Theorem ntrneik4w 43672

Description: Idempotence of the interior function is equivalent to saying a set is a neighborhood of a point if and only if the interior of the set is a neighborhood of a point. (Contributed by RP, 11-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneik4w	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik4w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2718	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑠) = (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
2		eqcom 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ (𝐼‘𝑠) = (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))
3		ralv 3487	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
4	1, 2, 3	3bitr4i 302	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
5		ssv 4001	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ⊆ V)
7		vex 3465	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		eldif 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	7, 8	mpbiran 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
10		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
11		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
12		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
13	10, 11, 12	ntrneiiex 43648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
14		elmapi 8868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
16	15	ffvelcdmda 7093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
17	16	elpwid 4613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
18	17	sseld 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	con3dimp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))
20	15	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
21	20, 16	ffvelcdmd 7094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ∈ 𝒫 𝐵)
22	21	elpwid 4613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ⊆ 𝐵)
23	22	sseld 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
24	23	con3dimp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))
25	19, 24	2falsed 375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
26	25	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
27	9, 26	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
28	27	ralrimiv 3134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵)(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
29	6, 28	raldifeq 4495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
30	12	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
31	30	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
32		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
33		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
34	10, 11, 31, 32, 33	ntrneiel 43653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
35	16	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
36	10, 11, 31, 32, 35	ntrneiel 43653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)))
37	34, 36	bibi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
38	37	ralbidva 3165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
39	29, 38	bitr3d 280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
40	4, 39	bitrid 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
41	40	ralbidva 3165	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
42		ralcom 3276	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)))
43	41, 42	bitrdi 286	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  ∀wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  {crab 3418  Vcvv 3461   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   ↑_m cmap 8845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-map 8847

This theorem is referenced by:  ntrneik4  43673