Theorem ntrneik4w 44089

Description: Idempotence of the interior function is equivalent to saying a set is a neighborhood of a point if and only if the interior of the set is a neighborhood of a point. (Contributed by RP, 11-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneik4w	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik4w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2727	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑠) = (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
2		eqcom 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ (𝐼‘𝑠) = (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))
3		ralv 3505	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
4	1, 2, 3	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
5		ssv 4019	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ⊆ V)
7		vex 3481	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		eldif 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	7, 8	mpbiran 709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
10		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
11		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
12		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
13	10, 11, 12	ntrneiiex 44065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
14		elmapi 8887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
16	15	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
17	16	elpwid 4613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
18	17	sseld 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	con3dimp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))
20	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
21	20, 16	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ∈ 𝒫 𝐵)
22	21	elpwid 4613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ⊆ 𝐵)
23	22	sseld 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
24	23	con3dimp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))
25	19, 24	2falsed 376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
26	25	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
27	9, 26	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
28	27	ralrimiv 3142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵)(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
29	6, 28	raldifeq 4499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
30	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
32		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
33		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
34	10, 11, 31, 32, 33	ntrneiel 44070	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
35	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
36	10, 11, 31, 32, 35	ntrneiel 44070	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)))
37	34, 36	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
38	37	ralbidva 3173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
39	29, 38	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
40	4, 39	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
41	40	ralbidva 3173	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
42		ralcom 3286	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)))
43	41, 42	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1534   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432   ↑_m cmap 8864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-map 8866

This theorem is referenced by:  ntrneik4  44090