Theorem oeordsuc 8578

Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oeordsuc	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))

Proof of Theorem oeordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 6385	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
2	1	ex 417	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ On))
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ On))
4		oewordri 8576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑o 𝐶)))
5	4	3adant1 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑o 𝐶)))
6		oecl 8520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o 𝐶) ∈ On)
7	6	3adant2 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o 𝐶) ∈ On)
8		oecl 8520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o 𝐶) ∈ On)
9	8	3adant1 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o 𝐶) ∈ On)
10		simp1 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
11		omwordri 8555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ↑o 𝐶) ∈ On ∧ (𝐵 ↑o 𝐶) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑o 𝐶) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑o 𝐶) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
13	5, 12	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
14		oesuc 8510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) = ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴))
15	14	3adant2 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) = ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴))
16	15	sseq1d 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
17	13, 16	sylibrd 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
18		ne0i 4293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
19		on0eln0 6418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
20	18, 19	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∅ ∈ 𝐵))
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∅ ∈ 𝐵))
22		oen0 8570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐵) → ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶))
23	22	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 → ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶)))
24	21, 23	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶)))
25		omordi 8549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ (𝐵 ↑o 𝐶) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
26	8, 25	syldanl 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
27	26	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵))))
28	27	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶) → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵))))
29	24, 28	mpdd 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
30	29	3adant1 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
31		oesuc 8510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o suc 𝐶) = ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵))
32	31	3adant1 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o suc 𝐶) = ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵))
33	32	eleq2d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶) ↔ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
34	30, 33	sylibrd 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
35	17, 34	jcad 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶))))
36	35	3expa 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶))))
37		onsucb 7811	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ On ↔ suc 𝐶 ∈ On)
38		oecl 8520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ suc 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ On)
39		oecl 8520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o suc 𝐶) ∈ On)
40		ontr2 6409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ On ∧ (𝐵 ↑o suc 𝐶) ∈ On) → (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
41	38, 39, 40	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ suc 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐶 ∈ On)) → (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
42	41	anandirs 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ suc 𝐶 ∈ On) → (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
43	37, 42	sylan2b 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
44	36, 43	syld 48	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
45	44	exp31 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ On → (𝐶 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))))
46	45	com4l 93	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐶 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))))
47	46	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶))))
48	3, 47	mpdd 44	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  Oncon0 6360  suc csuc 6362  (class class class)co 7412   ·_o comu 8449   ↑_o coe 8450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-oexp 8457

This theorem is used by: (None)