Theorem oeordsuc 8073

Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oeordsuc	⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))

Proof of Theorem oeordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 6094	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ On)
2	1	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ On))
3	2	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ On))
4		oewordri 8071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑o 𝐶)))
5	4	3adant1 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑o 𝐶)))
6		oecl 8016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o 𝐶) ∈ On)
7	6	3adant2 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o 𝐶) ∈ On)
8		oecl 8016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o 𝐶) ∈ On)
9	8	3adant1 1123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o 𝐶) ∈ On)
10		simp1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
11		omwordri 8051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ↑o 𝐶) ∈ On ∧ (𝐵 ↑o 𝐶) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑o 𝐶) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑o 𝐶) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
13	5, 12	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
14		oesuc 8006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) = ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴))
15	14	3adant2 1124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) = ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴))
16	15	sseq1d 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
17	13, 16	sylibrd 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴)))
18		ne0i 4222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
19		on0eln0 6124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
20	18, 19	syl5ibr 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∅ ∈ 𝐵))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∅ ∈ 𝐵))
22		oen0 8065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐵) → ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶))
23	22	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 → ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶)))
24	21, 23	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶)))
25		omordi 8045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ (𝐵 ↑o 𝐶) ∈ On) ∧ ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
26	8, 25	syldanl 601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ ∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
27	26	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵))))
28	27	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (∅ ∈ (𝐵 ↑o 𝐶) → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵))))
29	24, 28	mpdd 43	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
30	29	3adant1 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
31		oesuc 8006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o suc 𝐶) = ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵))
32	31	3adant1 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o suc 𝐶) = ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵))
33	32	eleq2d 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶) ↔ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐵)))
34	30, 33	sylibrd 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
35	17, 34	jcad 513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶))))
36	35	3expa 1111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶))))
37		sucelon 7391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ On ↔ suc 𝐶 ∈ On)
38		oecl 8016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ suc 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ On)
39		oecl 8016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ↑o suc 𝐶) ∈ On)
40		ontr2 6116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ On ∧ (𝐵 ↑o suc 𝐶) ∈ On) → (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
41	38, 39, 40	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ suc 𝐶 ∈ On) ∧ (𝐵 ∈ On ∧ suc 𝐶 ∈ On)) → (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
42	41	anandirs 675	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ suc 𝐶 ∈ On) → (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
43	37, 42	sylan2b 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → (((𝐴 ↑o suc 𝐶) ⊆ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∧ ((𝐵 ↑o 𝐶) ·o 𝐴) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)) → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
44	36, 43	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))
45	44	exp31 420	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ On → (𝐶 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))))
46	45	com4l 92	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐶 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))))
47	46	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶))))
48	3, 47	mpdd 43	1 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o suc 𝐶) ∈ (𝐵 ↑o suc 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983   ⊆ wss 3861  ∅c0 4213  Oncon0 6069  suc csuc 6071  (class class class)co 7019   ·_o comu 7954   ↑_o coe 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-omul 7961  df-oexp 7962

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