik4w
StepHypRef Expression
1 dfcleq 2726 . . . . 5 ((πΌβ€˜π‘ ) = (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))))
2 eqcom 2740 . . . . 5 ((πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) = (πΌβ€˜π‘ ) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) = (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )))
3 ralv 3471 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ V (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))))
41, 2, 33bitr4i 303 . . . 4 ((πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) = (πΌβ€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ V (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))))
5 ssv 3972 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† V
65a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† V)
7 vex 3451 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
8 eldif 3924 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (V βˆ– 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ V ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡))
97, 8mpbiran 708 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (V βˆ– 𝐡) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡)
10 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
11 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
12 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
1310, 11, 12ntrneiiex 42440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
14 elmapi 8793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
1615ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
1716elpwid 4573 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝐡)
1817sseld 3947 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
1918con3dimp 410 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ))
2015adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2120, 16ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) ∈ 𝒫 𝐡)
2221elpwid 4573 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) βŠ† 𝐡)
2322sseld 3947 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
2423con3dimp 410 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )))
2519, 242falsed 377 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))))
2625ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )))))
279, 26biimtrid 241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (V βˆ– 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )))))
2827ralrimiv 3139 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (V βˆ– 𝐡)(π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))))
296, 28raldifeq 4455 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ V (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )))))
3012adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
3130adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
32 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
33 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
3410, 11, 31, 32, 33ntrneiel 42445 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
3516adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝐡)
3610, 11, 31, 32, 35ntrneiel 42445 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
3734, 36bibi12d 346 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))) ↔ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3837ralbidva 3169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
3929, 38bitr3d 281 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ V (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘ ) ↔ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ ))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
404, 39bitrid 283 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) = (πΌβ€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
4140ralbidva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) = (πΌβ€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
42 ralcom 3271 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π΅βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
4341, 42bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘ )) = (πΌβ€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘₯) ↔ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ (π‘β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ↑m cmap 8771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773
This theorem is referenced by:  ntrneik4  42465
  Copyright terms: Public domain W3C validator