MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeordsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oeordsuc 8596
Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oeordsuc ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))

Proof of Theorem oeordsuc
StepHypRef Expression
1 onelon 6388 . . . 4 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
21ex 411 . . 3 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ด โˆˆ On))
32adantr 479 . 2 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ด โˆˆ On))
4 oewordri 8594 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โІ (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
543adant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โІ (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
6 oecl 8539 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On)
763adant2 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On)
8 oecl 8539 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On)
983adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On)
10 simp1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
11 omwordri 8574 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On โˆง (๐ต โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) โІ (๐ต โ†‘o ๐ถ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด)))
127, 9, 10, 11syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) โІ (๐ต โ†‘o ๐ถ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด)))
135, 12syld 47 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด)))
14 oesuc 8529 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) = ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด))
15143adant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) = ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด))
1615sseq1d 4012 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โ†” ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด)))
1713, 16sylibrd 258 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด)))
18 ne0i 4333 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
19 on0eln0 6419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
2018, 19imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต))
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต))
22 oen0 8588 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ถ))
2322ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
2421, 23syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
25 omordi 8568 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ต โˆˆ On โˆง (๐ต โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ต)))
268, 25syldanl 600 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ต)))
2726ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ต))))
2827com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐ต โ†‘o ๐ถ) โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ต))))
2924, 28mpdd 43 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ต)))
30293adant1 1128 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ต)))
31 oesuc 8529 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ) = ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ต))
32313adant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ) = ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ต))
3332eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ) โ†” ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ต)))
3430, 33sylibrd 258 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))
3517, 34jcad 511 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆง ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ))))
36353expa 1116 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆง ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ))))
37 onsucb 7807 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ On โ†” suc ๐ถ โˆˆ On)
38 oecl 8539 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ On)
39 oecl 8539 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ On)
40 ontr2 6410 . . . . . . . . 9 (((๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ On โˆง (๐ต โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ On) โ†’ (((๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆง ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))
4138, 39, 40syl2an 594 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ถ โˆˆ On) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐ถ โˆˆ On)) โ†’ (((๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆง ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))
4241anandirs 675 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง suc ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (((๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆง ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))
4337, 42sylan2b 592 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (((๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โІ ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆง ((๐ต โ†‘o ๐ถ) ยทo ๐ด) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))
4436, 43syld 47 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))
4544exp31 418 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))))
4645com4l 92 . . 3 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))))
4746imp 405 . 2 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ))))
483, 47mpdd 43 1 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ถ) โˆˆ (๐ต โ†‘o suc ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โІ wss 3947  โˆ…c0 4321  Oncon0 6363  suc csuc 6365  (class class class)co 7411   ยทo comu 8466   โ†‘o coe 8467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-oexp 8474
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator