Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneik4w Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneik4w 40659
 Description: Idempotence of the interior function is equivalent to saying a set is a neighborhood of a point if and only if the interior of the set is a neighborhood of a point. (Contributed by RP, 11-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗m 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r (𝜑𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneik4w (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼𝑠)) = (𝐼𝑠) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik4w
StepHypRef Expression
1 dfcleq 2818 . . . . 5 ((𝐼𝑠) = (𝐼‘(𝐼𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))))
2 eqcom 2831 . . . . 5 ((𝐼‘(𝐼𝑠)) = (𝐼𝑠) ↔ (𝐼𝑠) = (𝐼‘(𝐼𝑠)))
3 ralv 3505 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))))
41, 2, 33bitr4i 306 . . . 4 ((𝐼‘(𝐼𝑠)) = (𝐼𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))))
5 ssv 3976 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ V
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ⊆ V)
7 vex 3483 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
8 eldif 3929 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥𝐵))
97, 8mpbiran 708 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ ¬ 𝑥𝐵)
10 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗m 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
11 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
12 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼𝐹𝑁)
1310, 11, 12ntrneiiex 40635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ∈ (𝒫 𝐵m 𝒫 𝐵))
14 elmapi 8418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
1615ffvelrnda 6839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
1716elpwid 4532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ⊆ 𝐵)
1817sseld 3951 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝐵))
1918con3dimp 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼𝑠))
2015adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
2120, 16ffvelrnd 6840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝑠)) ∈ 𝒫 𝐵)
2221elpwid 4532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝑠)) ⊆ 𝐵)
2322sseld 3951 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠)) → 𝑥𝐵))
2423con3dimp 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠)))
2519, 242falsed 380 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))))
2625ex 416 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (¬ 𝑥𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠)))))
279, 26syl5bi 245 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠)))))
2827ralrimiv 3176 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵)(𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))))
296, 28raldifeq 4421 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠)))))
3012adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
3130adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
32 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
33 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
3410, 11, 31, 32, 33ntrneiel 40640 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
3516adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
3610, 11, 31, 32, 35ntrneiel 40640 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠)) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥)))
3734, 36bibi12d 349 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥))))
3837ralbidva 3191 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥))))
3929, 38bitr3d 284 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼𝑠))) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥))))
404, 39syl5bb 286 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘(𝐼𝑠)) = (𝐼𝑠) ↔ ∀𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥))))
4140ralbidva 3191 . 2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼𝑠)) = (𝐼𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥))))
42 ralcom 3346 . 2 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥)))
4341, 42syl6bb 290 1 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼𝑠)) = (𝐼𝑠) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ↔ (𝐼𝑠) ∈ (𝑁𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919  𝒫 cpw 4521   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145   ∈ cmpo 7147   ↑m cmap 8396 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-map 8398 This theorem is referenced by:  ntrneik4  40660
 Copyright terms: Public domain W3C validator