Theorem ntrneik4w 42362

Description: Idempotence of the interior function is equivalent to saying a set is a neighborhood of a point if and only if the interior of the set is a neighborhood of a point. (Contributed by RP, 11-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneik4w	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneik4w

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2729	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑠) = (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
2		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ (𝐼‘𝑠) = (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))
3		ralv 3469	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
4	1, 2, 3	3bitr4i 302	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
5		ssv 3968	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ⊆ V)
7		vex 3449	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		eldif 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	7, 8	mpbiran 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
10		ntrnei.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
11		ntrnei.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
12		ntrnei.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
13	10, 11, 12	ntrneiiex 42338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
14		elmapi 8787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
16	15	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
17	16	elpwid 4569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ⊆ 𝐵)
18	17	sseld 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	18	con3dimp 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠))
20	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
21	20, 16	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ∈ 𝒫 𝐵)
22	21	elpwid 4569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ⊆ 𝐵)
23	22	sseld 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) → 𝑥 ∈ 𝐵))
24	23	con3dimp 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))
25	19, 24	2falsed 376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
26	25	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
27	9, 26	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
28	27	ralrimiv 3142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (V ∖ 𝐵)(𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))))
29	6, 28	raldifeq 4451	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)))))
30	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
32		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
33		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
34	10, 11, 31, 32, 33	ntrneiel 42343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥)))
35	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
36	10, 11, 31, 32, 35	ntrneiel 42343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠)) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)))
37	34, 36	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
38	37	ralbidva 3172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
39	29, 38	bitr3d 280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥 ∈ V (𝑥 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐼‘𝑠))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
40	4, 39	bitrid 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
41	40	ralbidva 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))
42		ralcom 3272	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥)))
43	41, 42	bitrdi 286	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝐼‘𝑠)) = (𝐼‘𝑠) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵(𝑠 ∈ (𝑁‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑠) ∈ (𝑁‘𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_m cmap 8765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767

This theorem is referenced by:  ntrneik4  42363